1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Бесконечные произведения 285 ° Теорема 5.3. Пусть дано бесконечное произведение (5.11) где я„— произвольные комплексные числа. Тогда если ряд в=яь (5.12) является сходящимся, то бесконечное произведение (5.11) сходящееся. Яоказательство. Пусть бесконечное произведение (5.11) таково, что числовой ряд (5.12) является сходящимся.
В силу теоремы 5.2 тогда сходится бесконечное произведение П(1+! -И ваш (5.13) Положим Р„= Ц (1+ гь), Я„= Ц (1+ ~зь~). При каждом п, я=а йжт очевидно, имеем ~Р„~ < Ч„. В силу сходимости бесконечного произведения (5.13) последовательность (Ч„)„> имеет конечный предел и, следовательно, она ограничена. Пусть 9„< М < оо для всех а > т. Тогда ~Р„~ < М для всех и. При каждом п > то имеем равенство Р„=Р +(Р„.„, — Р )+".+(Є— Р„,), Бесконечное произведение (5.11) будет сходящимся, если сходится ряд Р +(Р +1 — Р )+ ° ° ° +(Є— Р„з)+.... (5.14) ~Є— Р„з ! = ((1 + я„)Р„з — Р„з) = (г„~)Р„з ( < М)я„!. 5.2.3.
В теоремах 5.1 и 5.2 рассматривались только такие бесконечные произведения, у которых все сомножители являются вещественными числами. Докажем теорему, применимую к случаю бесконечных про- изведений с комплексными сомножителями. Гл. П. Теория рядов 286 Отсюда вытекает, что ряд (5.14) является абсолютно сходящимся. В частности, мы получаем, что существует предел 1пп Ра = Р. Покажем, что если 1+ г„~ 0 при всех и, то Р ~ О. Для этой цели ао рассмотрим бесконечное произведение Ц аа«а 1 + Ха а ««*а.=Па«ю> 1+ яь К„Р„= 1. Положим = 1+ и„. Имеем ]к«„] = " . Так как 1 ]за] 1+ га "=]1+за] ряд []за]]а> является сходящимся, то г„-~ 0 при и — оо и, значит, 1 ]1 + а] -«1 при и- оо.
1 Отсюда вытекает, что последовательность являФ+ а]у.> ется ограниченнои. 1 Пусть Т < оо таково, что < Ь для всех п > т. Отсюда ]1+ а] следует, что ]и«„] < ь]яа]. Так как ряд []га]]а>,„сходится, то из сказанного выше вытекает, что ряд []к«„]]„> также сходится и, значит, по доказанному, существует конечный предел 1пп Рс„= Л. Переходя к пределу в равенстве Л„Р„= 1, выполняющемся для всех и > т, получим ЛР = 1.
Отсюда следует, что Рс ~ 0 и Р ~ О. Мы получаем, что для бесконечного произведение (5.11) в данном случае его значение определено и отлично от нуля и, следовательно, оно является сходящимся. ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧтО НЕКОТОРЫЕ ИЗ СОМНОжИтЕЛЕй 1+ яа ДаННОГО бЕС- конечного произведения обращаются и нуль. В силу сходимости ряда (5.12) 1+ з„— «1 при 22 — оо, и, значит, найдется номер М такой, что 1+ я„~ 0 при и > Ф. Из доказанного следует, что бесконечное произведение Ц (1+ га) а«аи является сходящимся, откуда согласно определению вытекает, что бесконечное произведение (5.11) сходится. Теорема доказана. ° 5.3. ФОРМУЛА ВАЛЛИСА Приведем здесь один пример бесконечного произведения. Пусть п > 0 — целое число.
Положим а/2 1(П) = Б1П Х 11Х. о 287 з 5. Бесконечные произведения в/з я/з Х(и) = 81п х и соз х = 61п х соя х + соя хгг($1п х). Выражение справа, стоящее перед знаком интеграла, равно нулю, так я как яп 0 = 0 и соз — = О. Палее, имеем 2 соз хН(яп" х) = (п — 1) яп" хсоз х дх = = (п — 1) яп" з х г1х — (и — 1) яп" х Их.
В результате получаем равенство а /2 в/3 1(и) = (и — 1) з|п ах г/х — (и — 1) зш'х<1х = о о = (и — 1)1(п — 2) — (п — 1)1(п), из которого следует, что и — 1 Х(п) = — 1(п — 2). (5.15) Полученное соотношение позволяет вычислить Х(п) при каждом п. Пусть п четно, т. е. п = 2т. Из равенства (5.15) получаем (2т — 1)(2т — 3)... 3 1 2т(2гп — 2)...4 2 (2т — 1)(2т — 3)...
3. 1 гг (2т — 1)!! я 2гп(2т — 2)... 4. 2 2 (2т)!! 2 Если п нечетко, т. е. и = 2т — 1, то, последовательно применяя равенство (5.15), придем к следующему соотношению: 2т(2т — 2)... 2 1(2т + Ц (2т + 1)(2т — 1)... 3 ( ) 2т(2т — 2)... 2 (2т)!! (2т + 1)(2т — 1)... 3 (2т+ 1)!1' Имеем 1(0) = —, 1(1) = 1. Пусть п б Х, п > 2. Преобразуем интеграл, которым выражается 1(п) по формуле интегрирования по частям (см. главу 5). Выражение еш" х г1х может быть представлено в виде — яп" ~ хНсозх. Отсюда заключаем, что 288 Гл.
11. Теория рядов При каждом т имеем Х(2т+ 2) < Х(2т+ 1) < Х(2т). В силу равенства (5.15) Х(2т + 2) 2т — 1 — «1 Х(2т) 2т+ 2 Х(2т+ 1) при т -+ оо. Отсюда следует, что также и Х(2т) -+1прит- оо. Имеем Х(2т+ 1) (2т)!! (2т — 1)!! гг [(2т)(!]~ 2 Х(2т) (2т+ 1)!! (2т)!! 2 (2т — 1)!!(2т+ 1)!! гг Данное отношение имеет предел, равный единице. Отсюда, очевидно, вытекает, что 2 . (2т — 1)!!(2т + 1) !! — Бш т «««оо ((2т) ! !) а По определению (глава 1), (2т+1)!! = 3.5 ....2т+1= Ц(2!с+1), ««« (2 )В=ЦИ.
а=1 Принимая эти равенства во внимание, получаем равенство Отсюда (5.16) Равенство (5.16) называется формулой Валлисе. (Другой путь доказательства формулы Валлиса указан далее: см. главу 12, ~ 5, п. 5.5(8).) 289 з 6. Цепные дроби Й 6. Цепные дроби 6.1. Опре еление и простейшие сВойстВА епных РОБей Начнем с некоторого простого п р и м е р а.
Рассмотрим число з/2. Имеем 1 < з/2 < 2. Число 1 можно рассматривать как приближенное значение за. Это приближение, однако, вряд ли можно считать хорошим. Чтобы получить лучшее приближение, преобразуем ~Г2 следующим образом. Положим ~/2 — 1 = Л. Тогда будем иметь О < Л < 1. Итак, з/2 = 1+ (з/2 — 1) = 1+ = 1+ —. (6.1) 1 1 1+ з/2 2+ Л' Если в этом выражении заменить Л нулем, то дробь увеличится и в результате мы получим за < 1+ —. 1 2 1 Из равенства з/2 = 1+ вытекает, что 2+Л 1 Л = —.
2+Л (6.2) в правую часть равенства (6.1), по- Подставляя это выражение для Л лучим ~/2 = 1+ (6.3) 1 2+— 2+Л заменить Л нулем, то дробь умень- Если в последнем выражении шится и мы получим неравенство 1 7 1 5' 2+— 2 за) 1+ В этом параграфе изучается понятие бесконечной цепной или непрерыв ной дроби.
Даются необходимые определения, устанавливаются условия сходимости или расхоцимости бесконечной цепной дроби. Приводятся некоторые примеры. Теория цепных дробей имеет приложения в теории чисел, теории функций комплексной переменной и теории приближения функций. 290 Гл. 11. Теория рядов В результате проделанных вычислений находим следующие границы для з/2: 7 3 — < з/2 < — или 1,4 < з/2 < 1,5. Таким образом, указан некоторый новый интервал, содержащий число з/2, в десять раз более короткий, чем первоначальный интервал (1,2)! Приняв один из концов найденного интервала за приближенное значение з/2, мы получим значительно менее грубое приближение к числу з/2, чем то, которое получается, если положить з/2 ю 1 или з/2 в 2. Подставляя выражение для Л, которое дается равенством (6.2), в правую часть равенства (6.3), получим з/2 = 1+ 1 2+ 1 2+ 2+Л 1+ 1 2+ 2+ 2+— 1 2 Пусть Я„есть дробь, получаемая, когда в последнем выражении стоит и двоек.
Выписывая явно представления для йо, Яы Нз и т. д., после некоторых простых вычислений получим 17 пз = —, 12' 239 11е = —, 169 ' 3 Л~ — —— 99 .яз†70' 7 пг =— 5' 41 .114 > 29' Этот процесс может быть неограниченно продолжен и далее. Заменяя в полученных представлениях числа з/2 число Л нулем, мы получим последовательность рациональных чисел, которые будут попеременно либо больше, либо меньше числа ~/2. Каждое из этих чисел задается дробью вида 291 З б.
Цепные дроби 1+ 1 2+ 2+ Аналогичные построения возникают и в связи с другими задачами о приближенном представлении иррационального числа рациональными числами, а также в задачах о приближении произвольных функций рациональными функциями. Цепной илн непрерывной дробью называется выражение вида х1 Уо + хг Уг + хз Уг+ (6.4) х„ Уь-г + Уь+ в котором уо, хм уг,..., х„, у„,... — произвольные комплексные числа.
Единственное условие, которому должны удовлетворять числа х„и у„, таково. Выражение (6.5) Уо + хг Уг + хз Уг+ хь Уь-г +— Уь должно быть определено для любого и. Выражение (6.5) может стать неопределенным, если, выполняя указанные в нем операции, мы в ка- кой-то момент получим дробь, знаменатель которой равен нулю. Нетрудно видеть, что если и четко, то Л„< з/2, а если п нечетко, то Л„) Л. Длины интервалов между соседними дробями, как это можно видеть в рассмотренных частных случаях, убывают, и притом достаточно быстро. Это наводит на мысль, что последовательность дробей, получаемых описанным построением, имеет своим пределом число ~/2. В соответствии с этим говорят, что число ~Г2 равно беспонечпой цепной дроби 292 Гл.
11. Теория рядов Всякое выражение вида (6.5) называется конечной цепной дробью. В противоположность этому выражение, задаваемое формулой (6.4), будем называть бесконечной цепной дробью. Ввиду громоздкости выражения (6.4) для его записи будем применять одно из следующих обозначений: Х1 Х2 х„ Уо +— Уг+Уг+ +Уе (6.6) или (6.7) В случае, когда уо = О, вместо (6.6) и (6.7) будем писать хг хг хь Уг+Уг+ +Уь или соответственно М, Аналогичным образом, для конечной дроби (6.5) используется оцно из следующих выражений: ь Х1 Хг хи хь1 уо+ — — ... — или уо, .— Уг + Уг + + Уе Уь Уоуг + хг Рг(уо, хы Уг) Уг Ог(уо хы Уг) где Рг(уо,хыуг) = уоуг+ хм а ь)г(уо,хг уг) = уы хг Теперь положим гьг(уо,хм умхг,уг) = уо+ ..
После выполУг+ — ' Уг пения всех операций в выражении, стоящем в этой формуле справа, получим УоУгуг+ Уохг+ Угхг Рг(Уо,хыуг хг, Уг) ог(уо~ хы Уы хг, Уг)— угуз + хг ь)2(уо, хм уы хг, уг) х„ Дробь — называется и-м звеном, цепной дроби (6.4); х„и у„— Уп членами п-го звена цепной дроби (6.4); хм хг,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
