1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Отсюда согласно определению Е1 вытекает, что к —.~« АТЕЕ а согласно определению Ез имеет место также неравенство 1ек Отсюда получаем, что [[р — 4[ < р — 'у и~ + ~ ~~> и~ — д < Е1 + Е1 — — е. атее атее Число е > 0 было выбрано произвольно. Таким образом, мы получаем, что для всякого е > О имеет место неравенство [[р — д[[ < е. Отсюда следует, что [[р — д[[ = 0 и, значит, р — д = О, т.
е. р = д, что и требовалось доказать. ° ° Теорема 4.2. Если функции и: Т вЂ” ~ Х и о: Т -+ Х суммируемы по множеству Т, то для любых вещественных чисел а и р функция аи + До также суммируема по Т. При этом имеет место равенство 1ет 1ЕТ з 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 255 Доказательство. Положим Р = 2„и1, д = 2 е1. Зададим про- 1ЕТ 1ЕТ извольно е > О. Пусть !о!+ !11!+ 1' Согласно определению суммируемой по множеству функции найдутся конечные множества Е1 С Т и Ез С Т такие, что если А Э Е,, А Е Х(Т), то Р ~ н1 <е1 (4.1) 1ЕА и, аналогично, для любого А Е Х(Т), содержащего множество Ез, выполняется неравенство 1ЕА (4.2) Положим Ео — — Е1 О Ез.
Множество Ео конечно. Если множество А Е Х(Т) содержит в себе множество Ео, то оно содержит каждое из множеств Е1 и Ез и, значит, для него выполняется каждое из неравенств (4.1) и (4.2). Отсюда следует, что ! -к~-' 4=!!"-.к" — к !! А 1ЕА 1ЕА !о! + Ф! ! !+ Ф!+1 < !а! р — ~ и1 + !8! д — ~~1 е1 < (!о!+ ф!)Е1 —— е < е. Так как е > О было взято произвольно и для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы множество А Е Х(Т) содержало множество Ео, то тем самым доказано, что функция аи+,би суммируема по множеству Т, причем ее сумма по Т вычисляется из равенства аР+ Д4 = а ~ и1 + ~3 ~~1 е1.
1ЕТ Теорема доказана. ° ° Теорема 4.3. Пусть множество Т является объединением конечного числа попарно непересекающихся множеств Т1, Тю..., Т„. Тогда если функция и: Т вЂ” ~ в; суммируема по каждому из множеств Т;, то она суммнруема также и ло множеству Т. При этом имеет место равенство Гл. 11. Теория рядов 25б Яоказнтельство. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим 2 и, = р;.
Пусть р = 2, р;. Зададим произвольно е > О. Поло1ЕТ; и=1 Я жим ез — — —. Согласно определению суммы при каждом 1 = 1, 2,..., и найдется конечное множество Е; С Т; такое, что для любого конечного множества Е Э Е;, содержащегося в Т;, выполняется неравенство и1 — р; ( ез. зее Положим Ео — — Ц Е;. Множество Ео конечно. Пусть А е Ж(Т) й=1 таково, что Ео С А. Положим А; = А П Т;. Множества А; попарно не пересекаются, и каждое из них конечно. При этом А; = АИТ; Э ЕоПТ; = Е;.
Отсюда в силу выбора множеств Е; вытекает, что при всяком г' = 1, 2,..., п выполняется неравенство Это позволяет заключить, что ! ~~~> ,'~ и~ — ~~> р; ( пе1 = е. ~=1 1еА, ю=1 Заметим теперь, что так как множества А; попарно не пересекаются и их объединение совпадает с А, то ЕЕ. =Е. г=з 3еА; ФеА Мы получаем, таким образом, что для всякого конечного множества А С Т такого, что Ео С А, выполняется неравенство Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что функция и суммируема по множеству Т и вектор р = р1 + рз + . + р„является ее суммой по множеству Т. Теорема доказана.
° 257 З 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 4.2. КРИТЕРИЙ СУММИРУЕМОСТИ ФУНК ИИ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ МНОЖЕСТВУ Докажем критерий суммируемости функции по множеству а н а л о г признака Коши — Больиано сходимостпи ряда (теорема 1.5 этой главы). и Теорема 4.4 (критерий суммируемости функции по множеству). Пусть Т есть произвольное множество, Х вЂ” балахона пространство. Для того чтобы функция и: Т -о Х была суммируема по множеству Т, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О существовало множество Е Е Х(Т) такое, что для любого конечного множества А С Т, не содержащего точек множества Е, выполняется неравенство Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция и суммируема по множеству Т, и пусть а = 2;и„. Зададим Т произвольно е > О и найдем по нему такое множество Ео б Х(Т), что для любого множества Е' б Х(Т), содержащего в себе множество Ео, выполняется неравенство Пусть А е Х(Т) таково, что АП Ео —— Я. Положим Е' = Ео 0 А, хо=~ ио з =,г ио з=~~~ ио Ео Поскольку Ео Э Ео и Е' Э Ео и множества Ео и Е' конечны, то е е !!го — а!! < — и !!з' — а!! < — и, значит, 2 2 !!з — зо!! = !!з — а+ а — го!! < !!з — а!!+ !!а — го!! < — + — = е.
2 2 Осталось заметить, что з — зо = А~ ио — ~~~ ио = ~~' ио ЕоО А Ео А 258 Гл. 11. Теория рядов Так как множество А Е,Ж'(Т) такое, что А й Ео — — Я было взято произвольно, то необходимость условия теоремы тем самым доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функция и: Т -~ Х такова, что для всякого е > 0 можно указать такое конечное множество Е(е), что для любого множества А б,Ж(Т), не пересекающегося с множеством Е(е), выполняется неравенство Пусть Е„'есть множество Е(с), отвечающее в указанном смысле 1 значению е = —. Определим п о и н д у к ц и и последовательность 2" множеств (Е„б .Ж'(Т))„ен, полагая Ез — — Е~~ и Е„+з — — Е, 0 Е„'+з для каждого ~ Е Х.
Последовательность (Е„)„ен возрастающая, и Е„~ Е„' при каждом и Е М. Отсюда, в частности, вытекает, что для любого конечного множества А С Т, не содержащего точек множества Е„, выполняется неравенство Положим я„ = 1,из. Докажем сначала, что последовательность Е„ (з„)„ен является фундаментальной. Так как пространство Х банахово, т. е. Х есть полное нормированное векторное пространство, это позволит нам заключить, что последовательность (г„)„ен имеет предел. После этого мы покажем, что ее предел является суммой функции и по множеству Т. Зададим произвольно номера и~ и из и рассмотрим величину !!»„, — г„,!!. Предположим, что из > из. Тогда Е„, Э Е„,. Имеем г„,— «„,=~~~ и~ — ~~~ и,= ~ ио Е„~ Е Н Ъ,Е„ Так как множество Е„, ~ Е„, не пересекается с множеством Е„,, то имеет место неравенство Мы получаем, таким образом, что имеет место неравенство з 4.
Сумма значений функций на бесконечном множестве 259 Мы предполагали, что из > из. Если и1 > из, то, меняя в проделанных рассуждениях и1 и из местами, аналогичным образом получим, что !!.,— .,!!<— 1 (4.4) В силу произвольности е > 0 фундаментальность последовательности (г„)„ен установлена. Поскольку пространство Х банахово, то из доказанного вытекает существование предела Бгп г„= р. Докажем, что определенный таким образом вектор р является суммой значений функции и по множеству Т. Полагая в неравенстве (4.3) и1 — — и, из — — д, где р > и, и переходя к пределу при р -~ оо, получим, что для всякого и б Я выполняется неравенство 1 2" (4.5) Пусть множество А б,Х(Т) таково, что Е„С А. Положим В = А 1 Е„.
Множества В и Е„не имеют общих элементов, и их объединение совпадает с А. Отсюда получаем п~= ~ из+ ~ в~ =а„+~~~ по зЕВ зЕВ Фея 1еЕ„ Согласно определению множества Е„имеем (4.6) Из неравенств (4.5) и (4.6) вытекает неравенство Из доказанного легко вытекает, что последовательность (я„)„ен фундаментальная. Действительно, зададим произвольно е > О.
Пусть 1 и Е Х таково, что = < е. Тогда из неравенств (4.3) и (4.4) следует, 2а что для любых иы из > й выполняется неравенство Гл. 11. Теория рядов 260 1 Зададим произвольно е > О. Пусть и е Х таково, что — ( е. 2" Тогда, как следует из доказанного, для всякого конечного множества А Э Е„выполняется неравенство Мы установили, что функция из суммируема по множеству Т, а р есть сумма функции и по множеству Т. Теорема доказана.
° Следствие 1. Если функция и: Т вЂ” ~ Х суммируема по множеству Т, то она суммируема также и по любому Я С Т. Доказательство. Пусть функция и: Т вЂ” Х суммируема по множеству Т. Зададим произвольно е > О. Согласно теореме 4.4 по данному е найдется множество Е 6 ..с'(Т) такое, что для всякого конечного множества А с Т, не пересекающегося с множеством Е, выполняется неравенство Положим Е' = Е П Я. Множество Е' конечно. Предположим, что множество А' С Я также конечно и не содержит точек множества Е'. Тогда А' П Е = Я и, значит, в силу выбора Е выполняется неравенство $.
!" Так как е > О произвольно, то мы получаем, следовательно, что для функции и выполняется условие суммируемости по множеству Я. Следствие 1 доказано. Т Ъ' Следствие 2. Если функция и: Т вЂ” Х, где Х вЂ” банахово пространство, суммируема по множеству Т, то множество значений 1 б Т, для которых п~ ~ О, не более чем счетно. Доказательство. Предположим, что функция и: Т -+ Х суммируема по множеству Т. Тогда для всякого и Е Ы найдется конечное множество Е„С Т такое, что для любого конечного множества А С Т, не содержащего точек множества Е„, выполняется неравенство З 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
