1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Полагая х„= 1 для всех и б РУ, получим расходящийся ряд, для которого выполняется это равенство. 1 1 1 Рассмотрим ряд [х„]„ен, где х„= = — — . Его п(и+1) п и+1' 1 п-я частная сумма равна 1 — и при п — оо стремится к пределу, и+1 равному единице, так что данный ряд является сходящимся. В то же время для этого ряда 1нп ~Дх„~ = 1. (Проверку последнего утверждеи- са ния мы предоставляем читателю.) Теорема доказана. ° 'з 2. Признаки сходнмостя рядов 241 Ьп =о, тп+1 и-~пп (2.3) Справедливы следующие утверждения: 1) ЕСЛИ И < 1, ТО РЯД [Хп]пЕ1Чп СХОДИТСЯ, 2) если Н > 1, то ряд расходится; 3) если о' = 1, то ряд [яп]„ен, может быть как сходящимся, так и расходящимся. Доказательство. Предположим, что ряд [яп]„еи„удовлетворяет условиям: я„~ 0 при п > то, и существует предел (2.4).
Очевидно, Н > О. Пусть л' < 1. Зададим произвольно д такое, что И < д < 1. Тогда в силу известных свойств предела (глава 2) найдется номер т > то Яп+1 такой, что при всяком и > то выполняется неравенство — < д. Так х„ как 0 < д < 1, то геометрическая прогрессия(дп)„ен, сходится. В силу вспоров теоремы сравнения (теорема 2.4) отсюда вытекает сходимость ряда [хп]пяи,. Рассмотрим случай, когда о > 1. В силу свойств предела, установленных в главе 2, найдется номер т > що такой, что при каждом Х„+1 и > щ имеет место неравенство — > 1. Отсюда заключаем, что яп Х„+1 > Х„ПРИ КажДОМ П > Щ, т.
Е. ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Хп)„ЕВ, ЯВЛЯ- ется возрастающей для п > т. Отсюда, в частности, следует, что хп+1 > я > 0 при каждом п > т и, значит, т„не стремится к нулю при п — оо и поэтому ряд [як]„ен, расходится. 1 Ряд [я„]„ен, где х„= 1 для всех п, и ряд, указанные в доказательстве теоремы 2.5, дают примеры, показывающие, что в том случае, когда И = 1, ряд [в„]„ен может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Теорема доказана. ° ° Теорема 2.6 (признак Даламбера сходимости и расходимости ряда). Лусть [т„]„ен„есть числовой ряд, все члены которого неотрнцательны. Предположим, что можно указать номер то Е Х такой, что х„~ 0 лрн всех п > то, н существует предел Гл. 11, Теория рядов 242 2.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ СХО ИМОСТИ И РАСХО ИМОСТИ РЯ А ° Лемма 2.3. Пусть т и п — целые числа такие, что тп < и, и 1: [гп,п] — Е есть невозрастающая функция.
Тогда имеют место неравенства и-1 и у'. уо) > 1'ю и > 1 ю. (2.5) и=и> Ь=>и+1 Доказательство. Возьмем произвольно значение Й такое, что пз < Й < и — 1. Для всех 1 б [Й, Й + 1] имеем 1(Й) > 1(1) > 1"(Й + 1), откуда, очевидно, следует У(Й) > У(1)а > У(Й+ 1). Суммируя данные неравенства почленно по Й в пределах от Й = т до Й = и —.
1, получим и-1 и — 1 + я+1 и-1 1 У[ц> З У' Уи)и> 1 УО>ц. Ь=>и Ьии> Ь и=и> Осталось заметить, что и-1 +1 и и-1 и Е 1' та=~у(еа, 1.уо -1)= Х; ли. я=и> у, Ьи>и Ьии>+1 Лемма доказана. ° ° Теорема 2. у (интегральный признак Коши сходимости и расходимости ряда). Пусть у: [1,оо) — > К есть неотрицательная невозрастающая функция.
Тогда для того, чтобы числовой ряд [у'(п)]иен был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы функция 1" была интегрируема ло замкнутому промежутку [1, оо]. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть функция 1 удовлетворяет условиям теоремы. Для х Е [1, оо) положим Г(х) = Д1) й. 1 з 2, Признаки сходнмости рядов 243 Функция Е непрерывна и является неубывающей, и функция ~ будет интегрируема по промежутку [1, со] в том и только в том случае, если предел 1пп Г(х) = Л конечен. Предположим, что ряд [Дп)]„еп сходится.
Воспользуемся первым из неравенств (2.5). Полагая в нем т = 1 и заменяя п на а+ 1, получим, что при каждом и Имеем Ь = Б1п Г(в+ 1). и->хо Так как ряд [Дп)]„ен~ является сходящимся, то последовательность его частных сумм ограничена сверху и, значит, последовательность (Р(п + 1))иеп ограничена сверху.
Отсюда вытекает, что А конечно и, значит, функция 7' интегрнруема по промежутку [1,оо]. Необходимость условия теоремы доказана. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функция г интегрируема по промежутку [1,оо]. Тогда величина Х = 1пп Г(х) Х-и хи конечна. Применим второе из неравенств (2.5), полагая в нем !и = 1. Получим Последовательность частных сумм ряда [7(п)]„еп, таким образом, ограничена сверху. Так как Дп) > 0 для всех п, отсюда вытекает, что ряд [Дп)]„ен является сходящимся. Теорема доказана. ° Предположим, что функция 7": [1, оо) К удовлетворяет всем условиям теоремы 2.7 и ряд [Дп)]„ен является сходящимся.
Неравенства (2.5) леммы 2.3 позволяют получить простые о ц е н к и ос!па!ночного члена данного ряда. Согласно лемме 2.3 для любых п, щ Е М имеют место неравенства и+ и> и+и> + + ~Щи> т; 11>1> ~ Лох. Х>>И+! и+1 244 Гл. 11. Теория рядов Переходя к пределу при т -> оо, получаем следующие оценки для остаточного члена ряда (см.
з 1) [У(п)]„ен.' 1су(асс> 1= ес) > / лс)сс. о 1=о+1 о+1 П именим тео ем 2.7 к иссле овацию воп оса о схо имости или асхо имости некото ых колк тных ов ~11 Рассмотрим ряд ~ — ~, где сс — произвольное положительное оЕГ>с число. Функция 1: х Е [1, оо) > х имеет первообразной функцию х1-а Г:[1,оо) — К, где Г(х) = , если сс ф 1,и Г(х) = 1п х в случае 1 — сс ес = 1.
Отсюда видно, что если О < о < 1, то 1пп Г(х) = со, а если х-~оо 1 сс > 1, то 1пп Г(х) = О. Следовательно, функция х с — интегрирух оо хо ема по промежутку [1, оо] для любого сс > 1 и не является интегрируемой по этому промежутку, если О < о < 1. Мы получаем, что ряд с 1 1с — сходится, если о > 1, и расходится в случае, когда О < а < 1. оян В случае, если величина Ях), используемая в признаке сходимости Коши — Адамара, равна единице, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.
Подтверждением этого являются ряды (2.6) Действительно, имеем 1пп) Бпз ~1 — = 1пп ехр ~-сс — ) = ехрО = 1. о с> 1с па о 1 и ) В то же время, как мы видели, для одних значений а, а именно, в случае, когда О < сс < 1, ряд (2.6) расходится, а для любого сс > 1 ряд (2.6) является сходящимся. Точно так же, если для ряда [х„]„ен, величина а(х), которая фигурирует в признаке Даламбера сходимости ряда, равна единице, то, по- 1 лагая х„= —, получим, что в этом случае ряд может быть как сходяпа ' щимся, так и расходящимся. 245 з 2.
Признаки сходимости рядов 2.5. ПРИЗНАК РААБЕ СХО ИМОСТИ РЯ А Приведем здесь один простой результат, который иногда позволяет выяснить, сходится данный ряд или нет. Он часто оказывается полезным в тех случаях, когда признаки Коши — Адамара и Даламбера сходимости ряда не позволяют дать ответ на этот вопрос. 1 Сначала рассмотрим ряд [я„~„ез~,, где х„= — при каждом ~а яп+ "1 п е Ыы Отношение, очевидно, стремится к единице при п — ~ оо. та Исследуем меру отличия этого отношения от единицы при больших значениях о. В данном случае Удобнее рассматривать отношение Имеем при п ~ оо — 1+ — =1+ — +о Отсюда 1пп п —" — 1 =о.
11 Мы получили, что ряд т„= — ~ сходится, если предел аяаа Бшп —" — 1 =о больше единицы, и расходится, если этот предел не превосходит единицы. Это заключение справедливо в более общей ситуации, как показывает следующее предложение. Гл. 11. Тео ия ядов 246 ° Теорема 2.8 (признак сходимости Раабе). Пусть дан числовой ряд [ха]аен, такой, что ха > 0 для всех и. Тогда: 1) если 1ппп "— 1 >1, то числовой ряд [ха]аен, сходится; 2) если существует номер т такой, что и — 1 <1 для всех п > т, то числовой ряд [х„]„еи расходится.
Доказательство. Пусть ряд [х„]„е1Ч, удовлетворяет всем усло- виям теоремы. Предположим, что Л= 1пп п " — 1 >1. Зададим произвольно числа о и р такие, что 1 < о < ф < Л. Положим 1 аа = —. Тогда будем иметь па Бгп п — — 1 =о<13<Л. / а о [,аа+, Значит, найдется номер т такой, что при каждом п > т выполняются неравенства и —" — 1 <,9<и —" — 1 аа ха а„+1 Ха+1 Отсюда следует, что — < — и, значит, — > — при всяа„+1 Хааз аа ха ~11 ком п > т.
Так как ряд ~ — ~ сходится, отсюда в силу второй або теоремы сраеиеиия (теорема 2.4) вытекает сходимость ряда [ха]аен,. Первое утверждение теоремы доказано. Покажем второе утверждение. Предположим, что ряд [х„]„ен, обладает тем свойством, что для него существует номер т такой, что / ха при каждом п > т выполняется неравенство п ~ — — 1 < 1. ха+1 1 / аа Пусть п > т. Положим аа = —. Тогда и ~ — — 1 = 1, оти '1, а„+1 Х„+1 аа+1 куда заключаем, что — > для всех и > т. Так как ряд ха аа с 11 — является расходящимся, то в силу второй теоремы сравиеиия або (теорема 2,4) отсюда следует, что ряд [х„]„ен„расходится.
Теорема доказана. ° з 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 247 3 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 3.1. ТОЖ ЕСТЕС АБЕЛЯ. ПР ЗНАКИ ИРИХЛЕ И АБЕЛЯ СХО ИМОСТИ РЯ А ° Лемма 3.1 (лемма Абеля). Пусть даны две конечные последовательности чисел ио, и1,..., и„, ио, о1,..., о„.
Положим Уо = ио и У» = У» 1 + и» при А' > О. Тогда имеет место равенство ~ и»о» = У + Я с»Ь» — е»+1) (3.1) (тождество Абеля). Доказательство. Имеем В = ~, и»о» = оооо + ~1 Ж» — П»-1)о» = Попо +,,'1, ~У»о» вЂ” ~ П» 1о». Во второй сумме справа заменим индекс суммирования, полагая lс — 1 =1. В результате получим ~ = ПООО+ ~~1 П»О» — ~~1 ~Ъо»1 =,,~,П»Ь» — О»+1)+ Ппеп. Лемма доказана. ° Тождестве о Абеля можно рассматривать как своего рода а н а л о г формулы интегрирования по частям для определенного интеграла — для случая конечных сумм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
