1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Изложение ведется в обшей форме, а именно, рассматриваются ряды, члены которых есть элементы произвольного нормированного векторного пространства. Таковым пространством может быть, в частности, множество всех вещественных чисел Е или множество всех комплексных чисел С. Ряды, все члены которых есть вещественные или комплексные числа, называются числовыми. Случай числовых ранов является для нас основным. Примеры рядов, не являющихся числовыми, будут приведены в конце этой главы. Ряды со значениями в произвольном нормированном векторном пространстве в полном объеме найдут применение в следующей главе 12. 1.1.

ОПРе еленик и ЛР стейшие свойствА схо я ихся Ря ов 1,1.1, Пусть Х есть нормированное векторное пространство над полем И, Ф: х + 'нхн есть норма в этом пространстве. Тогда, как мы знаем (см. главу б), полагая р(х, у) = нх — уй для произвольных х, у е 1ь, мы получим некоторую метрику в Х. Эта метрика называется естестпвенной метрикой нормированного векторного пространства Х. Напомним определения некоторых понятий, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть дана последовательность (х„)„е~, точек пространства Х. (Для обозначения этой последовательности будем применять также записгп (х„Е Х)„ен„.) Точка а Е Х называется пределом последовательности (х„) еьь, если 1пп йх„— аЙ = О. Последовательность (х„)„ен„точек банахова пространства Х называется сходящейся, если она имеет предел. Последовательность (х б Х) еьк называется фундаментальной (см. п. 4.5 главы б), если для всякого г > 0 можно указать номер й > и такой, что для любых п1 > и и пз > й выполняется неравенство ()х„, — х„,'и ( г. Если последовательность (х„),ен, сходящаяся, то она является фундаментальной.

Нормированное векторное пространство называется 221 З Б Определения. Общие сведения о рядах полным, если в нем верно и обратное: всякая фундаментальная последовательность в этом пространстве имеет предел. Множество всех вещественных чисел К представляет собой полное нормированное векторное пространство. Заметим, что для последовательностей вещественных чисел определено также понятие предела, равного хоо.

Последовательность (х„Е К)„ен, называется сходящейся в том и только в том случае, если она имеет конечный предел. Во всех остальных случаях, т. е. в случае, когда последовательность либо вообще не имеет предела, либо имеет предел, равный ~со, она называется расходящейся. Всякое конечномерное нормированное векторное пространство, как было показано ранее (см. главу б), является полным нормированным векторным пространством. Полное нормированное векторное пространство называется банаховым. Пусть Х есть нормированное векторное пространство.

Ряд в пространстве Х есть пара последовательностей (хь Е Х)вен„и (ва Е Х)ага, векторов пространства Х такая, что вь = хь, и при каждом п > Й значение в„определяется равенством в„= в„1 + х„. Последовательность (х„Е Х)„еьь называется последовательностью членов ряда, а (в„б Х)вен, — последовательностью его частных сумм.

Будем говорить, что х„есть п-й член ряда, а в„— его частная сумма с номером и или, иначе, и-я частная сумма рассматриваемого ряда. Из определения очевидно, что последовательность (в„Е Х)„ен, частных сумм ряда полностью определена, если задана последовательность его членов (х„Е Х)„ен„. При каждом п Е 1зь, очевидно, справеди лино равенство в„= 2 х . Ряд, последовательность членов которого т=ь есть (х„Е Х)„ен~, будем обозначать символом [х„Е Х]„ен„. В случае, когда пространство Х есть либо множество К, либо множество С, ряд, члены которого есть элементы Х, называется числовым. Числовой ряд, все члены которого есть вещественные числа, называется вещественным числовым рядом. Ряд [х„Е Х]„еь~ в пространстве Х называется сходящимся, если последовательность его частных сумм имеет предел.

Вектор в пространства Х, являющийся пределом последовательности частных сумм ряда [х„Е Х]„е~,, называется суммой этого ряда и обозначается одним из следующих двух выражений: х„или хь + хь+з + + х„+... е=я Гл. 11. Теория рядов 222 Те же самые выражения мы будем применять также и для обозначения самого ряда. Это не приведет к путанице, так как из контекста всегда будет ясно, чтб имеется в виду: сам ряд или его сумма.

Для числовых последовательностей определено понятие бесконечного предела. Если последовательность (з„б К)„язв частных сумм ряда (х„Е К]„ен, имеет предел Ь = ~со, то будем говорить, что сумма числового ряда [хи]иен, равна Ь, и писать и Зи и Зи — В = ,'1 Х,— ~1 Х,= ~1 Х. 1=я 1=я 1=~+1 (1.1) ° Теорема 1.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд [х„б Х]иен, в нормированном векторном пространстве Х сходится, то 1пп хи = О.

и- иэ Яоказательство. Пусть (аи ) „ен„— последовательность частных сумм сходящегося ряда [х„б Х]„ен„. Тогда существует предел 1пп зи = я, причем в случае Х = К предел этот конечен. ИМЕЕМ Х1 — — Я1, а ПРИ П > 1С ИМЕЕМ Хи = Зи — Зи 1. ПРИ и — СО в силу известных свойств предела (см. главу 2) яи-1 — лш зи — я и-~со и ОО Если сумма ряда [х„б Х]иен, не определена или, в случае Х = К, равна ~со, то говорят, что данный ряд расходится нли, иначе, является расходящимся.

В дальнейшем всякий раз, когда это не может привести к недоразумению, мы не будем указывать в обозначениях множество, которому принадлежат члены рассматриваемых последовательностей и рядов, и будем писать просто (х„)„ещ, и соответственно [хи]иен„. Для всякой последовательности (у„б Х)ие1я, можно построить ряд, для которого она является последовательностью частных сумм. А именно, полагаем хь = уь, и при и > 1с пусть хи = ри — уи Тогда уь = хь и уи = уи 1 + хи при каждом и > Й, как и требуется определением последовательности частных сумм ряда. ПуСтъ даи ряд [Х„б Х]„ЕП,, И ПуСтъ (аи)„ЕН, ЕСТЬ ПОСЛЕдОВатЕЛЬ- ность его частных сумм.

Тогда для любых и б Хь и т б Х таких, что и > тп, имеет место равенство З Е Определения. Общие сведения о рядах 223 Отсюда вытекает, что 1пп х„= Бгп (з„— з„з) = з — з = О, что и требовалось доказать. ° 1.1.2. Условие теоремы н е является д о с т а т о ч н ы м для того, чтобы данный ряд был сходящимся, как показывает следующее рассуждение.

Пример. Пусть Х = К, [х„]„>о есть ряд, последовательность частных сумм которого есть последовательность (1п(и + 1)), и = О, 1, 2,.... Имеем 1~ х„= 1п(и + 1) — 1п и = 1п 1 + — ) при каждом и > 1, хо — — 1п 1 = О. При и -~ оо получаем х„- 1п 1 = О. В то же время имеем з„= 1п(и+ 1) — оо при и — оо, так что ряд [х„]„>о является расходящимся. 1.1.3. Пусть дан ряд [х„е Х]„енз . Всякий ряд вида [х„Е Х]~еь~„+,, где т > к, т — целое число, называется остатком исходного ряда.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью или расходимостью ряда и сходимостью или расходимостью его остатков. ~~~ хп ~ хп + ~ хв ° (1.2) и=пав+1 Доказательство. Пусть т > и. Обозначим через з„и-ю частную сумму ряда [х„]„е~ц„, и пусть $„есть частная сумма с номером и ряда [х„]„ен +,. При всяком и > т согласно (1.1) имеем з„=~ х =~ х+ ~~~ х, =з +1„. Предположим, что ряд [х„]„е~, является сходящимся, пусть з есть его сумма з = 1пп з„.

Тогда является сходящейся также и последовательность (з„)„ен +,, причем вектор з является ее пределом. Отсюда следует, что последовательность (1„)„ен ~, имеет предел. При этом 1пп 1„= 1пп (з„— з ) = з — з ° Теорема 1.2. Если ряд [х„Е Х] ек, сходится, то и любой из его остатков является сходящимся рядом. Обратно, если хотя бы один из остатков ряда [х„Е Х] ен, сходится, то сходится и сам ряд. При этом для всякого сходящегося ряда [х„е Х]„вью прн любом целом т > к выполняется равенство Гп. 11.

Теория рядов Следовательно, мы получаем, что ряд [х„]„е~„,+, сходится, причем имеет место равенство хп вяз + ~ хп. в=ай+1 Таким образом, нами установлено, что сходимость ряда влечет сходимость любого из его остатков, причем имеет место равенство (1.2). Предположим, что для некоторого т Е Х ряд [х„]„ен ~, является сходящимся. Имеем в„= в +1„при каждом и > т+ 1.

Последовательность (1„)„ен ~, имеет предел. Отсюда вытекает, что последовательность (в„)„ен +, также имеет предел. В силу известных свойств предела отсюда следует существование предела последовательности (в„)„е~,. Согласно определению это означает, что ряд [х„]„ен„ является сходящимся. Теорема доказана.

° Следствие 1, Если ряд [х„Е Х]„ен„является расходящимся, то и любой из его остатков расходится. Если хотя бы один из остатков ряда [х„Е Х]„язв расходится, то сам ряд является расходящимся. Следствие 1 есть, в сущности, переформулировка теоремы 1.1. ч (1.3) [хв]нем ~ь и [уп]аех совпадают.

Это значит, что если один из них сходится, то сходится также и другой, и потому в силу теоремы 1.2 и ее следствия 1 сходи- мость одного из рядов (1.3) влечет сходимость другого, а если один из них расходится, то расходится и другой. Следствие 2 доказано. 1.1.4. Пусть [х„Е Х]„вью есть сходящийся ряд. Полагаем гп ~ х1~ 1~~+~ Следствие 2.

Характеристики

Список файлов книги