1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В частности, ф дифференцируемо в каждой точке с б В(0, р1). Найдем дифференциал отображения 4 в точке О. Зададим произвольно вектор и. По определению, имеем дф(0 и) = 1пп = Бш(Х(ЬД)) ~О = (Х(0)) и = и, 1б(0 + Ьт)) — 4~(0) так как Х(0) = Х(Р) = Е и, значит, также и (Х(0)) з = Е. Таким образом, дифференциал отображения 4~ в точке 0 есть тоокдественное отображение пространстеа К". Отсюда вытекает, что найдется открытое множество С С В(0, р1) такое, что 0 б С, и ограничение 1б на множестве 1' есть диффеоморфизм класса С". Далее, имеем 4(0) = О, так что 0 к 4~(С).
Множество 4(С) открытое. Найдем б > 0 такое, что шар В(0, б) С ф(С). Положим ~р = ЛоФ Покажем, что отображение ~р и есть требуемое. Действительно, для произвольного $ й В(0, б) будем иметь У[р(1)] = У(Л[4' '(~)]) =д[Ф '(~)] Если б = 4 ~(1), то 1 = Щ) = Х(б) ~с, откуда с = Х(с)1. Следо- вательно, У[р(1)] = д[4' ~(е)] = д[ХЫ)~] = д(0) + (УЫ)Х(~)~ Х(б)~) = е = д(0) + ((Х(б))*Ц~)Х(с)е, е) = г(а) + ~~~ е;ез. Видим, что диффеоморфизм у и есть искомый. Теорема доказана. ° Если функция ~ удовлетворяет условиям теоремы 6.1 (теореиы Морса), то степень гладкости диффеоморфизгеа ~р можно п о в ыс' и т ь, а именно, диффеоморфизм у, указанный в формулировке теоремы, можно выбрать так, чтобы он принадлежал классу С"+з.
Доказательство этого требует применения соображений, отличающихся от приведенных в доказательстве, изложенном выше, и требует использования математической техники, которая в данном курсе не рассматривается (хотя и не является сложной). 194 Гл. 10. Основы гладкого анализа й 7.
Вычисление частных производных функций, заданных неявно. Примеры При решении разнообразных задач математического анализа часто возникает необходимость находить значения производных той или иной функции, определенной как решение некоторой системы уравнений. Теорема о неявных функциях позволяет ухазать условия, при которых та или иная система уравнений определяет некоторую функцию. Правила дифференцирования функций, установленные в главе 7 (КМА, часть 1, книга 2), достаточны для того, чтобы с их помощью можно было найти производную любой функции, определенной неявно как решение некоторой системы уравнений.
В и. 7.1 этого параграфа приводятся соображения относительно того, как можно было бы упорядочить работу по вычислению производных функции, заданной неявно. В и. 7.2 рассматриваются некоторые примеры на применение методов дифференциального исчисления функций многих переменных к задаче об исследовании функции нескольких переменных и изучения строения множеств, задаваемых системами уравнений.
Исследование строения функций многих переменных или множества в пространстве может осуществляться, в частности, путем рассмотрения сечений графика функции или другого интересуюшего нас множества двумерными плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Это приводит к задаче, которая может быть решена средствами дифференциального исчисления функций одной переменной. При перемещении плоскости меняется строение кривой, получаемой в сечении графика функции плоскостью. При этом качественные изменения в строении сечения обычно возникают при прохождении через точку, являющуюся в том или ином отношении особой для рассматриваемой функции.
7.1. О ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВО НЫХ ФУНК ИЙ ЗА АННЫХ НЕЯВНО 7.1.1. Рассмот им воп ос о вычислении и оизв ных нк ий оп е- еленных как ешения некото ых авнений. Пусть даны функции х: (а„9) — К и у: (а, р) — К, принадлежащие классу С". Чтобы не оговаривать каждый раз условия, налагаемые на функции х и у, будем предполагать, что т таково, что все выполняемые далее операции дифференцирования возможны. Предположим, что функция х в промежутке (а,13) строго монотонна. Тогда функция х отображает этот промежуток на некоторый отрезок (а, Ь) и по теореме об обратной функции (КМА, часть 1, книга 1, 'з 7. Вычисление частных производных функций 195 глава 2, теорема 4.3) существует непрерывная обратная функция ~ = = х ~:(а,о) †« (а,~З).
Если во всех точках промежутка (а, р) производная функции х отлична от нуля, то функция С принадлежит тому же классу гладкости С', что и функция х. Дифференцируя равенство х[С(х)] = х, полу- чим х'[с(х)]с'(х) = 1. (7.1) Данное равенство позволяет определить производную функции Ях). Дифференцируя обе части равенства (7.1) по переменной х, получим следующее равенство: х'[Ях)]Ып(х) + ха[Ях)9'(х)]~ = О. (7.2) Это равенство дает с е ство ля вычисления вто ой п оизво ной функции ~, Коэффициент при Е'(х) равен х'[Ях)] и, следовательно, отличен от нуля. Дифференцируя по х обе части равенства (7.2), получим равенство х'[Ях)]~п'(х) + Зх" [Ях)]~'(х)~"(х) + х'а[Ях)][С'(х)] = О.
(7.3) х'[с(х)ф >(х)+ + Г (х'[Ях)],...,х~~~[~(х)],~'(х),...,~~~ ц(х)) = О. (74) Производная порядка т функции с(х) входит в единственное слагаемое слева — в то, которое написано первым. Символ Г обозначает сумму всех остальных слагаемых, каждое из которых есть произведение производной х<~1[Ях)] на некоторую комбинацию производных Производная третьего порядка функции Ях) содержится в единственном слагаемом левой части равенства (7.3). Коэффициент при Еп(х) равен х'[с(х)] ~ О. Поэтому если первая и вторая производные функции Ях) известны, то равенство (7.3) дает с ство ля вычисления ее т тьей п оизво ной.
Продолжая этот процесс далее, мы сможем найти значения также и всех последующих производных функции с(х). Вычисления, которые при этом требуется провести, с каждым шагом становятся все более и более громоздкими. Мы не можем выписать получаемые формулы в общем виде и ограничимся только общими указаниями относительно характера описываемой процедуры. Заметим, что каждое из равенств (7.2) и (7.3) может быть записано следующим образом: Гл. 10. Основы гладкого анализа 19б функции С(х). Лля каждого из слагаемых, составляющих Г, порядок входящих в него производных функции Ях) меньше т. дальнейшие дифференцирования приводят к равенствам, в правой части которых стоит нуль, а структура левой части та же, что и в случае равенства (7.4). действительно, продифференцируем обе части равенства (7.4).
Производная первого слагаемого есть функ- ция х'[Дх)ф +О(х) + х" [Ях)ф ~(х)~'(х). ~'(х) =,, 7'(х) = у'[С(х)]С'(х). х'[Ях)] ' Отсюда при 1 = с(х) получаем ,Г(х) = у'[Дх)] у'(г) х'[Ях)] х'(1) (7.5) При дифференцировании выражения Г получим некоторую комбинацию из производных х~ь>[Дх)] и ~бб(х), где 1 < а < т + 1 и, что существенно, 1 < 1 < т. Отсюда ясно, что в результате мы придем к равенству, которое формально может быть получено из (7.4) заменой т на т+ 1. В левой части нового равенства производная порядка т+ 1 функции с входит только один раз в виде слагаемого х'[С(х)]~~ +О(х), а остальные слагаемые в левой части содержат производные этой функции порядка, меньшего из + 1. Если производные Е(х),...,~< Ц(х) найдены, то, применяя равенство (7.4), мы сможем найти производную ~~ >(х). При этом существенно используется то обстоятельство, что производная х'[Ях)] отлична от нуля для всех х б (а, 6).
Теперь рассмотрим функцию Дх) = у[Ях)]. Она принадлежит классу С". Покажем, как можно вычислить производные высших порядков функции 7. дифференцируя последовательно равенство Дх) = = у[Дх)], мы получим некоторую последовательность равенств. При этом в левой части т-го равенства будет стоять производная ~~ >(х), а в правой — выражение, которое получается, если в левой части равенства (7.4) заменить функцию х(1) на у(1). Подставляя в это равенство значения производных функции С(х), найденные как описано выше, мы получим явное выражение для производной 71 >(х). Выпишем явно выражения для некоторых из производных функции 7". Имеем з 7.
Вычисление частных лроизводных функций 197 Покажем как вычислять п оизво ные вто ого по я ка и более высоких по ков нк ии х = х Продифференцируем соотношение (7.5). Получим Ун(х) = у" [6х)][6(х)]'+ у'[6х)К"( ) (7.6) Из равенства (7.2) мы имеем следующее выражение для второй производной функции бх): х" [6х)][6(х)]2 хЯ(х)] (7.7) Подставляя его в (7.6), получим Ун(х) =, (х'[~(х)]у" фх)] — у'[6х)]х" [Ях)]). (7.8) Ун(х) =,, (х'[6х)]ул[6 )] — у'[6х)]х" Ы(х)]) (7.9) Равенство (7.9) может быть представлено также в другой форме: у '(х) = [х'(1)у' (1) — у'(1)хн(1)], (7.10) где 1 = бх).
Из равенства (7.3) получаем Зх" [с(х)]6(х)сн(х) х"'[бх)][6(х)]з х'[6х)] '[6х)] Выражая вторую производную функции с по формуле (7.7), получим следующее выражение для третьей производной функции 6 ен 3(хо[ах)])2[6(х)]з хн'И(х)][6(х)]з (х'[6х)])з х'[бх)] Полагая с(х) = 1 и принимая во внимание равенство (7.1), данное ра- венство можно записать следующим образом: 1 Замечая, что 6(х) =,, последнее равенство можно записать в следующей форме: Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
