1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Основы гладкого анализа 178 Лы Лю..., Л„есть соответствующие им собственные значения отображения Ь. Дальнейшие рассуждения мы разобьем на несколько шагов. А. Для произвольного х Е К" положим Г(х) = (Ь(а),я). Функция Г есть квадратичная форма в К", т. е. Г есть полипом не выше второй степени. В частности, отсюда вытекает, что Г б С" при любом г. Пусть Мз есть сфера Я(0,1) в К". Множество Мз компактно. Пусть Л1 —— 1п1 Г(х). *ем Функция Г непрерывна, и, значит, найдется точка и1 Е Мы в которой она принимает свое наименьшее значение на множестве Мы т.
е. такал, что Г(и~) = Лы Пусть Мз есть совокупность всех векторов я б Мы ортогональных вектору и1. Если и ) 2 (это условие мы можем считать заведомо выполненным, так как случай и = 1 интереса не представляет), то множество Мз непусто. Оно представляет собой совокупность решений системы уравнений ~я! = 1, (ид,я) = О, левые части которых есть непрерывные функции, и, следовательно, Мз замкнуто.
Очевидно, Мз ограничено и, значит, компактно. Пусть из есть точка, в которой Г принимает свое наименьшее значение на Мз и Лз = Г(из) = ш1Г. Так как М1 Э Мз, то М2 Л1 = ш1 Г < Лз = ш1 Г. М, Мд Продолжал это построение, на й-м шаге мы получим набор векторов иы из,..., иь и чисел Лы Лз,..., Ль. При этом вектор иь ортогонален ко всем остальным, и если Мь есть множество всех векторов я Е Мы ортогональных к каждому из векторов иы из,..., иь м то имеет место соотношение Ль = шХ Г(ж) и Г(иь) = Ль. ая Мд В итоге будет построена система из т < и взаимно ортогональных векторов иы ию..., и Е Мз и последовательность чисел Лы Лз,..., Л Б.
Следующий этап рассуждений состоит.в доказательстве того, что число т построенных векторов и; равно и. Предположим сначала, что для некоторого т < п векторы иы ию..., и определены, причем З 5, Условные экстремумы 179 ~и~ = 1 при каждом ю, и если г ф 7', ~, 7' = 1, 2,..., т, то (и;, и ) = О.
Векторы им из,..., и линейно независимы. Действительно, пусть числа амаз,...,а таковы, что т а,и =О. у=1 Отсюда т зч О=Еа (и ) =Еа2 в=1 и = о — (е, и~)из — (о, из)из — . — (о, и )и Тогда и~ ~ 0 и вектор и>, как легко проверяется, ортогонален каждому Ю из векторов имия,...,и . Вектор и = —, очевидно, принадлежит И' М +м так что множество М +~ непусто. Из сказанного следует, что описанное здесь построение векторов и; оканчивается только на и-м шаге, так что т = п. В.
По определению (п. А доказательства), иь есть точка множества Мь, на котором функция Г(х) = (Ьх, х) принимает свое иаи меньшее значение, а Аь = Г(иь). Множество Мь при 1 < 7с < п определяется системой уравнений 7о(х) = (х, х) — 1 = О, Ях) = (и;,х) = О, 1= 1,2,...,/с — 1. (5.14) Как следует из рассуждений, проделанных в п. Б доказательства, Мь непусто. Имеем ~7Ях) = 2х и ~7Ях) = и; при 1 = 1,2,..., й — 1. Векторы им..., иь м х при х Е Мь образуют ортонормальную систему н, следовательно, линейно независимы. Мы получаем, что в каждой точке х Е Мь векторы ~77о, т77м..., '[7 7ь ~ линейно независимы и, значит, при Й < п множество М есть (и — 7с)-мерное дифференцируемое и, значит, а; = 0 при каждом 1 = 1, 2,..., т, что и доказывает линейную независимость векторов имия,..., и Далее, если т < и, то множество М +~ всех векторов х Е Я(0,1), каждый из которых ортогонален любому нз векторов им из,..., и, непусто.
Действительно, так как векторы им из,..., и линейно независимы и т < и, то найдется вектор о Е К", который не является их линейной комбинацией. Положим 180 Гл. 10. Основы гладкого анализа многообразие. (Это есть (и — й)-мерная сфера, получаемая при пересечении Я(0, 1) с и — й + 1-мерной плоскостью, определяемой последними /с — 1 уравнениями (5.14).) Множество Мь ограничено. Оно замкнуто и, следовательно, компактно.
Так как Г есть непрерывная функция, то Г принимает на Мь н а и м е н ь ш е е значение в некоторой точке и. По построению, иь есть одна из этих точек и Найдем градиекш функции Г. Возьмем произвольно точку х е К" и вектор Ь Е К". Для всякого 1 е К имеем Г(х + 1Ь) = (Цх) + 1Ь(й), х + 1Ь) = (Цх), х) + 21(5(х), Ь) + Х~(Х(Ь), Ь). (5.15) (Здесь было использовано тождество (Цй), х) = (1(х), Ь), которое выполняется в силу симметричности отображения 5.) Дифференцируя обе части равенства (5.15) по 1 и полагая 1 = О, получим, что ЯГ(х), Ь) = ИГ(х; Ь) = 2(1(х),й) для всякого вектора Ь Е К".
Отсюда градиент функции будет ~7Г(х) = 2Цх) для любого.х Е К". Покажем, что при каждом й = 1, 2,..., и найдутся числа ,иьд,нь з,... „иь,ь такие, что имеет место равенство Х(вь) = рьдиз+дьдцз+" + рь,вил (5.16) В случае й = и существование таких чисел нь,, г = 1,2,..., к, следует из того, что пы из,..., и„есть система из и линейно независимых векторов и, значит, всякий вектор н Е К" может быть представлен как их линейная комбинация. Пусть й ( и. Тогда иь есть точка экстпремума функции Г на многообразии Мь и, значит, по теореме 5.1 найдутся числа ам аз,...,аь такие, что ~7Г(иь) = аз~Уо(вь) + агЧЫиь) + ' ' '+ аь~7~ь-ь(иь) 181 3 6. Теорема Морса откуда 2Ь(иь) = 2азиь + азиз + .
+ озиь-ы и равенство (5.16), очевидно, выполняется.. При этом рь,ь = ам рь; = 1 = -о;+1 при з' = 1, 2,... к — 1. 2 Ф 1 ''1 Докажем, что при г < к коэффициент рь; в равенстве (5.16) равен нулю. Действительно, заметим сначала, что нз равенства (5.16) следует, что при у' > к выполняется (Циь),и ) = О для любых к = 1,2,..., и — 1. Пусты < /с. Тогда имеем (Циь), и;) = рь;. С другой стороны, в силу симметричности Т имеет место равенство (ь(иь), и;) = (Ци;), иь) = О и, значит, рь; = О.
Таким образом, мы получаем, что Циь) = рь,ьиь при каждом к = = 1, 2,..., п. Осталось заметить, что Ль = (Циь),иь) = рь ь(иь,иь) = иь ь, и, стало быть, мы получим, что при каждом к = 1, 2,..., и имеет место равенство Циь) = Льиы По определению, это означает, что иь, 1 < и < и, есть собственные векторы линейного отображения Т,, а Ль при 1 < к < п — соответствующие им собственные значения. Теорема доказана. ° 36.
Теорема Морса Ранее (см. 3 3) было доказано, что при условии, когда вектор-функция з: У вЂ” К~ определена на открытом множестве У пространства К, принадлежит классу С", где г > 1, и является невырожденной в некоторой точке а Е У (т. е. ранг матрицы Якоби функции ~ в точке а Е У принимает наибольшее из возможных значений), выбором надлежаших систем координат в окрестностях точек а и Ь = 1 (а) функцию 1 можно привести к некоторому простейшему виду (теоремы 3.2-3.4). В этом параграфе изучается строение вешественной функции 1 класса С", где г > 2, в окрестности точки а в предположении, что данная функция не является невырожденной в этой точке. Это означает, что дифференциал функции г" в точке а обращается в нуль. Строение функции вблизи точки а в этом случае определяется производными второго порядка.
Оказывается, что если второй дифференциал функции 1' в точке а представляет собой невырожденную квадратичную форму, то выбором системы координат в окрестности этой точки функция з может быть приведена к виду я 1'(з) = у(а)+ ~~) е;~;, где е; = Ы лрн каждом г' = 1,2,..., и. Данное утверждение называется теоремой Морса. Оно играет важную роль в теории лнфференцнруемых многообразий. 182 Гл.
10. Основы гладкого анализа 6.1. ПРЕ ВАРИТЕЛЬНЪ|Е СВЕ ЕНИЯ О МАТРИ АХ Сделаем некоторые предварительные замечания относительно матриц. Пусть Х = (х; ); -1,2,„есть произвольная квадратная матрица порядка п. Разверноутая запись матрицы Х имеет вид Х|1 Х12 ° ° ° Х1ь Х22 ... Х2„ Х= (6.1) Хь1 Хь2 ° .. Хьи Элементы хы, х22,..., х„„матрицы Х, заданной равенством (6.1), называются диагональными элементами матрицы. Матрица Х называется диагональной матрицей, если все ее элементы, не являющиеся диагональными, равны нулю, х; = О при 1 ~ у'. Символом Е далее обозначается единичная матрица, т.
е. матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а остальные равны нулю. На множестве всех матриц определена операция тпранспонирования. Пусть Х = (х; ); 12 „— квадратная матрица порядка п. Транспонированной к Х называется матрица У такая, что при каждом 1' = 1,2,...,и 1'-я строка матрицы У совпадает с 1-м столбцом матрицы Х.
Формально У = (у;,); -12 „, где р;. = х; для любых 1,у = 1,2,..., и. Матрица, транспонированная к Х, обозначается символом Х*. Операция транспонирования матрицы обладает следующими с в о й с т в а м и, которые потребуются нам в дальнейшем. 1. Для всякой матрицы Х справедливо равенство 1Х")' = Х. 2. Для любых квадратных матриц Х|, Х2,..., Х,„имеет место равенство ~Х1Х2...Х,„) = Х,„...Х2Х,*. 3. Пусть У есть квадратная матрица порядка и.
Тогда для любых векторов х, у б К" имеет место равенство (х, Уу) = (У*х, у). (6.2) Справедливость данных утверждений устанавливается в курсе алгебры и является непосредственным следствием определений операции умножения матриц и транспонирования матрицы.
з б. Теорема Морса 183 4. Для всякой квадратной матрицы Х такой, что бег Х ~ О, выполняется равенство (Х ')* = (Х') '. и «« Г(х) = ~ Са; х;х, «=1 1=1 (6.3) где коэффициенты а; удовлетворяют условию а; = а ч для любых г,у = 1,2,...,п. Пусть аы агг агч агг агг ° .. аг„ А= а„г аог .. а„„ есть матрица коэффициентов квадратичной формы. Матрица А однозначно определяется заданием квадратичной формы Г(х). Применяя матричные обозначения, выражение для квадратичной формы (6.3) можно представить в виде Г(х) = (Ах, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
