1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 33
Текст из файла (страница 33)
° .,О, ты гз,..., гь). Имеем сс = Ф о т', у есть отображение класса С". При этом р взаимно однозначно. Возьмем произвольно х е Я. Пусть у = Г(х). Тогда х = Ф(у). Имеем 0 = 1(х) = г[Ф(у)] = (ум уз,..., у„ь), т. е. уз — — уз = . — — у„ь = 0 и, значит, у = (0,...,0,1м1з,...,1ь), где точка $ = (сы гз,..., гь) б 1. Мы получаем, что х = Ф(0,..., 0,1д,...,1ь) = Ф(у(1)) = 1с(1). Так как х б Я взято произвольно, то, следовательно, нами доказано, что гр есть взаимно однозначное отображение 1 на Я.
Далее, мы получаем также, что если х е Я и 1 = т[г'(х)], то х = = р(г). Это означает, что сс (х) = гг(Г(х)) для всех х Е я и, следовательно, гр з непрерывно. Таким образом, мы видим, что для множества Я выполнено каждое из условий ЕМ1, ЕМ2 и ЕМЗ определения элементарного /с-мерного многообразия класса С".
Гл. 10. Основы гладкого анализа 158 Точка а Е М была взята произвольно. Следовательно, мы заключаем, что всякая точка а Е М имеет в М окрестность, которая является х-ячейкой жласса С", так что М есть х-мерное многообразие класса С". При этом любая точка 4 Е М есть внутренняя точка М, так что М есть ,нногообразие без крам. Теперь докажем утверждение теоремы о насагаельной наоеносгаи многообразия М в произвольной ее точке хо. Пусть Р есть окрестность точки хо в М, являющаяся х-ячейкой класса С", и р: Р -+ М есть допустимая параметризация у, причем хо — — у(Го).
Тогда согласно теореме 4.1 касательная плоскость многообразия М в точке хо есть множество всех точек х Е К", представимых в виде х — 'р(~о) + „~, о — (~о) — хо + Ф~о(о), з=1 14.10) где о,, з = 1, 2,..., и, — произвольные вещественные числа, а = (ам аз .,оь) Е К . ь Для всякого 1 Е Р имеем ~р(г) Е М, и, значит, У[р(г)] = 0 для всех 1 Е Р. Дифференцируя это равенство, получим, что Щ о ~р)~,(а) = 0 для любого вектора о б К~. Имеем ЙЦ о ~р), (о) = ф~,~йр~,(сеЯ~. В силу равенства (4.10) получаем, что для всякой точки х Е Тм(хо) выполняется равенство 4~„(х — хо) = О. Ранг системы линейных уравнений ИЛ(хо,х — хо) = О, = 1, 2,..., т, равен т, и, следовательно, множество ее решений Н есть плоскость в К", размерность которой равна и = н — т.
Из доказанного вытекает, что Н Э Тм(хо). Так как согласно следствию 2 теоремы 4.1 множество Тм(хо) есть й-мерная плоскость, то отсюда вытекает, что Н = Тм(хо). Теорема доказана. ° з 4. Многообразия н системы уравнений в пространстве В" 159 4.4. МИОжестВА ОНРе елиемые системОЙ УРАВнений И О НИМ НЕРАВЕНСТВОМ ° Теорема 4.3.
Пусть П есть открытое множество в К", ?': П— К" ~, и: П вЂ” ~ К вЂ” функции класса С . Пусть й есть множество всех точек х Е П таких, что ?(х) = О, М вЂ” множество всех х Е й, для которых и(х) > О. Тогда если множество М непусто, в каждой точке х Е Л отображение?' невырождено, а во всякой точке х Е М такой, что и(х) = О, является невырожденным отображение Н: х Е П ~-+ (? (х), и(х)) Е К" то М есть х-мерное многообразие класса С" и множество всех точек х Е М, для которых и(х) = О, есть край этого многообразия. 3 а м е ч а н и е. Пусть |м?з,..., г", где т = п — х, есть компоненты вектор-функции г.
Тогда множество М в данном случае определяется системой соотношений Яхыхз,...,х„) = О, У (х„х„...,х„)=О, и(хмхз,...,х„) > О. Отличие условий теоремы 4.3 от условий теоремы 4.2 состоит в том, что к равенствам, указанным в формулировке теоремы 4.2, добавляется еще неравенство и(х) < О. Естественно, может возникнуть вопрос: что получится, если рассмотреть множество, определяемое системой из т < п уравнений и1> 1 неравенств? В этом случае множество М, определяемое возникающей таким образом системой соотношений, вообще говоря, не будет многообразием в смысле определения, данного в п. 4.1. Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Требуется доказать, что всякая точка хо Е М имеет в М окрестность, являющуюся элементарным х-мерным многообразием класса С". Обозначим через По множество всех точек х Е П, в которых ранг отображения ~ равен тп.
Очевидно, М С По и согласно лемме 2.1 множество По является открытым. Пусть Мо есть совокупность всех точек х Е По таких, что Дх) = О. По теореме 4.2 Мо есть х-мерное многообразие класса С", где /с = = п — пз. Множество М есть совокупность всех точек х Е Мо, для которых и(х) > О. Гл. 10. Основы гладкого анализа 160 Пусть точка хо Е М такова, что и(хо) > О. В этом случае существование у точки хо окрестности Ъ' такой, что Ъ'ПМ есть элементарное х-мерное многообразие класса С', мы установим исходя из того, что Мо есть многообразие класса С". Пусть У1 есть множество тех х Е Ц~, для которых и(х) > О.
Множество У1 открытое. Пусть точка хо Е М такова, что и(хо) > О. Так как Мо — многообразие, то по лемме 4.4 найдется окрестность С точки хо относительно Мо, которая является элементарным й-мерным многообразием класса класса С' и содержится в У1. Имеем О = Мо П И~, где И~ — открытое множество в К".
Так как С С Уы то, очевидно, О = М ПИ', т. е. С есть окрестность точки хо относительно М. Таким образом, если в точке хо выполняется неравенство и(хо) > О, то эта точка имеет в М окрестность, являющуюся х-ячейкой класса С'. Пусть точка хо Е М такова, что и(хо) = О. Выберем произвольно допустимую параметризацию у: Р -+ Мо многообразия Мо такую, что хо — — ~р(1о), где 1о Е Р. Положим о(~) = и(<р(1)). Покажем, что по дю крайней мере одна из частных производных — (ео) отлична от нуля.
д1; Действительно, имеем — ео = е, — ~.о — оо = ~ ч.(.о, — (.о) . (4.11) до " ди д~р / д~р д1; . дх, д~; (~ ' д~; Векторы ~7~1(хо),...,~7~,„(хо),~уи(хо),по условию, линейно независимы. Значит, найдется вектор Х Е К" такой,что (~7Яхо),Х) = 0 при всех е' = 1,2,..., т, а (~7и(хо), Х) ~ О. В силу теоремы 4.1 Х есть касательный вектор многообразия Мо в точке хо и, следовательно, допускает представление Х = ,'ь Л; — (хо). др д1; Из равенства (4.11) вытекает,что Л; — (хо) = (~Уи(хо),Х) Ф 0 до д1; З 4.
Многообразия и системы уравнений в пространстве Я" 161 до и, значит, хотя бы одна из производных — (1о) отлична от нуля. д1; Па основании первой теоремы о выпрямлении (теорема 3.2 этой главы) найдутся /с-мерный куб Ч = (она) х х (оь,бь) и диффеоморфизм с: 9 — К~ такие, что 0 = Щ) С Р, 1о б О, и для всякой точки г = (гз, гз,..., зь) Е Ч' выполняется равенство о®з)) = х~. Пусть 9 = (ам А) х (оз, 9з) х ° х (оь„9ь). Пусть 1о = Яа), а = = (ам аз,...,аь).
Имеем 6а) = хо и, значит, а~ —— о(с(а)) = и(хо) = О. Отсюда аз < а~ — — 0 < Д. Положим Ф = у о с, и пусть 1 = (О,Д) х (оз,11з) х .. х (аь, Д). Множество С является открытым, и, значит, Н = у(С) есть откРытое относительно Мо множество, Н = Мо П Иг, где И' — откРытое множество в пространстве К". ПУсть Нз —— М П Иг. Множество Нз ЯвлЯетсЯ окРестностью точки хо в М. Как следует из определения М, множество Нз есть совокупность всех точек х Е Н, для которых и(х) > О. Если х Е Н, х = ф(г), где з Е Я, то и(х) = ез, и поэтому условие и(х) > 0 равносильно условию гз > О, т.
е. Н, = ф(1). Итак, нами построен диффеоморфизм ф: 1 -+ Мз такой, что множество Нз — — ф(1) есть окрестность точки хо в М. Таким образом, и в данном случае точка хо имеет в М окрестность, являющуюся х-ячейкой класса С'. При этом хо является краевой пзочкой построенной х-ячейки. Теорема доказана. ° Следующее предложение представляет собой «локальную версию» теорем 4.2 и 4.3. я Следствие. Пусть множество М С К" таково, что для всякой точки х можно указать окрестность И~ этой точки в К" такую, что либо МПИ'=(хЕИ'~ 1(х)=0), где ~: И~ -+ К" ~ — отображение класса С", невырожденное в каждой точке х б М П И~, либо М П ИГ = 1х Е И~ ( 1(х) = 0 вс и(х) > 0), где ~: И" -+ К" ~ — отображение класса С', регулярное в каждой точке х Е М П Иг, а и: И' -~ К вЂ” вещественная функция класса С", для которой о'тображение Ь: х Е И" ~ (Дх),и(х)) невырождено во всякой точке х б М П И~ при и(х) = О.
Тогда М есть 1с-мерное многообразие класса С". Гл. 10. Основы гладкого анализа 1б2 Доказательство, Действительно, если множество М удовлетворяет условиям следствия, то всякая точка х Е М,как следует из теорем 4.2 и 4.3, имеет в М окрестность, которая является х-мерным многообразием класса С". Пусть Г есть такая окрестность точки х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
