1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Условие ЕМ1 в определении элементарного й-мернаго многообразия означает, что Г получено выполнением отображения р из области Р пространства К~. Чтобы разъяснить назначение условия ЕМЗ, рассмотрим Пример. Пусть к = 1, и = 2. В качестве Р возьмем отрезок ~0, 2я). Отображение ~о определим следующим образом. Для 1 Е ~0, 2я) пустыр(1) = (сое 1, еш1) Е К~. Множество Г = ~р(Р), как нетрудно видеть, представляет собой окружность на плоскости Кз. Отображение у удовлетворяет условиям ЕМ1 и ЕМ2 в определении элементарного многообразия. Условие ЕМЗ в данном случае, однако, не выполнено.
Обратное отображение ~р ' не будет непрерывным в точке р = (1,0) окружности Г. Действительно, пусть 1р, Е Г)„ен есть последовательность точек окружности Г, стремящаяся к точке р. Тогда: если р„лежит в полуплоскости у) 0 для всех и Е М, то у 1(р„) — 0; если точки р„все лежат в полуплоскости у < О, то у '(р„) — ~ 2я при и — оо.
Отображение ~р в данном случае производит «склеивание» отрезка в окружность. Условие ЕМЗ в определении элементарного к-мерного многообразия позволяет исключить подобного рода склеивание. Предоставляем читателю доказать, что окружность Г является многообразием класса С' при всяком г.
анное з есь оп е еление не исключает сл чай ког а к = и. Пусть С есть элементарное и-мерное многообразие в пространстве К". Тогда С = р(Р), где Р есть либо п-мерный интервал, либо и-мерный полуинтервал. И в том и в другом случае множество Р' открытое (если Р есть интервал, то Р' = Р) в пространстве К". Условие невырожденности отображения ~р в данном случае означает, что в каждой точке 1 Е Р якобиан отображения ~р отличен от нуля. Следствие 2 теоремы 2.1 позволяет заключить, что множество ~р1,Р') является открытым.
Из доказанного, в частности, следует, что множество С имеет внутренние точки. Всякое открытое множество пространства К" является и-мерным многообразием класса С" при любом г. Действительно, пусть П есть открытое множество в пространстве К". Возьмем произвольно точку Гл. 10. Основы гладкого анализа 148 р Е П. Тогда найдется б > 0 такое, что шар В(р,б) содержится в П. б 1 Пусть Р = 9 а, — (. Легко проверяется, что Р С В(р,б) и, значит, Р С П. Множество Р есть и-мерный интервал. Пустыр есть тождественное отображение множества Р в К", у($) = 1 для всех 1 Е Р.
Нетрудно видеть, что все условия определения элементарного й-мерного многообразия класса С" выполняются для и-мерной стандартной области Р=ч' а,— отображения р(1) = 1 и множества Р = Я. Таким образом, для всякой точки р Е о существует открытое множество У в К", содержатцее точку р и такое, что У По есть элементарное и-мерное многообразие класса С", а именно, множество У=ч' а,— где б > 0 таково, что шар В(р, б) содержится в П.
Множество 0 пространства И" называется и-мерной областью класса С", если 0 замкнуто, является и-мерным многообразием класса Сс и выполнено еще следующее условие: для любых двух точек а, Ь Е С существует непрерывное отображение х: (О, 1] -+ И" такое, что к(0) = а, х(1) = Ь и к(1) Е 0 для всех ~ Е [О, 1]. Последнее условие мы будем называть условием связности множесшва О. Наглядный смысл этого условия таков (см. рис. 7): любые две точки а, Ь множества 6 можно соединить линией, проходящей в множестве О. Рис.
7 З 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Л" 149 Элементарное к-мерное многообразие,по определению, есть образ стандартной и-мерной области относительно некоторого невырожденного отображения класса С". Стандартная к-мерная область может быть д в у х типов: это или?смерный интервал, илиймерный полуинтервал. Возникает вопрос: какие свойства многообразия связаны с этими различиями? Вв ем понятие связанное с наличием казанных в х азличных типов и-ме ных стан а тных областей. Пусть М есть?с-мерное многообразие класса С" в пространстве К". Точка р Е М называется краевой точкой многообразия М, если существует допустимая параметризация у: Р— К" некоторой окрестности Г точки р в многообразии М такая, что множество Р является lс-мерным полуинтервалом и р = ~р(а), где а есть краевая точка Р, абдР. Совокупность всех краевых точек многообразия М называется его краем и обозначается символом дМ.
Ксли /с-мерное многообразие М класса С' в пространстве К" не имеет краевых точек, то мы будем говорить, что М есть многообразие без края. 4.2. Понятие кАоАтельноЙ плоокооти в точке многоовгАзия » т=р+~~) 1а;, где ~ы~я,,1» — произвольные вещественные числа. Иначе говоря, Н есть к-мерная плоскость в И", если Н есть образ пространства К» относительно отображения » = (»„»„...,~») р+ 2 ' ~;а;.
(4.3) Будем говорить, что множество Н есть к-мерная полуплоскость в пространстве К", если существуют точка р Е К" и система из Множество Н С К" называется lс-мерной плоскостью, если существуют точка р Е К" и система из Й линейно независимых векторов ам аз,..., а» такая, что Н совпадает с множеством всех точек т Е И", представимых в виде Гл. 10. Основы гладкого анализа 150 Й линейно независимых векторов ам аз,..., аь такая, что Н совпадает с множеством всех точек х б К", представимых в виде ь х=р+ ~) 1а;, (4.4) где числа 1; при 1 > 1 произвольны, а 11 есть произвольное неотрицательное вещественное число. Одно и то же множество в К" не может быть одновременно /с-мерной плоскостью и Й-мерной полуплоскостью.
1 Действительно, пусть даны точки х и у, и пусть г = -(х + у). Тогда если Р есть х-мерная плоскость, то, как легко проверяется, из того, что х б Р и г б Р, вытекает, что также и точка упринадлежит Р. Иначе говоря, если один из концов отрезка и его середина принадлежат Р, то и второй его конец принадлежит Р. Если Р есть й-мерная полуплоскость, то данное утверждение перестает быть верным. Действительно, предположим, что полуплоскость Р задается равенством (4.4). Положим х = р + а1, у = р — аы Тогда 1 х= -(х+у) б Р. 2 х = р+Ла, где Л > О, а ~ О. Точка р при этом называется началом луча, вектор а — его направляющим вектором.
В случаях, когда и = 2 и и = 3, данные здесь определения прямой, луча и направляющего вектора полностью согласуются с обычными геометрическими представлениями, как вытекает из известных формул аналитической геометрии. Всякое отображение а: К~ — К", допускающее представление вида (4.3), где а;, г = 1,2,...,х, называется аффинным отображением Очевидно, х б Р, х б Р и в тоже время у р Р. Данные определения не исключает случай х = 1.
Одномерная плоскость в К" называется прямой. Одномерная полуплоскость называется лучом. Множество 1 в пространстве К" согласно данному определению есть п р я м а я, если можно указать точку р б К" и вектор а ф 0 такие, что всякая точка х = р + 1а, где 1 б К, принадлежит 1. Обратно, если х Е 1, то х = р + 1а для некоторого 1 б К.
Аналогичным образом, луч в К" есть множество 1 всех точек х, представимых в виде з 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Я" 151 у'(0) = Лх'(О) = Л . (4.5) Согласно определению это означает, что Лг также есть касательный вектор множества Е в точке р. Совокупность всех точек х б К", допускающих представление х = = р + г, где е — касательный вектор множества М в точке р, называется континеенцией множества М в тачке р и обозначается символом Спмбм(р). В случае, если множество Сп1йм(р) есть Ь-мерная плоскость, то оно называется касательной плоскостью М в точке р. ° Теорема 4.1, Пусть М есть произвольное Ь-мерное дифференци'- руемое многообразие класса С" в пространстве К", р — точка многообразия М и ~о: Р -+ К" есть локальная лараметризация многообрад~р зия М такал, что р = р(а) для некоторого а Е Р.
Пусть а; = г = 1,2,...,к. Тогда: пространства К~ в К". Линейная независимость векторов а; при этом, вообще говоря,не требуется. В случае, если векторы а;, з = 1,2,...,й, линейно независимы, аффинное отображение, заданное равенством (4.3), называется невы- рожденным. Путем в пространстве К" называется всякое непрерывное отображение х: [а, Ь] — К" отрезка [а, Ь] в пространство К". Говорят, что путь х: [а, Ь] — К" проходит в множестве А С К", если х(1) б А для всех 1 б [а, Ь]. Пусть дано произвольное множество Е С К".
Вектор е б К" называется касательным вектором в точке р б Е, если существует путь х: [О,Ь] -+ Е такой, что х(0) = р, вектор-функция х дифференцируема при 1 = 0 и е = х'(0). Множество всех касательных векторов в точке р б Е будем обозначать символом Тн(р). Множество Тл(р) непусто, каково бы ни было множество Е. Действительно, положим х(~) = р для всех 1 Е [О, 1]. Функция х(1), определенная таким образом, непрерывна, х(4) Е Е для всех ~ б [О, 1], в частности х(0) = р.
Данная функция х дифференцируема при 1 = О. При этом х'(0) = О. Это означает, что вектор г = 0 является касательным вектором множества Е, так что Тн(р) всегда имеет по крайней мере один элемент. Если вектор г является касательным вектором в точке р множества Е С К", то всякий вектор и = Лг, где Л ) О, также представляет собой касательный вектор множества Е в этой точке. Действительно, пусть х: [0,6) -+ Е есть путь, проходящий в множестве Е и такой, что х(0) = р и г = х'(0). Положим у(1) = х(Л1), 1 б [0,6/Л]. Путь у(8), очевидно, также проходит в множестве Е, у(0) = х(0) = р и 152 Гл. 10.
Основы гладкого анализа если а есть внутренняя точка 1е-мерной стандартной области Р, то Тм(р) состоит из всех векторов г Е К", допускающих представление вида (4.6) где 1ы 1з,..., 1ь — произвольные вещественные числа; если же а есть краевая точка Р, то Тм(р) есть множество всех векторов я, допускающих представление вида (4.6) с коэффициентами 1;, 1 = 1, 2,..., Й, удовлетворяющими дополнительно условию: 1~ > О. Локазательство.
Пусть у: Р— К" есть локальная параметризация многообразия М такая, что р = р(а) для некоторого а Е Р. Положим Г = у(Р). Согласно определению многообразия отображение ~р взаимно однозначно и обратное отображение ф = ~о ~: Г -+ Кь непрерывно. Множество Г является открытым относительно М и, следовательно, допускает представление Г = М О 3Г, где Ъ' есть открытое множество в К". Зададим произвольно вектор 1 = (1ы1з,...,1ь) Е К". При этом в случае, если а Е дР, то будем предполагать, что 1~ > О. Пусть 61), 0 < 1 < 6, есть путь, проходящий в множестве Р и такой, что 60) = а и с'(0) = 1.
Этим условиям удовлетворяет, например, путь Я1), определенный равенством Я1) = а + 11, где 0 < 1 < 6, а 6 > 0 достаточно мало. Положим х(г) = у[Яг)]. Путь х(г) лежит в множестве М. При этом х(0) = р. Функция х дифференцируема при 1 = О. Имеем Мы получаем, таким образом, что всякий вектор г, допускающий представление вида (4.6), где 1; удовлетворяют всем указанным выше условиям, является касательным вектором множества М в точке р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
