1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда Г(х) = 1 и, значит, для всякого ~ = т + 1,..., и имеют место равенства Гл. 10. Основы гладкого анализа 122 Пусть 1 = (и,и) Е Н и х = (у,г) = Ф(и,о) = (у(и,и),о). Тогда у = р(и,и), г = и. Имеем (и,о) = Г(у,г) = (Ду,г),г). Отсюда и = Ду,г). Подставляя в это равенство выражения для у и г через и и и, получим и = Д~р(и, о), о~. По условию, Да) = ДЬ, с) = О, откуда следует, что Г(с) = (ДЬ,с),с) = (О,с) и, значит, точка (О, с) принадлежит Н. Пусть ~' есть отображение г й Ке ~ (О,г). Положим И' = у 1(Н). Отображение у непрерывно, и, значит, множество И' является открытым.
Точка с принадлежит И~, так что И~ непусто. Возьмем произвольно г й И~. Тогда ~ = (О, г) = з(г) й Н и, следовательно, ~[ср(О,г),г) = О. Точка х = (у(О,г),г) = Ф(г) принадлежит множеству И. Таким образом, для всякой точки г й И' мы можем указать точку у Е К~ такую, что (у,г) й У и Ду,г) = О, а именно, у = ~р(О,г) удовлетворяет требуемым условиям. Такая точка у е д и н с т в е н н а.
Действительно, если у' и уо таковы, что (у', г) й И, (у", г) й И и Ду', г) = Ду", г) = О, то Г(у', г) = = Г(у", г) = (О, г). Отображение Г на множестве %' взаимно однозначно, и, значит, (у', г) = (у", г), откуда следует, что у' = у". Функция Ф принадлежит классу С', и потому д: г ~ у(0, г) также есть функция класса С'.
Теорема доказана. ° 3.2. ПеРВАЯ теОРемА О ВыпРЯмлЯю ем ЯФФеОмОРФизме Пусть У есть открытое множество в К", ~: У вЂ” ~ К вЂ” отображение класса С', где э > 1. Ранг матрицы Якоби отображения ~ в точке х б У называется рангом отображения У е этой точке. Ранг матрицы есть н а и б о л ь ш е е из чисел к таких, что среди строк матрицы имеется к линейно независимых строк. Строки в этом определении можно заменить столбцами, т. е. ранг матрицы есть наибольшее из чисел Й таких, что среди столбцов матрицы имеется к линейно независимых. Согласно этому определению, если к есть ранг матрицы, то любые 1 строк матрицы, где 1 > к, являются линейно зависимыми.
Любые 1 столбцов матрицы, где 1 > lс, линейно зависимы. В курсе алгебры устанавливается, что ранг матрицы равен наибольшему из таких чисел Й, что среди ее миноров порядка к по крайней мере один отличен от нуля. З 3. Следствия теоремы об обратной функции 123 Ранг мат и ы оп скает сле ю ее геомет ическое истолко- вание. Пусть А есть матрица из т строк и п столбцов.
Для всякого вектора х Е К" определено произведение Ах, которое представляет собой вектор в К™. Для г = 1,2,...,т г'-я компонента вектора Ах есть скалярное произведение г-й строки матрицы А и вектора х. Матрица А, таким образом, определяет некоторое отображение Ь: х ~ Ах, которое, очевидно, является линейным. Множество ЦК") представляет собой надпространство в К и ранг матрицы А, как известно из алгебры, равен размерности надпространства з.(И"). Пусть дана произвольная система 1ы ~з,..., ~ вещественных функций класса С', определенных на множестве П. Ранг отображения х ~ (Ях), Ях),..., ~ (х)) в точке х будем называть рангом системы функций Я,~з,...,~ в этой точке.
° Лемма 3.1. Пусть П и У есть открытые множества в К", ~: П— К вЂ” отображение класса С", ц>: У вЂ” И" — диффеоморфизм «ласса С" такой, что ~о(У) С П. Пусть д = У о у. Для всякой точки а Е У ранг отображения д в точке а равен рангу отображения ~ в точке Ь = р(а). Предположим, что р Е П, д = Др) Е К и и: И~ -~ К™ — диффеоморфизм класса С', заданный в некоторой окрестности гУ точки д.
Тогда ранги отображений ц о ~ и 1 в точке р совпадают. Локазательство. Докажем первое утверждение леммы. Пусть г есть ранг отображения ~ в точке Ь, г' — ранг отображения д в точке а. При каждом г' = 1, 2,..., п имеем — (а) = ~ — (Ь) — ~(а). д1 дУ ди,. д1; дх, д1; у=1 Таким образом, мы получаем, что векторы — (а), г = 1,2,...,п, дУ В являются линейными комбинациями векторов — (Ь), у = 1,2,...,п, х,. Гл. 10. Основы гладкого анализа 124 с коэффициентами Л = — ~(а), з' = 1,2,...,и.
дф1 Ранг системы векторов — (о), д =1,2,...,о, д1 х1 равен т. Отсюда вытекает, что среди векторов — (а), 1=1,2,...,п, д1 дй /дУ вЂ” (р)=йи,~ — (р) . дх; = '1дх; Ранг системы векторов — (р), 1=1,2,...,п, д1 хф по условию, равен т, т. е. среди этих векторов имеется т линейно независимых и любые т+ 1 из них линейно зависимы.
Отображение сй1р линейно, и, значит, любые т+ 1 векторов, каждый из которых есть одна дй из частных производных — (р), линейно зависимы. Отсюда следует, дх; что ранг системы веиторов дй — (р), дх; 1=1,2,...,п, не превосходит г, т. е. т' < г. имеется самое большее т линейно независимых, т. е. т' < т.
Пусть ф = у '. Отображение ф принадлежит классу С" и 1(х) = = д[ф(х)) для всех х Е у(У). Заменяя в проделанных выше рассуждениях 1 на д и у на ф, получим, что г < т' и, следовательно, т = т'. Первое утверждение леммы доказано. Докажем второе утверждение леммы. Положим и о 1 = й. Пусть т есть ранг отображения 1" в точке р, т' — ранг в этой точке отображения й, Положим ~ = т1 1.
Имеем З 3. Следствия теоремы об обратной функции 125 Имеем 11х) = ~~6(х)) для всех х из некоторой окрестности точки р. Заменяя в проделанных выше рассуждениях 1' на Ь, а 71 на ~, получим, что ранг отображения 1 в точке р не превосходит ранг Ь в этой точке, т. е. т < т'. Отсюда т = т'. Лемма доказана. ° Пусть дана произвольная система 1м 1з,..., ~ вещественных функций класса С', определенных на множестве У. Ранг отображения х~ (Л(х),Ях),...,У (х)) в точке х будем называть рангом системы функций 11ы,1ю...,,1 в этой точке. Пусть У есть открытое множество в К" и 1: У вЂ” ~ К™ есть отображение класса С', з > 1.
Предположим, что $' есть открытое множество в К" и отображение ~р: ~' -+ К" есть диффеоморфизм класса С', причем у(Р) С У. Тогда определено отображение Р = 1" о у, Говорят, что Р получено из отображения ~ заменой переменной х = ~ф). Отображение Р будем также называть предсгаавлеиием отобрахсения 1" в системе координат у: Р -+ К". Пусть 1 б 1' и х = 1э(1) Е У. Тогда согласно лемме 3.1 ранг отображения Р в точке ~ равен рангу отображения 1 в точке х.
Докажем сначала некоторую чисто «техническую» лемму из линейной алгебры, которая будет использована далее в доказательстве теоремы 3.2. ° Лемма 2.2. Пусть дана система ам аз,..., а, 1 < т < п, векторов пространства К". Если эти векторы линейно независимы, то к ннм можно добавить векторы а +ы...,а„так, чтобы получить систему 1аыаз,...,а„) нз п линейно независимых векторов. Доказательство. Пусть амаз,...,а — произвольная система из т < п линейно независимых векторов пространства К". Пусть Р есть линейная оболочка векторов аы аз,..., а, т. е. множество всех векторов х Е К", которые представимы в виде х = и1аз+изаз+' ° ° +и а где иыиз,...,и — вещественные числа.
Р есть т-мерное подпространство К". Так как тп < и, то Р не совпадает с К". Значит, существует хотя бы один вектор х, не принадлежащий Р. Выберем произвольно такой вектор х и положим а +з — — х. Вектор а +1 не принадлежит Р и, следовательно, не является линейной комбинацией векторов аыаз,...,а . Отсюда вытекает, что векторы ам...,а,а +1 линейно независимы. Если т + 1 = и, то лемма тем самым доказана. Гл.
10.,Основы гладкого анализа 126 Если т + 1 < и, то,применяя проделанное рассуждение к системе векторов ам..., а, а +м найдем вектор а +г такой, что уже векторы ам...,а +ма +г являются линейно независимыми. Если т + 2 = и, то все доказано. Если щ+ 2 < п, то это же построение применим к системе векторов аы..., а,„+ы а,„+г Действуя так и дальше, через конечное число шагов получим, очевидно, требуемый набор векторов а +ма +г,...,а„. Лемма доказана. ° Пусть даны отображения ~: А -+ К и д: В К", где В С К™, причем 1(А) С В. Тогда определено отображение Ь = д о 1 — суперпозиция огпобрахсениб ~ и д. Пусть вещественные функции д;, г' = 1,2,...,Ь, есть компоненты вектор-функции д, д(у) = (дг(у),дг(у),...,дь(у)) для всех у б В.
Согласно определению суперпозиции имеем Ь(х) = д[1(х)] = (дг[1(х)],дг[1(х)],...,дь[1(х)]), т. е. компоненты вектор-функции Ь выражаются равенствами Ь; = д; о1 при каждом 1 = 1, 2,..., /с. Следующая лемма также используется при доказательстве теоремы 3.2. Результат этой леммы в некотором смысле подсказывает идею доказательства этой теоремы. ° Лемма 3.3, Пусть даны отображение у: А -~ К" и функция ~: А -+ К. Предположим, что у взаимно однозначно и 1(х) = ~рь(х) для некоторого Ь, 1 < Ь < и.
Положим В = р(А). Тогда для всякого у = (ум уз,..., у„) б В имеет место равенство ~[~р ~(у)] = уы Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Тогда у= р[р '(у)] для всех у б В. В силу замечания, предшествующего лемме, это означает, что ср;[ср ~(у)] = у; для любого 1 = 1, 2,..., в. В частности, полагая г = Й, получаем, что Лр '(у)] = уь что и требовалось доказать. ° Следующая теорема показывает, что для всякого отображения 1: У -~ К™ класса С", где У вЂ” открытое множество в К" и т < п в окрестности любой точки р б У, можно ввести систему координат, з 3.
Следствия теоремы об обратной функции 127 в которой отображение приводится к некоторому простейшему виду в предположении,что ранг отображения в этой точке равен т. ° Теорема 3.2 (первая теорема о выпрямлении). Зададим произвольно открытое множество У пространства К" н функции Л: У вЂ” ~ К, г = 1,2,..., т, класса С', з > 1. Предположим, что в некоторой точке р Е У ранг данной системы функций равен т. Пусть (хы хг,..., х )— произвольный набор номеров, заключенных между 1 н и. Тогда найдутся куб И' в пространстве К" н диффеоморфнзм Ф: И' -+ К" класса С' такие, что множество Ъ' = Ф(И') С У, точка р принадлежит Ъ' н 7) [Ф(у)] = уь, при каждом г' = 1, 2,..., т. 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
