1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда ~г~ есть расстояние точки Р = (х, у, г) до плоскости Н. При этом г > О, если Р лежит в ы ш е плоскости Н, и з < О, если г лежит н и ж е плоскости Н. Числа т и у есть полярные координаты ортогональной проекции точки Р на плоскость Н. З 2. Теорема об обратной функции 117 4. СФеРическАя системА кООРдинАт. Так называется система координат в И", которую мы здесь определим (см. рис.
6). Рис. б Пусть Й„= У„0 $'„, где У„есть множество всех х = (хмхз,... ...,х„) Е И" таких, что х1 > О, а У'„есть множество всех х = (хм ха,... ..., х„) Е К", для которых хз ф О. Множества У„и $~„, очевидно, открытые, и, значит, Й„также есть открытое множество. Заметим, что точка О ф Й„. Множество Й„есть область определения сферической системы координат в К". Каждой точке х Е Й„в этой системе координат сопоставим некоторый набор из и чисел г(х),~р1(х),..., ~в„з(х), которые будем называть сферическими координатами точки х. Координата т(х) при этом равна ~х~.
Так как О ф Й„, то г(х) > О для любой точки х Е Й„. Величина г(х) называется радиальной координатой точки х, а числа р1(х),...,~р„1(х) — ее угловыми координатами. В случае и = 2 полярная система координат на плоскости и есть сферическая система координат в Кз. Область значений системы координат в данном случае есть, как показано выше, множество (О, оо) х ( — я, и). Для произвольного и > 2 угловые координаты точки в сферической системе координат определяются по индукции. Предположим, что для некоторого и определено, чтб есть угловые координаты точки х Е Й„.
Пусть р: К"+з — К" есть отображение (хы...,х„,х„+з) Е И" ~-> (х1,...,х„) Е К". Пусть х Е Й„+1. Тогда р(х) Е Й„. Гл. 10. Основы гладкого анализа Пусть гры зя,...,гр„1 есть угловые координаты точки р(х) в сферической системе координат в К". Полагаем ~р;(х) = гр; при каждом г = 1,2,..., п — 1, т. е. первые п — 1 угловых координат точки х Е Й„+г те же, что и у ее п р о е кции р(х) в пространство К".
А и-я угловая координата гр„(х) точки х определяется из соотношений соз ~р„(х) = —" = ", ~р„(х) Е [О, я1. г(х) /х/ Если для точки х ф О в пространстве К"+' отношение равно ~1, ха+з И то х; = О при з' = 1,2,..., п и, значит, х ф Й„+г. Отсюда следует, что для всех точек х 6 Й„+г координата у„(х) лежит в открытом промежутке (О, х).
В силу принципа математической индукции описанное построение определяет некоторое отображение: г'„: х б Й„ ь-~ (г(х), уз(х),...,~р„ г(х)) Е К". При этом г(х) > О, — х < гр1(х) < т и О < уь(х)< я при й> 2. Пусть П„есть область (О,оо) х ( — т,я) х (О,т) х .
х (О,л) в пространстве К". Легко проверяется, что Е„есть диффеоморфизм, который при любом г Е М принадлежит классу С", причем г(Й„) = П„ для всех и. й 3. Следствизг теоремы об обратной функции Интуитивное представление о функции, господствовавшее в математике Х1Х века, связано с понятием зависимых и независимых величин. Независимая величина — аргумент, зависимая величина — функция этого аргумента. Это представление в полном объеме не может быть согласовано с понятием функции, принятым в современной математике. Зависимость между различными величинами может задаваться, например, указанием уравнении, которому должны удовлетворять данные величины.
Основным результатом настояШего параграфа является теорема о неявных функциях, содержание которой сводится к слелуюШему. Предположим, что рассматриваемые вели чины представляются как точки х е К и у е К™ и зависимость задается системой уравнений вида ~ 3. Следствия теоремы об обратной функции 119 точки д. 3.1. ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНК ИЯХ Пусть 17 есть открытое множество в пространстве К", 7": 17 -+ -+ К вЂ” отображение класса С', т > 1. Тогда в каждой точке х б У определено линейное отображение п7", — дифференциал отображения 7' в точке х. Матрица этого отображения имеет вид дЛ дЛ дх1 дхз ол аь дхз дхз дЛ дх„ дЛ дх„ дх дх дх„ г)(х, в) = О, 1 = 1, 2,..., пз, где г) — вешественные функции. Здесь мы докажем, что если лара (хс, ус) является решением этой системы, то при некоторых предположениях, полную формулировку которых читатель найдет далее, в малой окрестности точки (хе, ус) данная система однозначно разрешима относительно у.
От функций Е; требуется, чтобы они были дифференцируемы. Основное условие, которому они должны удовлетворять, следуюшее. Система линейных уравнений, получаемая заменой Р;(х, у) на НГ;(х — хо, у — во) = О, 1 = 1, 2,..., тп, однозначно разрешима относительно у, каково бы ни было х Н К . Теорема о неявных функциях показывает, что если зависимость между некоторыми переменными величинами описывается системой уравнений, то при определенных условиях, по крайней мере локально, эта зависимость может быть описана посредством понятия функции. Теорема о неявных функциях выводится здесь как следствие теоремы об обратной функции.
Заметим, что, в свою очередь, теорема об обратной функции представляет частный случай теоремы о неявной функции. Последняя может быть доказана и без использования теоремы об обратной функции, как это сделано в главе 7 КМА, часть 1 книга 2. Далее в этом параграфе устанавливаются три теоремы, смысл которых состоит в том, что при определенных условиях функция 7: о — К, где 17— открытое множество пространства К", в окрестности точки р е 17 может быть приведена к некоторому простейшему виду преобразованием координат либо в окрестности точки р, либо в окрестности точки й = ~(р), либо, наконец, преобразованиями координат как в окрестности точки р, так и в окрестности Гл.
10. Основы гладкого анализа 120 дЛ дЛ дЛ дх,„ дЛ дх дхз дхз дУг дЛ дхз дхз Ь(х) = дхз дхз где значения производных берутся в точке х. Предполагаем, что Ь(о) ф О. где значения частных производных берутся в точке х. Ванная матрица называется матрицей Якоби отображения У в точке х. Она имеет т строк и п столбцов. Пусть п > 1 и го > 1 — целые числа, причем и > т. Положим п — т = Й. Лля произвольной точки х = (хыхз,...,х„) Е К" пусть иь(х) есть точка д = (хмхз,...,х ) Е К™, д; = х; при всяком г = 1, 2,..., т и т„(х) есть точка х = (х +з,..., х„) Е К", г = х +, для любого з = 1,2,..., и. Пространство К" будем рассматривать как прямое произведение К х К, отождествляя произвольную точку х Е К" с парой (у,з), где у = кь(х), з = т„(х).
В соответствии с этим если даны множества А С К™ и В с Кь, то множество А х В мы отождествляем далее с совокупностью всех точек х е К", для которых кь(х) Е А н и„(х) е В. Для произвольной функции 1: А -~ К, где А С К", ее значение в точке х = (у, г), д Е К, г Е Кь обозначим символом Ду,г). (Формально, следует применять более громоздкое обозначение Яд, з)).) ° Теорема 3.1 (теорема о неявных функциях). Пусть У есть открытое множество в пространстве К", 1': У -+ К, 1 < т < п,— отображение класса С", где г > 1. Предположим, что для точки а Е У минор, образованный элементами первых т столбцов матрицы Якоби отображения У в точке а, отличен от нуля. Пусть 6 = яь(а) и с = я„(х). Тогда найдутся открытое множество г' С У и открытое множество И~ в пространстве К такие, что а е Р, с Е Иг и для всякого г е И' существует, и притом только одна, точка у = д(х) такая, что точка х = (у, г) принадлежит множеству Ъ и выполняется равенство Дд, х) = О.
Определенная таким образом функция д: Иг — К принадлежит тому же классу гладкости С", что и исходное отображение ~. ,Показательство. Пусть множество У в пространстве К" и отображение 1: У -+ К™ удовлетворяют всем условиям теоремы. Минор матрицы Якоби отображения 1 в точке а = (о,с), образованный элементами ее первых т столбцов, обозначим через Ь(х), З 3. Следствия теоремы об обратной функции 121 Оп е елим некото ое отоб ажение Г: У вЂ” К". Положим Г;(х) = Х,.(х) при г = 1,2,..., т и Г;(х) = х; при з' = т + 1,..., и. Для произвольной точки х = (у, «), где у Е К, «е К~, Г( ) =Г(у «) =У(у ) ).
Отображение Г принадлежит классу С" и его матрица Якоби имеет вид дХ1 дЛ дЛ дХ1 дх1 дхт дх~а+1 дх„ дХ дХ дХ дХ дхз дх дх +1 дх„ 0 ... О 1 ... 0" 0 0 ~; = Г;(х) = х; = Ф;(1). В частности, мы видим, что Ф;(1) = ~; при г = т+ 1,...,и. Это означает, что к„[Ф(«)) = к„(«) = е для 1 = (и,и) Е Н. Тем самым доказано, что Ф(и, и) = (у(и, и), и) для всякой точки 1 = (и, е) Е ХХ. Матрица Якоби отображения Г устроена следующим образом. Частичная матрица, образованная п е р в ы м и т строками этой матрицы, есть матрица Якоби отображения Х. Матрица, образованная п о с л е д н и м и к = п — т строками, устроена так: элементы, стоящие в ее п е р в ы х т столбцах, все равны нулю, а п о с л е д н и е к столбцов образуют едикичиую матрицу порядка к. Отсюда видно, что оп редел и т ел ь матрицы Якоби отображения Г равен минору, образованному элементами первых т столбцов матрицы Якоби отображения Х, т. е.,У(х, Г) = Ь(х).
Из условий доказываемой теоремы следует, что .7(а, Г) ~ О. Па основании леммы о локальном диф4еоморфиэме (лемма 2.1) из доказанного следует, что найдется 6 ) 0 такое, что шар Ъ" = В(а,б) содержится в ХХ и ограничение функции Г на $' есть диффеоморфизм класса С". Пусть Н = Г($~) и Ф есть отображение, обратное к Г~~ . Докажем, что Ф имеет такую же структуру, как и Г, т. е. для всякого 1 = (и,и) Е Н, где и = кь(1) Е К, а и = к„(1) Е К, имеет место Ф(и, и) = (~р(и, и), и). Действительно, возьмем произвольно точку ~ Е Н. Положим х = Ф(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
