1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из условия, что ранг системы (~ы 7г,..., 7' 1 в некоторой точке р Е У равен т, следует, что т < и. 3 а м е ч а н и е 2. Предположим, что Ф: И' -+ К" удовлетворяет всем условиям теоремы, и пусть Г = Ф ~, Г = (Г1, Гг,..., Г„). Тогда Гь,(х) = Ях) при каждом г = 1, 2,..., т. Действительно, по условию, Л[Ф(у)] = уь, для любого у = (уд,уг,..., у„) Е И'. Отсюда следует, что 7";[Ф(Г(х)] = Гь,,(х) для всех х Е $'. Но так как Г = Ф 1, то Ф[Г(х)] = х для любой точки х Е Ъ', и, следовательно, мы получаем, что Ях) = Гь,(х) для всех х из 1', что и требовалось доказать. Локазательство теоремы. Построим сначала отображение Г, обратное к искомому диффеоморфизму Ф.
В силу замечания 2 компоненты с номерами /с = йг,йг,...,й отображения Г определяются однозначно. Для случая т = и отображение Г тем самым полностью определено. При этом якобиан отображения Г в точке р будет отличен от нуля. Пусть т < и. Положим 1 = п — т. Пусть гыуг,...,д — все те номера, которые лежат между 1 и п и не совпадают ни с одним из номеров х;, г' = 1, 2,..., т. Положим а; = ~7Яр) = ~ — '(р), — *(р),...,— '(р) /дЛ дЛ дЛ ~,дхг ' дхг ' дх„ а; есть вектор, образованный элементами гтй строки матрицы Якоби в точке р отображения х Е У ~-+ ®(х), 7г(х),..., Г" (х)).
Гл. 10. Основы гладкого анализа 128 Так как ранг этой матрицы равен т, то векторы а,, аз,..., а линейнонезависимы. Добавим книмвектоРыа Фма +з...,а„так, чтобы получить систему (а1, аз,..., а„) из и линейно независимых векторов. Это возможно в силу леммы 3.2. Полагаем Гь(х)— : Ях) при х = х;, г' = 1,2,...,т, и Гь(х) = = (а +;,х) при 1е = и, г = 1,2,...,1. Тогда ЧГь(р) = а; при й = й;, г = 1,2,..., т, и ЧГь(р) = а +, при 1 = 1,2,...,1. Система векторов (17Гь(р), х = 1,2,...,п), очевидно, получается перестановкой векторов (а1,аз,...,а„). Следовательно, векторы ~Ге(р), х = 1,2,..., и, линейно независимы, и поэтому якобиан отображения Г в точке р отличен от нуля.
3 а м е т и м, что Г принадлежит тому же классу гладкости С', что и функции Д, 1 = 1, 2,..., т. В силу леммьь о локальном ди44еоморфиэме (лемма 2.1 этой главы) существует е > О такое, что шар В(р, е) содержится в У и ограничение Г на В(р, е) есть диффеоморфизм. Положим о = Г(р), 0 = Г[В(р,е)]. Множество 6 открытое, и, значит, найдется 6 > О такое, что шар В(д, 6) С с . Положим И' = фу, 6/~/й). Куб И' содержится в шаре В(о,б). Положим Ф(у) = Г '(у) для всякого у е Иг, и пусть 1/ = Ф(Иг).
Очевидно, Ъ' с У и р Е Ъ'. При 1= 1,2,...,т имеем Ях) = Гь,. На основании леммы 3.3 отсюда вытекает, что на множестве И' при каждом г = 1,2,..., т, что и требовалось. Теорема доказана. ° З.З. ВТОРАЯ теОРемА О ВыпРЯмлЯю ем иФФеОмОРФизме Введем обозначения. Пусть и > 1 и т — целые числа, причем и < т. Положим т — и = й Для произвольной точки г = (г1,хз,...,г ) й К пусть ггь(г) есть точка х = (хм гз,..., я„) б К, х; = я; при всяком г' = 1,2,..., и и я„(г) есть точка У (г„+ м..., г ) й К, У = г Ф длЯ любого 1 = 1, 2,..., х. ь Пространство К будем рассматривать как прямое произведение К" х К, отождествляя произвольную точку я Е К с парой (х,у), где х = яь(я), у = ~г„(г).
Для произвольной функции ~: А -+ К з 3. Следствия теоремы об обратной функции 129 где А С К™, ее значение в точке г = (х,у), х Е К", у Е К~, будем обозначать символом Дх,у). ° Теорема 3.3 (вторая теорема о выпрямлении). Пусть У есть открытое множество в пространстве К" н ~: У вЂ” К вЂ” отображение класса С". Предположим, что в точке а Е У ранг отображения ~ равен п. Тогда т > п н сушествуют окрестность Ъ точки Ь = 1[а) Е К™, днффеоморфнзм Г: 1г — ~ К класса С' н число 6 > 0 такие, что если [х — а[ ( б, то Дх) Е И н Г[Дх)] = х в случае т = и, а если т > и, то г [Дх)] = (х,0). Доказательство. Предположим, что отображение 1 удовлетворяет условиям теоремы.
Неравенство т > п следует из того, что ранг отображения г" в некоторой точке равен и. В случае т = и утверждение теоремы вытекает из леммы о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1). Будем далее считать, что т > п. Положим т — п = х. Определим отображение кь. К -+ К" (см.
обозначения выше). Очевидно, кь принадлежит классу Сг при любом р > 1. Пусть И~ = я~, ~(У). Множество И' является открытым в К Пусть а = (амаз,...,а„). Пусть с есть точка пространства К такая, что с; = а; при 1 = 1, 2,..., п и с; = 0 при 1 > и, с = (а, 0). д~ Для 1= 1,2,...,п положим — (а) = и;. дх; В силу условия теоремы векторы и;, г = 1,2,...,п, линейно независимы. Согласно лемме 3.2 к векторам иыиз,...,и„можно д о б а в и т ь векторы и„еы..., и так, что векторы иы..., и„, и„+и..., и будут образовывать систему из т линейно независимых векторов в пространстве К Определим некоторое вспомогательное отображение Ф: И' -~ К Пусть (х,у), х Е К", у Е К~, есть произвольная точка множества И~. Полагаем Ф(х, у) = Дх) + ~~> у;и„+ь Отображение Ф, очевидно, принадлежит классу С".
Имеем дФ д1 — (х,у) = — (х) при 1=1,2,...,п, дх; ' дх, дФ вЂ” (х, у) = и„+ при 1' = 1,2,..., х. ду1 Гл. 10. Основы гладкого анализа 130 В частности, мы получаем дФ вЂ” (а, 0) = и;, дх, дФ вЂ” (а,О) = и„+1, ду, 1=1,2,...,и, 1 = 1,2,...,х. Так как векторы и,, г' = 1,2,..., т, линейно независимы, то якобиан отображения Ф в точке с = (а, 0) отличен от нуля.
По лемме о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 этой главы) существует 6 > 0 такое, что шар В(с,б) пространства К™ содержится в множестве Иг и ограничение отображения Ф на В(с, 6) представляет собой диффеоморфизм класса С'. Пусть У = Ф[В(с,б)] и Г: У вЂ” К" — отображение, обратное к ограничению Ф на шаре В(с, 6). Пусть х Е И" таково, что ]х — а] < 6. Тогда точка г = (х, 0) принадлежит шару В(с,б) в И и, значит, х Е Иг. Отсюда следует, что х = яь(х) Е У. Следовательно, мы получаем, что шар В(а,б) в пространстве К" содержится в множестве 1Г.
Для всякой точки (х,у) Е е В(с, 6) выполняется равенство Г[Ф(х, у)] = (х, у). Далее, имеем Ф(х,О) = Дх). Отсюда получаем, что для всех х Е В(а,б) Г[Дх)] = Г[Ф(х, 0)] = (х, 0). Таким образом, отображение Г удовлетворяет всем требуемым условиям. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть (1 есть открытое множество в пространстве К" и ~: У -+ И вЂ” отобрангение класса С". Предположим, что в точке а Е сг ранг отображения 1 равен и. Тогда т > и и существуют окрестность У точки Ь = г"(а), отображение д: У -~ К" класса С' и число 6 > 0 такие, что если [х — а[ < 6, то ~(х) Е У и выполняется равенство д[1(х)] = х.
Яоказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Тогда согласно теореме т > и и существуют окрестность У точки Ь = Да) Е К, диффеоморфизм Г: У -+ И класса С" и число б > 0 такие, что если [х — а] < б, то 1(х) Е У и Г[1(х)] = х в случае т = и, а если ти > и, то Г[1'(х)] = (х, 0). В случае гп = и отображение д = Г и будет искомым. Пусть т > и. Каждая точка в Е К может быть представлена в виде г = (х,у), где х Е К", а у Е К ".
Для х Е К положим п(з) = х. Отображение и принадлежит классу С" при всяком г. Для всякого х Е У такого, что [х — а[ < б, точка 1(х) Е У, Г[1(х)] = (х,О) и, значит, п(Г[Дх)]) = х. Отсюда видно, что отображение д = ггоГ и есть искомое. Следствие доказано. 1" з 3. Следствия теоремы об обратной функции 3.4. ТЕОРЕМА О РАНГЕ 131 1, О, ... О, О, ... О, О, 1, ... О, О, ... О, О, О, ... 1, О, дн дп дп ди дг1 д~, д~„' дг,+, О, дп д1 и Из условия леммы следует, что ранг этой матрицы в каждой точке г Е И' равен г и, следовательно, все ее миноры порядка т + 1 равны нулю. Рассмотрим минор, образованный элементами столбцов с номерами 1, 2,..., г и г + у, где 1 < у < п — г.
Этот минор имеет вид 1, О, ... О, О, О, 1, ... О, О, 1, О, дв дп д1„' дг„+, О, дп дгг О, дп дгг ди Данный минор равен, как очевидно, частной производной— д1,,,' ди Следовательно, мы получаем, что частные производные — функд1„,, ции и тождественно равны нулю для всякого у такого, что 1 < у < и- т. Пусть точки 1 = (гыгг,...,1„) Е И и х = (хмхг,...,х„) Е И таковы, что ~; = х; при каждом 1 = 1,2,..., г. Пусть ры рг,..., р„есть координаты точки р — центра куба Иг. Условие х Е И~, г Е Иг означает, что при каждом 1 = 1, 2,..., п выполняются неравенства р; — Ь<1;<р;+Ь и р; — Ь<х;<р;+Ь.
° Лемма 3.4. Пусть и есть ве»цественная функция класса С», определенная в кубе И' = Я(р,т) пространства К". Пусть целое число г таково, что 1 < г < и, и ранг отображения у: х = (хмхг,...,х„) Е Е И' (хы хг,..., х„, и(х)) Е К"~~ в каждой точке $ Е И' равен т. Тогда функция и зависит только от переменных хы хг,..., х„, т. е. для любых точек х = (хы хг,..., х„) Е И' и» = (1ы1г,...,1„) Е % таких, что $; = х;, для всех 1 = 1,2,..., т выполняется равенство и(х) = и(г). Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Матрица Якоби отображения у состоит из г + 1 строк и и столбцов и имеет вид Гл. 10. Основы гладкого анализа 132 Отсюда следует, что если 0 < Л < 1, то р; — й < (1 — Л)х; + Л8; < р; + й для всех г = 1, 2,..., и, и, значит, точка *+ Л(1 — ) = (1 — Л)х + Л1 содержится в кубе Ит при любом Л б [0,1]. Для Л б [0,1] положим р(Л) = [х + ЛУ - х)] = н[(1 - Л)х + Л~].
Функция у непрерывна и дифференцируема в промежутке [0,1]. При этом 1о(0) = и(х) и ~р(1) = и(1) и, значит, 1 и(й) — и(х) = ср(1) — у~(0) = ~р'(Л) ИЛ. о Имеем ~р'(Л) = ~ (~; — х;) — [х+ Л(г — х)]. ди * дх; (3.1) По условию, г; = х; при г = 1,2,...,т и, значит слагаемые в сумме (3.1), номера которых лежат между 1 и т, равны нулю. д При з = т+ 1,..., и — 1, и, по доказанному, производная — (х) = 0 дх; для всех х б Ит и, следовательно, слагаемые в сумме равенства (3.1), номера которых лежат между т + 1 и и, также равны нулю. Отсюда следует, что у'(Л) = 0 в промежутке [О, 1] и, значит, и($) — н(х) = ~р(1) — у(0) = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
