1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(Символ ч читается как «наблаз.) Для всякого вектора г Е К" имеет место равенство ф(х; г) = (ч 7"(х), «). Пусть даны открытое множество У в пространстве К" и отображение 1: У вЂ” ~ К". Предположим, что 1 дифференцируемо в точке а Е У и Л есть его дифференциал в точке а. Тогда Ь есть линейное отображение пространства И" в себя, и, значит, матрица отображения Ь является квадратной. Определитель этой матрицы называется якобиакож отображения ~ в точке а и обозначается символом л(а, 1). Отображение а: К" — К называется аффиккыж, если оно допускает представление а(х) = р + Л(х), где Л: К" -+ И вЂ” линейное отображение, р — вектор в И Отображение Л при этом называется линейной частью аффикного ореобразовакияа.
Линейная часть аффинного отображения однозначно определяется по этому отображению, как следует из равенства Л(х) = а(х+ и) — а(и), верного для любых векторов х, и Е К". Любое линейное отображение аффинно. В этом случае линейная часть отображения совпадает с ним самим. Всякое аффинное отображение дифференцируемо в каждой точке х Е И", и его дифференциал совпадает с линейной частью отображения.
Действительно, пусть а: х Е К" ~-~ р+ Л(х) есть аффиииое отображение, Ь вЂ” его линейная часть. Тогда для всякой точки хо Е К", каково бы ни было х Е И", имеем (2.1) о(х) = а(хо) + Л(х — хо) + д(х)(х — хо(, где д(х) = 0 и, значит, д(х) = о(1) при х — хо.
Равенство (2.1) согласно определению отображения, дифференцируемого в точке (КМА, часть 1, книга 2, глава 7), означает, что а дифференцируемо в точке хо, а линейное отображение Л является дифференциалом а в точке хо. з 2. Теорема об обратной функции 103 ° Теорема 2.1 (теорема о локальной обратимости отображения). Пусть даны открытое множество У пространства К" и отображение 1: У вЂ” К". Предположим, что 1 имеет в У все частные производные первого порядка, причем эти производные непрерывны в точке а Е У. Пусть Ь = Да). Тогда если якобиан отображения ~ в точке а отличен от нуля, то найдутся числа е ) О и б ) О такие, что для всякого у Е К такого, что (у — Ь| < с, существует, и притом только одна, точка х = д(у) Е У, для которой ~х — а~ < б и 1(х) = у.
Функция д, определенная таким образом в шаре В(Ь, с), дифференцируема в точке Ь. При этом Нуь = Ж) 3 а м е ч а н и е. В силу критерия ди44еренцируемости функции в точке, доказанного ранее (КМА, часть 1, книга 2, глава 7, теорема 1.1), из условий теоремы следует, что отображение У дифференцируемо в точке а. Доказательство теоремы. Пусть У удовлетворяет всем условиям теоремы и В = ф,.
Определитель матрицы отображения В отличен от нуля,и, следовательно, В биективно. Пусть и: У вЂ” К" есть функция, определенная равенством Дх) = Ь+ Цх — а) + и(х) = Ь+ ~ — (а)(х; — а;) + и(х). д1" дх; ди Очевидно, и имеет в У все частные производные —, 1 = 1,2,..., н. х; При этом ди дУ д1 — (х) = — (х) — — (а) дх; дх; дх; ди при каждом г' = 1,2,..., и и, значит, — (х) ~ О при х — + а. Имеем ' дх; также равенство и(а) = О.
Пусть х Е П и у Е К" таковы, что имеет место равенство (2.2) Подставляя сюда выражение Ь + Цх — а) + и(х) вместо 1(х), получим у = Ь+ Цх — а) + и(х), откуда вытекает, что х + й '(и(х)) = й '(у — Ь) + а. (2.3) Произведя те же вычисления в обратном порядке, получим, что если х и у таковы, что имеет место равенство (2.3), то для данных х и у выполняется равенство (2.2). Гл. 10.
Основы гладкого анализа Положим К = Т, ~ и и(х) = К[о(х)]. В силу линейности К имеем 104 и(х+ Хе;) — и(х) ~о(х+ Хе;) — о(х) — (х) = К вЂ” (х) Отсюда, в частности, вытекает, что найдется б~ > 0 такое, что шар В(а,б~) содержится в У и для всякого х Е В(а, 6~) выполняется нера- венство ! ди — (х) <— дх; 2,/п при любом 1 = 1, 2,..., и. 1 Положим 6= — 6~. Куб Ч(а, 26) содержится в шаре В(а, (2~/й)б)= 2,/и В(а,б~).
На основании леммы об оценке приращении (лемма 2.1 главы 7) для любых х', х" Е Я(а,26) выполняется неравенство ]и(х') — и(х")[ < — ~/и [х' — х" ] = -[х' — хо[. Имеем В(а,б) С В(а,26) С фа,26). Положим р(х) = х + и(х). Тогда, как следует из сказанного, ограничение отображения у на шаре 1 В(а, б) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3 с постоянной д = —. 1 1 Имеем у(а) = а, 1 — а = — и — = 2.
Согласно теореме 1.3 для 2 1 — а всякого г Е К" такого, что [г — а] < (1 — а)6 = (1/2)б, существует, и притом только одна, точка х = ф(з) Е У такал, что [х — а[ < 6 и ~р(х) = г. При этом имеет место неравенство [ф(г) — а[ < — [х — а[ = 2[х — а[. 1 — 1-д (2.4) Рассмотрим аффинное отображение д: у Е И" К(р — Ь) + а. для любых х Е У и 1 ф 0 таких, что х+ ~е; Е У. Отсюда, очевидно, следи дует, что в каждой точке х Е У частная производная — (х) определена дх; для любого г = 1,2,..., и.
При этом З 2. Теорема об обратной функции 105 Линейная часть этого отображения есть К. Отображение д непрерывно, и д(6) = а. Значит, найдется в > 0 такое, что если ]у — 6] < е, то )д(у) — а) < 6/2. Возьмем произвольно у Е К" такое, что ]у — Ь] < е. Положим г = д(у). Тогда ]х — а] < 6/2 и, значит, определена точка х = ф(г). Имеем у(х) = г = д(у) = Ь ~(у — Ь) + а. (2.5) В силу неравенства (2.4) ]х — а] < 2]г — а( < 6.
Как было отмечено выше, из равенства (2.5) вытекает, что Дх) = у. Таким образом, нами доказано, что если ]у — Ь] < е, то существует х, для которого ]х — а] < 6 и У(х) = у. Такое значение х е д и н с т в е н н о. Действительно, если х',х" Е В(а,6) таковы; что 1(х') = 1(х") = у, то у(х') = ~р(хп) = г = д(у). Так как ~р на шаре В(а, 6) взаимно однозначно, то, значит, х' = х". Из определения х следует, что х = ф(д(у)], так что функция д допускает представление д = 4 о д. Докажем, что д дифференцируема в точке Ь.
Действительно, пусть о(в) = Ф(в) — г. Из определения <р следует, что и(х) = о(]х — а]) при х -+ а. Значит, согласно теореме 1.3 также и и(г) = о(]г — а]) при в -+ а. Отсюда вытекает, что функция Ф дифференцируема в точке а. При этом дф, есть тождественное отображение 1„пространства И". Дифференциал функции д есть линейное отображение К.
На основании тпеоремы о диффереииируемосгпи суперпозиции (теорема 2.2 главы 7) из доказанного следует, что отображение д дифференцируемо в точке 6. При этом йд~ = 1„о К = К = д1, '. Теорема доказана полностью. ° Следствие 2. Пусть У вЂ” открытое множество, г': У вЂ” И"— отображение класса С такое, что 1(х, У) ф 0 в каждой точке х Е У. Тогда 1(У) есть открытое множество в К".
Т Следствие 1, Пусть У есть открытое множество в К", ~: с1— -~ К", отображение класса С~ такое, что его якобиан в точке а Е У отличен от нуля. Тогда 6 = 1(а) есть внутренняя точка множества ДУ). 11оказательстно. Действительно, согласно теореме 2.1 если якобиан отображения 7' в точке а отличен от нуля и Ь = 1(а), то найдется е > 0 такое, что для всякого у Е В(Ь,е) существует х Е У такое, что у = 1'(х). Это означает, что В(Ь,е) С ДУ) и, следовательно, 6 есть внутренняя точка множества ДУ), что и требовалось доказать.
1об Х'л. 10. Основы гладкого анализа Доказательство. Возьмем произвольно точку уо Е Г(с>'). Пусть хо е с> таково, что Г(хо) = уо. По условию,,У(хо, 1) ~ О. На основании следствия 1 отсюда вытекает, что уо есть внутренняя точка Г"(У). Так как уо Е Г"(У) взято произвольно, то тем самым установлено, что все точки множества Г(У) внутренние, т. е. Г(с>') есть открытое множество, что и требовалось доказать.
ч 2.2. ИФФЕРЕН ИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБРАТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 2.2.1. Докажем, что в условиях теоремы 2.1 обратное отображение у принадлежит тому же классу гладкости, что и исходное отображение Г". ° Теорема 2.2. Лусть У есть открытое множество в пространстве К" и ~: У -> К" есть взаимно однозначное отображение класса С', т > 1.
Предположим, что и каждой точке х б У якобиан отображения ~ отличен от нуля,,У(х,Г) ~ О для всех х б У. Тогда 1" = ((У) есть открытое множество, а обратное отображение 1' 1: 1' — К" принадлежит классу С'. Доказательство. То, что У есть открытое множество в К", верно в силу следствия 2 теоремы 2.1. Из теоремы 2.1 вытекает также, что отображение д = Г" 1 дифференцируемо в каждой точке у б 1'.
При этом если у = Г(х), то ад„= = ®,) 1. Пусть Дх) = (Ях),уг(х), ...,1„(х)), д(х) = (д1(х)>дг(х)>...,д„(х)). Положим и; (х) = — (х). Матрица дЛ дх,. иы(х) игг(х) ... и1„(х) иг1(Х) игг(Х) ... игп(Х) и(х) = ип1(Х) ипг(Х) ... ип„(Х) () () () иы х игг х ° .. и1 х ию(х) игг(х) ... игп(х) ип1(х) ипг(х) ипп(х) и(х) = есть матрица Якоби отображения Г" в точке х й У.
В силу условия теоремы определитель этой матрицы всюду отличен от нуля. Значит, для каждого х б У определена матрица и(х) = (и(х)] Пусть З 2. Теорема об обратной функции 107 д' = иб[д(у)1. ду,. (2.6) Доказательство теоремы завершим ипдукцией по г. Пусть т = 1. Тогда функции о; непрерывны. Так как отображение д диффереици- руемо в каждой точке у Е Ъ", то опо непрерывно.
В силу равенства (2.6) дд; отсюда вытекает, что производные — непрерывны и, значит, д приду, надлежит классу С', так что для т = 1 теорема верна. Пусть т е Х таково, что если ( Е С", то тогда также и д % С". Предположим, что ~ есть отображение класса С"+1. В этом случае, как было установлено ранее, функции и; принадлежат классу С". Так как ( Е С'+, то г' Е С" и, значит, согласно индукционному допущению также и д принадлежит классу С'. дд; Учитывая равенство (2.1), отсюда следует, что функции — = ду1 = и,, о д принадлежат классу С" и, следовательно, отображение д при- надлежит классу С'+з.
В силу принципа математической индукции теорема доказана. ° 2.2.2. Результаты теорем 2.1 и 2.2 позволяют ввести важное понятие диффеоморфизма. Пусть с7 есть открытое мпежество в К". Отображение 7': (7 — ~ К" называется диффереииируемым еомеоморфизмом класса С" или, короче, диффеоморфиэмом жласса С', если 7" взаимно однозначно и принадлежит классу С", причем в каждой точке х Е П якобиаи отображения ~ отличен от нуля.
Пусть 17 и Ъ' есть открытые множества пространства К". Предположим, что отображения 7': П вЂ” К" и д: 1" — К" есть диффеоморфизмы класса С', причем 7"(ВГ) С $'. Тогда и суперпозиция Ь = д о 7 Функции и; — элементы матрицы и — получаются из функций иы конечным числом операций сложения, умножения и деления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
