1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функции иы принадлежат классу С' ~. (В случае з = О, как обычно, полагаем С' = С, где С означает множество всех непрерывных отображений.) Отсюда вытекает, что функции и; также принадлежат классу С" ~. Возьмем произвольно точку у Е $'. Пусть х = д(у). Тогда йд„= [й1;] ' и, значит, матрица линейного отображения йд„совпадает с матрицей, обратной по отношению к матрице отображения 47',.
Иначе говоря, матрица отображения йд„есть матрица [и(х)] ~ = и(х). Принимая во внимание, что х = д(у), отсюда получаем, что матрица Нд„есть и[д(у)]. В частности, это позволяет заключить, что Гл. 10. Основы гладкого анализа также представляет собой диффеоморфизм класса С'. Действительно, если отображения У и д удовлетворяют этим условиям, то каждое из них взаимно однозначно и принадлежит классу С', откуда вытекает, что отображение Й также взаимно однозначно и принадлежит классу С". В каждой точке х Е П имеем ~Ь. = йд, о,(У., где у = У(х).
Отсюда следует, что У(х; Ь) =,У(х; У)У(у;д) ф О, так как согласно условию У(х; У) ф 0 для любого х Е П и У(у;д) ~ 0 для всех у Е Ъ'. Отображение Ь, таким образом, удовлетворяет всем условиям определения диффеоморфизма класса С'. Если У: (У -+ К" есть диффеоморфизм класса С", то согласно теореме 2.2 множество Ъ' = У((У) открытое и обратное отображение д = У ~ принадлежит классу С". При этом, как очевидно, отображение д = У ~ взаимно однозначно. Суперпозиция У о д есть тождественное отображение, и, значит, для всякого у = У(х) Е Ъ' имеет место равенство,У(у;д),У(х; У) = 1.
Отсюда следует, что в каждой точке у Е Ъ' якобиан отображения д = ' отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, что У ~ также есть диффеоморфизм класса С". ° Лемма 2.1 (лемма о локальном диффеоморфизме). Пусть УУ есть открытое множество в пространстве К", У: УУ вЂ” К" — отображение класса С", т > 1. Предположим, что в точке р Е (У якобиан отображения У отличен от нуля. Тогда найдется т > 0 такое, что В(р,г) С УУ и ограничение У на шаре В(р, г) есть днффеоморфизм класса С".
Доказательство. Данное предложение есть простое следствие теорем 2.1 и 2.2. Положим д = У(р). Согласно теореме 2.1 найдутся числа е > 0 и 6 такие, что для всякого у Е В(д, 6) существует, и притом ~~и~ко одно, х Е В(р,е)> для кото1зого У(х) = у. Так как У Е С", где т > 1, то функция х +,У(х; У) непрерывна.
По условию, У(р; У) ~ О. Пусть С есть множество всех х Е П, для которых У(х; У) ф О. Множество С является открытым в силу непрерывности функции х ~ У(х; У). Пусть ~' есть пересечение 0 О В(р,е). Множество 1' открытое, $" С УУ, так как Ъ' С С С УУ. Пусть т > 0 таково, что Во — — В(р,г) С С. Так как Во С В(р,е), то ограничение У на шаре Во взаимно однозначно.
Поскольку Во С с', то У(х; р) ~ 0 для всех х Е Во. По условию, У принадлежит классу С". Значит, также и Лн, принадлежит классу С". Для отображения Дн„таким образом, выполнены все условия определения диффеоморфизма класса С". Лемма доказана. ° З 2. Теорема об обратной функции 109 2.3. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООР ИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ И~ у; = рг(х1,хз,...,х„), ~ = 1,2,...,п. (2.7) Числа у;, 1 = 1,2,..., н, называются координатами точки х в системе координат у: У вЂ” ~ К .
Множество У называется областью определения системы координат <р или областью, где эта система координат задана. Множество Ъ' = у>(У) называется областью значений системы координат у. Отображение 4 = у 1 позволяет для произвольной точки х б У найти ее базисные координаты по координатам в системе координат у, а именно, имеют место равенства х; = зьг(ум уз1..., у„), 1 = 1, 2,..., н. (2.8) Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Тогда (формально) система координат на множестве У есть диффеоморфизм у: У -~ К". При этом если у принадлежит классу С', то говорят, что данная система координат принадлежит тому же самому классу С". Термин «система координат» к произвольному диффеоморфизму применяется лишь в определенном контексте, главным образом тогда, когда решение той или иной задачи может быть достигнуто заменой переменных в изучаемых функциях.
Говоря о произвольной системе координат, введенной в открытом множестве У, иногда используют термин «криволинейная система координат». В некоторых случаях его применение не вполне оправдано, и по этой причине мы не будем им пользоваться. В частности, тожцественное отображение пространства К" на себя есть диффеоморфизм и, стало быть, представляет собой систему координат в пространстве И". Эту систему координат в К" будем называть естественной системой координат в пространстве И". Для точки х = (хы хз,..., х„) числа х;, 1 = 1, 2,..., н, в соответствии с этим мы будем называть естественными координатами точки х.
Пусть дана система координат ю: У К", определенная на открытом множестве У пространства И". Для произвольной точки х множества У пусть у(х) = у = (ум уз,..., у„). В развернутой форме данное равенство может быть записано так: Гл. 10. Основы гладкого анализа В конкретных случаях вместо у«или у«часто используется символ, ко- торым обозначаются координаты точки. В этом случае равенства (2.7) и (2.8) принимают вид у; = у(хг,хг,...,х„), « = 1,2,...,п, х« = х«Ь« уг,. 1ув), « =1>2, )и. Система координат «о: У вЂ” К" полностью определена, если указано обратное преобразование у« = «о «, которое по координатам точки в данной системе координат позволяет найти ее базисные координаты.
Часто оказывается более добным з авать систем кое инат с помо ю отоб ажения казанного выше. Предположим, что на множестве У пространства К" задана некоторая система координат у: У вЂ” К". Пусть Ъ' есть область значений этой системы координат. Предположим, что задана функция У: У вЂ” + К . Тогда на множестве г' определена функция Р = ~ о»г Функция Р называется представлением функции ~ в системе координат у. дР дгР Производные — (у), (у) и т. д. называются производными ду; ' ду;дуз функции 1 относительно координат у; точки х Е У в данной системе дР дгг координат ~р. Величины — (у), (у) и т.
д. обозначаются обычно ду; ' ду;ду, д1 дгУ выражениями — (х), (х) и т. д. ду; ' ду;дуд Опишем некото ые геомет ические понятия естественно возни- Р1«гг г' «(Ьг "г ...,Ь -») множество всех точек х Е У, у которых координата у, = Ьы координата у, = Ьг и, наконец, координата у „, = Ь„ В случае, когда у есть естественная система координат в пространстве К", множество Р = Р.„,,„,(Ьы Ьг,..., Ь„») есть Ь-мерная плоскость в К". В соответствии с этим будем называть Р Ь-мерной координатной поверхность«о для данной системы координат, определяемой системой уравнений у,„, = Ь„». у,, =Ьг, уд, =Ьы каю ие п и ассмот енин п оизвольных систем кое инат. Пусть дана система координат у: У вЂ” «К".
Положим 4 = «о и пусть 1' = »г(У). Зададим произвольно номера гы уг,..., г„», где 1 < Ь < п и 1 < А <,гг « .. ~'„» < п. Пусть даны числа ЬыЬг,...,Ь„». Обозначим через з 2. Теорема об обратной функции Образы множеств Р,, „д„„(ЬыЬг,...,Ь„ь) относительно отображения у есть сечения множества значений Ъ' данной системы координат параллельными й-мерными координатными плоскостями. Отметим к айние сл чаи: Ь = 1 и Ь = и — 1 В первом случае множество Р = Р..г.
д„,(ЬыЬг,...,Ь„ь) называется координатной кривой. Во втором случае — координатной гиперпвв ерхностью. При перемещении по координатной кривой м е н я е т с я только о д н а координата точки. На координатных гиперповерхностях п о с т о я н н а лишь о д н а из координат точки. П ив ем некото ые п и м е ы систем коо инат в п ост- анстве И" ля азных значений п 1.
Аффиннля систкмл координлт в К". Отображение Г: И" -+ — ~ К™ называется аффинным, если оно допускает представление Г(х) = Ах+ Ь, (2.9) где А есть матрица из т строк и п столбцов, Ь вЂ” вектор в К Всякое аффиннве втвбрагкение принадлежит классу С" при любом г > 1, и его матрица Якоби во всех точках х Е К" совпадает с матрицей А в представлении (2.9). Пусть Г: К" — И" есть аффинное отображение пространства К" в себя.
В силу известных результатов алгебры отображение Г будет биективно в том и только в том случае, если определитель без А матрицы А отличен от нуля. Всякое биективное аффинное отображение Г: К" — К" называется аффинным преобразованием К". Формально, аффинная система координат в И" есть аффинное преобразование пространства К". Для произвольной точки х = (хы хг,... ...,х„) ее координаты в аффинной системе координат Г: К" ~ К" выражаются через естественные координаты этой точки по формулам уг — — аыхг + аггхг + .. + аг„х„+ Ьы уг = аггхг + аггхг + ... + аг„х„+ Ьг у =авгхг + а гхг + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
