1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 24
Текст из файла (страница 24)
+ а„„х„+ Ь„. Это есть развернутая запись равенства (2.9). Аналогичным образом, естественные координаты точки выражаются через ее координаты в аффинной системе координат. Последние будем также называть аффинными координатами точки. Гл. 10. Основы гладкого анализа 1 112 Аффинная система координат в пространстве И" замечательна тем, что й-мерные координатные поверхности в ней при каждом Й = = 1, 2,..., п — 1 являются обычными к-мерными плоскостями. Пусть Х есть произвольное и-мерное векторное пространство. Зададим в пространстве Х произвольно точку Ь и систему из и линейно независимых векторов ам аз,..., а„.
Пусть х е Х. Тогда вектор х — Ъ может быть, и притом единственным способом, представлен в виде (2.11) х — Ь =11н1 + ~заз+ . +~„а„. Сопоставляя точке х точку 1 = (1ы1з,...,1 ) Е К", где числа 1;, г = 1,2,...,и, определяются по х из равенства (2.11), мы получаем некоторое отображение векторного пространства Х в К".
Это отображение взаимно однозначно в силу того, что числа 1ы1з,..., $„по вектору х определяются единственным образом. Нетрудно видеть, что оно является отображением Х на И". Данное отображение будем называть аффинной системой координата в пространстве Х. Точка Ъ называется началом этой аффинной системы координат. Векторы а;, г = 1, 2,..., и, называются базиеными векторами данной аффинной системы координат.
Рассмотрим специально случай, когда Х есть евклидова пространство, т. е. в Х определено скалярное произведение векторов х,у ~-~ (х,у). Пусть а;, 1 = 1,2,...,п, — произвольная система векторов в пространстве Х. Эта система векторов называется ортонормальной, если выполнены следующие условия: (а;,а,) = 6;, где 6; есть символ Кроненера (см. главу б, п. 2.1), т. е. 0 для 1~ 1', б;,= 1, если Декартовой ортоеональной системой координат в и-мерном евклидов ам пространстве К" называется всякая аффиннвя система координат в этом пространстве, базисные векторы которой и;, 1 = 1, 2,..., и, образуют ортонормальную систему векторов.
Предположим, что в пространстве К" задана декартова ортогональная система координат с началом Ь и базисными векторами а;, г = 1,2,...,п. Пусть х и у — две произвольные точки пространства К", 1 = = (~м ~я,...,1„) есть набор координат точки х, и = (им из,...,и„)— набор координат точки у. Тогда имеем з 2. Теорема об обратной функции 113 Отсюда получаем и в (и; — 1;)(и, — 1 )(а;, а ) = тяп т'=т — ~ )(и — 1 )6 . = ~> (и — ~ ) = ~и — ~~~ т=1 (у — х« = (у — х,у — х) = Следовательно, сопоставляя каждой точке х й К" набор ее координат в декартовой ортогональной системе координат пространства К", мы получим изометрическое отображение пространства К" на себя.
Таким образом, декартова ортогональная система координат в пространстве К" представляет собой изометрическое отпображение пространства К" на себя. Можно показать, что верно и обратное, а именно, всякое изометрическое отображение пространства К" на себя есть денартпова ортогональная система координат в К". 2. ПОПЯРнАЯ системА кООРдинАт нА плОскОсти.
Опишем некоторую систему координат на плоскости К~. Пусть О = (О, 0) и Ло есть луч, состоящий из всех точек Р = (х, у), у которых координата у равна нулю, а координата х неотрицателъна (см. рис. 3). Луч Ло есть правая полуось оси Ох декартовой ортогональной системы координат в Кз. Пусть Р = (х, у) есть произвольная точка на плоскости Кг. Длина т = т(Р) отрезка «ОР~ называется полярным радиусом тачни Р.
Хт Рис. 3 Предположим, что Р ~ О. Пусть Л(Р) есть луч, исходящий из точки О и проходящий через точку Р. Угол, на который нужно повернуть луч Ло, чтобы совместить его с лучом Л(Р), обозначим символом р(Р). Будем называть угол ~р = = ут(Р) полярным углом точки Р. Гл. 10. Основы гладкого анализа Удобно считать величину угла у определенной с точностью до слагаемого, являющегося целочисленным кратным 2я. Таким образом, если у есть полярный угол точки Р ф О, то и любое число д = ю+ 2тя, где т — целое число, является полярным углом этой точки. Используя известное выражение для длины отрезка в пространстве К" для случая и = 2 (см.
КМА, часть 1, книга 2, глава б), для всякой точки Р = (х, у) 3 а м е ч а н и е. Здесь используются обозначения т = г(Р), у = р(Р) и последние два равенства имеют смысл только в случае, когда Р ф О. Построенное соответствие Р = (х,у) ~ (г(Р),~р(Р)) не является «системой координат» в смысле данного здесь определения. Оно не является даже функцией, поскольку одной точке Р = (х,у) отвечает бесконечное множество значений р(Р). Для точки Р = О значение <р(О) вообще не определено. Чтобы получить систему координат, т. е.
взаимно однозначное отображение в Кз, необходимо прежде всего исключить произвол в определении ~р(Р). Этого можно достичь требованием, чтобы величина ю(Р) лежала в некотором полуинтервале, длина которого равна 2я. Областью определения У полярной системы координат на плоскости является множество, получаемое из К~ исключением точек, для которых у = О, а х < О. Для произвольной точки Р = (х,у) Е о' пусть т = т(х, у) есть полярное расстояние точки Р, а у = у(х, у) есть число, которое является полярным углом точки Р и принадлежит промежутку [ — я, я[. Так как полярный угол определен с точностью до слагаемого, являющегося целочисленным кратным 2я, такое 1а найдется.
Поскольку Р не лежит на луче 1(х, у)[у = О, х < 0), то — я < р < я. Определенные таким образом числа т = т(х, у) и ю = ~р(х, у) и называются полярными координатами тонни Р = (х,у). Сопоставляя каждой точке (х, у) б 11 пару (г, ~р), где г и ~р — ее полярные координаты, получим отображение Е множества У в бесконечную полуполосу: У = (О, оо) х ( — я, я) С Кз (см.
рис. 4). Из геометрических соображений очевидно, что Р есть взаимно однозначное отображение У на У. я 2. Теорема об обратной функции 115 Рис. 4 Чтобы доказать, что Р обладает «хорошими» аналитическими свойствами, рассмотрим формулы (2.12), посредством которых декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты. Из равенств (2.12) видно, что х = х(т, у) и у = у(т, у) есть функции класса С" при любом к > 1.
Якобиан отображения С = Г з: (т,~р) ~ (х(т, р),у(т,у)) равен ! сов1в -те1п~р = т > О. в1п ~в т сов ~р Отсюда следует, что С есть диффеоморфиэм класса Сь при любом й > 1. Следовательно, и обратное отображение Р есть диффеоморфизм, принадлежащий классу С при любом к. Для произвольной точки Р число т(Р) называется также ее радиальной координатой, ~р(Р) — угловой координатой.
В любой системе координат на плоскости координатные поверхности являются в то же время и координатпными кривыми. В полярной системе координат кривая у = сопвг есть луч, исходящий из точки 0 = (0,0), кривая т = й = сопв$ есть окружность радиуса В с центром О. При этом из окружности должна быть исключена точка (-В, 0)! 3. ЦилинлРическАЯ системА кООРННИАт В Кз. Пусть У есть множество, получаемое из Кз исключением всех точек (х, у, г), для которых у = О, ах ( О. Для произвольной точки(х,у,г) б Кз цилиндрические координаты есть числа т, р, г, где т, р есть полярные координаты точки (х, у) в Кз.
Декартовы координаты точки (х, у, г) выражаются Гл. 10. Основы гладкого анализа 116 через ее цилиндрические координаты по формулам т = гсов~р, у = гв1пр, г = г. (2.13) Область значений данной системы координат есть множество 10, оо) х х( — к, к) х К. Якобиан отображения ф (тр 1Р1 г) ~ + (7 сов ~Р~ г в!п 19~ г) равен т и, следовательно, всюду отличен от нуля.
Отсюда ясно, что все условия определения системы координат здесь выполнены. Построенная система координат называется цилиндрической. Координатная поверхность г = Л в данном случае (см. рис. 5) есть прямой круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Ог и из которого исключена одна из образующих. Чтобы понять геометрический смысл координат точки в цилиндрической системе координат, отождествим пространство Кз с обычным трехмерным пространством Ез с заданной в нем декартовой ортогональной системой координат. Рис. б Пусть Н есть плоскость г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
