1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. и(г) = и(х). Лемма доказана. В Доказываемая далее теорема устанавливает следующий факт. Если отображение У: У вЂ” К™, где У вЂ” открытое множество в К", таково, что в некоторой окрестности точки р Е У ранг отображения равен одному и тому же числу т, то в окрестностях точек о = Яр) и р можно ввести криволинейные системы координат, в которых функция ~ оказывается приведенной к некоторому простейшему виду.
Именно, если 11,~з,...,~„есть координаты точки х, лежащей в заданной окрестности точки р, то 1(х) лежит в заданной окрестности точки р и имеет координаты 1ы...,1„0,..., 0 . пь-г иулей з 3. Следствия теоремы об обратной функции 133 ° Теерема ЛА (общая теорема о выпрямлении или теорема о ранге). Пусть П есть открытое множество в пространстве К" и ~: П вЂ” К есть отображение класса С'. Предположим, что для некоторой точки р Е П можно указать натуральное число г < т1п1тп,п) и число б > О такие, что в каждой точке х Е П, для которой ~х — а~ < 6, ранг отображения ~ равен т. Тогда существуют и-мерный куб И', ул-мерный куб У и диффеоморфизмы Ф: И" -~ К" и Ф: У вЂ” К класса С', для которых справедливы следующие утверждения: 1) множество С = Ф(ИУ) содержится в П, причем р Е 0 и для всякого х Е 0 выполняется неравенство ~х — р~ < 6; 2) множество ДС) содержится в множестве У; 3) для всякого1 = (1ыгг,...,1„) Е И' выполняется равенство Ф(У[Ф(1)1) = (~~...,1„, О,...,О ).
еь-г иулей доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Будем считать, что указанное в формулировке теоремы число б > О таково, что шар В(р,о) целиком содержится в множестве П. Это предположение не умаляет общности рассуждений, поскольку его выполнения всегда можно добиться, уменьшая б. Из условий теоремы следует, что г < и и в то же время т < уп. В случае г = т < и требуемый результат вытекает из теоремы 3.2. В этом случае в качестве Ф можно взять тождественное отображение пространства К Точно так же, если т = п < ул, то утверждение теоремы следует из теоремы З.З. В этом случае в качестве И' следует взять куб с центром в точке р, содержащийся в шаре В(р,б), и и качестве Ф взять тождественное отображение этого куба.
Будем далее предполагать, что г < и и одновременно т < т. Пусть ~ы~г,..., г" есть компоненты вектор-функции г. Из условий теоремы следует, что в каждой точке шара В(р, б) ранг отображения 1 равен г и, значит, по крайней мере один из миноров порядка г матрицы Якоби отображения ~ в точке р отличен от нуля. Будем считать, что это есть минор, образованный элементами первых г строк и г столбцов матрицы Якоби отображения Х.
Рассмотрим отображение д: х е Г ~ (Л(х),Уг(х),...,1'„(х)) Е К". Гл. 10. Основы гладкого анализа 134 Ранг этого отображения в точке р, очевидно, равен т. Как следует из теоремы 3.2, найдутся открытый куб 9 = у[а, Ь) и диффеоморфизм Ф: ч' -> К" класса С' такие, что р Е ФЯ), для всякого 1 Е 9 ]Ф(1) — р[ < 6, и, каково бы ни было 1 = (1з, $з,..., 1 ) Е И', имеет место равенство д[Ф(г)] = (~„~з,...,~„), т.
е. на множестве Я для каждого г = 1, 2,..., т. Не умаляя общности, мы можем считать, что р = Ф(а), поскольку выполнения этого равенства всегда можно добиться, заменяя куб Ч некоторым кубом, содержащимся в нем. Положим Г(г) = ~[Ф(1)], где Ф есть построенный выше диффеоморфизм.
Отображение Г определено в кубе Ч' пространства К" и принадлежит тому же классу гладкости С', что и отображение ~. Согласно лемме 3.1 ранг отображения сохраняется при замене переменных, осуществляемой посредством диффеоморфизма области в К", и, значит, ранг отображения Г равен т во всех точках 1 Е Ч. Для г = 1,,2,..., т имеем Г;(1) = Д[Ф(~)]. В частности, получаем, что если 1 = 1,2,..., г, то Г;(1) = 1;. Покажем, что для значений ~, принадлежащих ч', величина Г(1) зависит только от переменных 1м ~з,..., ~,. Для этой цели рассмотрим функцию >Р(~) (>1> >2> ° ° > >>> Г>+>(>)) = (~1(1)» Г '>>)> Г>+>>>)).
Пусть а = (аз, аз,..., а„) есть центр куба Д. Ранг отображения >р, очевидно, не превосходит ранг отображения Г, и, значит, он равен г. Отсюда, в частности, следует, что все миноры порядка т + 1 матрицы Якоби функции д> равны нулю. В силу леммы 3.4 отсюда вытекает, что для всякой точки 1 = (Гз,1з,...,1 ) Е 9 имеет место равенство и, таким образом, компоненты функции Г, номера которых б о л ьш е г, зависят только от ~м 1з,..., 1„. Для компонент, номера которых не превосходят т, это, очевидно, также верно. 'З 3. Следствия теоремы об обратной функции 135 Положим Ь = (амаз,...,а„) Е К", и пусть 9~ есть куб фЬ,Й) в пространстве Ке.
Для произвольной точки (й1,1з,...,й„) Е К" положим я(Г) = (ем ез,...,1„). Рассмотрим отображение Н: е Е Я1 е г(еы...,1„,а„+м...,а„). (3.2) Отображение Н принадлежит тому же классу гладкости С', что и отображение Е. Для любого 1 = 1,2,..., т имеем Н;(г) = 1;. Отсюда следует, что ранг отображения Н равен т в каждой точке 1 Е ч'1. Из определения функции Н (см. (3.2)) следует, что Н[Ь) = Г(а) = 1[Ф(а)] = 1[Р). Для всякой точки $ Е () имеем Г(г) = Н[я1г)]. Па основании теоремы 3.3 найдутся окрестность И точки д = у[р) = Н(6), окрестность О точки 6 и диффеоморфизм Ф: И -+ К™ такие, что Н(0) С И и Ф[Н(~)] = (11 гз~,Г», 0,...,0 ) Е К ел-е нулей для всякого 1 = (11, $з,..., 1„) Е О. Пусть г таково, что О < г < Ь и куб ч16,г) С О.
Положим И' = ч1а,г). Пусть 6 = Ф(И'). Множество 0 является открытым и содержится в Н. При этом р = Ф(а) Е С. Теперь покажем, что для построенных множеств И и ИУ и диффеоморфизмов Ф и Ф справедливы утверждения 1-3 формулировки теоремы. Утверждение 1 выполняется в силу определения множеств ИУ и 6. Рассмотрим утверждение 2. Возьмем произвольно точку х е 6. Так как О = Ф(Иу), то найдется 1 Е Иу такое, что х = Ф($). Имеем Далее, Если Г Е И" = ®а,г), то я(1) Е фЬ,г) и, значит, 1[х) = Н[х(г)] Е 'у'. Точка х Е 0 была, выбрана произвольно, и, следовательно, мы получаем, что Дх) Е И для всякого х Е С, так что утверждение 2 также верно. 136 Гл.
10. Основы гладкого анализа Наконец, заметим, что для всякого 2 = (11,12,..., 1„) Е у>> Г(>) = И11>22>...,2») = »(21>22>...,1>) б '>'. При этом Ф[» (>1> >2» ° ° ° >>)) — (>1> >2» ° ° ° >» О» ° ° . 0 ), »>-т ну»ея т. е. мы получаем, что Фж>)) — ФУ[Ф(2) — (>1 >2 ° ° ° > 0 ° ° ° 0 ) ° п»- нулей Таким образом, мы видим, что справедливо и утверждение 3 — основное в доказываемой теореме. Мы доказали теорему в предположении,что отличен от нуля минор матрицы Якоби отображения ~, образованный элементами первых т строк и первых т столбцов.
Общий случай легко сводится к этому изменением н ме а ин пе менных. Аналитически изменение нумерации координат состоит в выполнении некоторого диффеоморфизма. Используя тот факт, что суперпозиция двух диффеомерфизмов есть снова диффеоморфизм, отсюда легко заключить, что теорема верна и в общем случае. Теорема доказана.
° 3.5. ПОНЯТИЯ ФУНК ИОНАЛЬНО ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ СИСТЕМ ФУНК Ий Пусть 1> есть открытое множество в пространстве К", Д: 1>' — + К, 1 = 1,2,..., ул, — функции класса С" для некоторого т > 1, определенные на множестве 11. 1 оворят, что функции 11 > 12»... 1,„фун>сцпонлльно элв>гс1н>1м в окрестности точки хо Е с>', если можно указать число б > 0 и функцию Ф от т переменных, определенную на некоторой окрестности у' точки уо = (Л(хо) Ь(хо)»...У (хо)) пространства К™ такие, что выполнены следующие условия: а) функция Ф принадлежит классу С1 и такова, что в каждой точке у Е Ъ' ее градиент >7Ф(х) отличен от нуля; б) для всякого х Е У такого, что [х — хо[ ( б, точка 'З 3. Следствия теоремы об обратной функции 137 принадлежит Ъ', причем выполняется равенство Ф[Ях),Ях),...,г" (х)] = О.
(3.3) Если система функций ~1,~з,...,~ не является функционально зависимой в окрестности точки хо е о, то говорят, что данные функции функционально независимы в окрестности точки хо. Если функции Л, Л,..., г" функционально зависимы в окрестности каждой точки х множества П, то мы будем говорить, что функции 1ы ~з,..., 1 функционально зависимы на множестве о'.
Предположим, что функции Лы Ь,..., г" функционально зависимы на множестве У. Пусть хо — произвольная точка множества о' и Ф есть функция такая, что градиент ее всюду отличен от нуля и Ф[Ях), Ях),..., ~ (х)) = 0 для всякого х е о такого, что [х — хо[ < Ю. Предположим, для определенности, что дФ вЂ” (Уо) ~ О, ду Ув — Г(У1 ~ Уз~ ° ° ° У -з). Отсюда вытекает, что существует бз > 0 такое, что если х е П и [х — хо[ < 6ы то имеет место равенство [х) = Г[1з[х),..., г' з[х)). [3.4) Резюмируя сказанное, получаем, что если функции ~ыЛ,..., 7 функционально зависимы на множестве П, то в окрестности всякой точки хо множества У одна из этих функций может быть выражена через другие формулой вида (3.4).
Иначе говоря, значения функции ~ в точках некоторой окрестности хо полностью определяются значениями функций Л, Гз,..., г в этих точках. где уо = Ц1(хо), Уг(хо),, ~в(хо)). Согласно тпеореме о неявных функциях (см. теорему 3.1), предположения которой выполнены в силу условия а), найдется е>0 такое, что уравнение Ф[уыуз,...,у ) = 0 однозначно разрешимо относительно переменной у в окрестности фув,е) точки уо, т. е. существует функция Г(уыуз>...,у 1) такая, что из равенства Ф[уы уз,..., у ) = 0 следует, что Гл. 10.
Основы гладкого анализа 138 Из определения функциональной зависимости системы функций вытекает следующее предложение. Пусть дана функция Г: У вЂ” + К, где У вЂ” открытое множество в К", дифференцируемая в каждой точке х е У. Напомним (см. 32 этой главы),что вектор дЕ дЕ дŠ— (х), — (х),..., — (х) дх1 ' дхз '''' дха называется градиентом фрикции и обозначается одним из символов: бган Р(х) или ~7Г(х). ° Теорема 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
