1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если функции Л, 6,...,1" класса С", определенные на открытом множестве У пространства К", функционально зависимы в окрестности точки хо е У, то найдется 6 ) О такое, что ранг системы функций (ы 5,...,~ не превосходит т — 1 в каждой точке х е У такой, что ]х — хо] < б. Доказательство. Пусть функции 1м (з,..., ( удовлетворяют условию теоремы. Согласно данному выше определению зависимости системы функций это означает, что найдется функция Ф класса С1 такая, что для всех х Е У таких, что [х — хо] < б, выполняется равенство (3.3), причем градиент функции Ф отличен от нуля во всех точках ее области определения.
Дифференцируя обе части равенства Ф[~1(х),Ях),...,У,(х)] = О по х;, г = 1,2,..., п, получим, что для любой точки х е У при каждом 1 = 1, 2,..., и справедливо соотношение — [У(х)] — ~(х) = О, дФ дД дч, дх; где Ях) = (Л(х),Ях),..., 1 (х)) е К дФ Положим Л = — [Дх)].
Тогда из равенства (3.5) следует, что дд1 для векторов ~7Ях) е К", у = 1, 2,..., т, выполняется соотношение з 3. Следствия теоремы об обратной функции 139 Так как согласно данному выше определению функциональной зависимости градиент фукиции Ф отличен от нуля в каждой точке у области определения функции Ф, то среди чисел Л хотя бы одно число отлично от нуля. Равенство (3.6), следовательно, означает, что векторы ч Ях) линейно зависимы. Компоненты вектора ~7Ях) образуют 1-ю строку матрицы Якоби системы функций Д: П -+ К, 1 = 1, 2,..., т, в точке х.
Таким образом, с т р о к н матрицы Якоби линейно зависимы. Следовательно, мы получаем, что р а н г этой матрицы по крайней мере на единицу м е н ь ш е числа ее строк и, следовательно, в каждой точке х Е о такой, что ]х — хо[ < б, р а н г системы функций ~з,~з,...,~ не превосходит т — 1, что и требовалось доказать. ° Следствие. Если система функций 1ы ~з,..., ~ класса С", определенных на открытом множестве 77 пространства К", такова, что в канадой точке х Е 17 ранг этой системы равен т, то функции Д: с7 — К, 1 = 1, 2,..., т, функционально независимы. действительно, если бы данная система функций была функционально зависима, то согласно теореме 3.5 ее ранг был бы не более т — 1, что противоречит условию следствия. Следствие доказано.
Т 3 а м е ч а н и е. Теорема 3.5 устанавливает некоторое н е о бх о д и м о е условие функциональной зависимости для произвольной системы вещественных функций класса С", определенных на открытом множестве пространства К". Применяя теорему о ранге (теорему 3.4), мы получим д о с т а т о ч н о е условие функциональной зависимости системы функций. ° Теорема З.б. Пусть У есть открытое множество в пространстве К" н 1: У -~ К есть отображение класса С'. Предположим, что для некоторой точки а с 77 можно указать натуральное число г < т и число бо > О такие, что и каждой точке х Е П, для которой [х — а[ < < бо, ранг отображении 7" равен г. Тогда существуют б > О, б < бо, т-мерный куб У и отображение д: У вЂ” К " класса С' такое, что ранг отображения д равен т — т, шар В(а, 6) содержится в П, причем 7" [[В(а, б)] С У, и длЯ всЯкого х = (хм хз,..., х„) б В(а, 6) выполнЯетск равенство д[Дх)] = О.
3 а м е ч а н н е. Пусть ды дз,..., д „есть компоненты отображения д. Равенство д[Дх)] = О равносильно системе уравнений дз[Цх), Ях),..., 7'„(х)] = О, дз[У1(х)т У2(х)т ° ° ~ 1тп(х)] — О> (3.7) Гл. 10. Основы гладкого анализа 140 Доказательство теоремы, Пусть выполнены условия теоремы. Воспользуемся результатом теоремы 3.4, полагая в ней П = В(а,йо). Тогда согласно теореме 3.4 найдутся диффеоморфизмы Ф: ИУ вЂ” К" и Ф: У - К класса С' такие, что выполняется равенство Ф(~[Ф(е)]) = (>и...,1„, О,..., О ). >и> т нулей Здесь И' есть куб в К" такой, что Ф(И>) С В(хо, Б), У есть т-мерный куб и выполнено условие: г" [Ф(Ит)] >..
У. Положим ФЦ[Ф(г)]) = Н(1). Имеем Н[Ф '(х)] = Ф(Дх)). При каждом 1 = 1, 2,..., т имеем Н> [Ф ~ (х)] = Ф;( г(х)). Компоненты с номерами > + 1, т+ 2,..., уп вектор-функции Н тождественно обращаются в нуль. Отсюда получаем, что Ф;(Дх)) = 0 для значений г = т+ 1,т+ 2,...,тл. Полагая д;(у) = Ф,+„(у) для 1 = 1, 2,..., т — т, получим, что д;[Лх)] е— н О. По условию, отображение Ф есть диффеоморфизм и, значит, якобиан отображения Ф всюду отличен от нуля. Отсюда следует, что с т р о к и матрицы Якоби отображения Ф линейно независимы.
Это позволяет заключить, что последние т — т строк этой матрицы также линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы Якоби отображения д равен т — т. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть П есть открытое множество в простралст- веК" н~: П вЂ” К есть отображениеклассаС'.
~(х) = ®(х),Ях),.'.. (х)). Предположим, что для некоторой точки а Е П можно указать натуральное число т е. тп и число 6 > 0 такие, что в каждой точке х Е П, для которой ]х — а] < 6, ранг отображении ~ равен т. Тогда существует окрестность У >. П точки а, в которой ог — т нз функций Л(х),уг(х),...,1 (х) могут быть выражены через т остальных, т. е. найдутся номера гы 1г,..., г„н г>, уг..., г „такие, что последовательность (ег>гг»... З„>А>Зг» ° ° г — ) есть перестановка последовательности (1, 2,..., и) и если х Е У, то имеют место равенства Д, (х) = Гг [ Л, (х), ~;,(х),..., ~;„(х)] = О, Д,(х) = Рг[ Д>(х), Д,(х),..., Д„(х)] = О, (3.8) 11 ,(х) = Г -,[Д,(х), 1 е(х),..., 1,(х)] = О.
3. Следствия тео емы об об атлой нкции 141 Доказательство. Действительно, согласно теореме З.б найдется окрестность точки а такая, что для всех х из этой окрестности выполняются равенства (3.8). Р а н г матрицы Якоби системы функций В;, 1 = 1, 2,..., т — т, стоящих в равенстве (3.8), согласно теореме 3.6 равен т — г. Это означает, что по крайней мере один из м и н о р о в порядка т — г этой матрицы отличен от нуля.
Пусть это будет м и н о р, образованный столбцами матрицы, номера которых есть уг, уг,..., у Пустыг, 1г,..., 1„есть номера, которые остаются в множестве $„после исключения номеров уп 1 = 1,2,...,пг — г. Положим Ьь(х) = Д,(х), Ь = 1,2,...,г. Пусть д~(х) = ~,,(х),1 = 1,2,...,т — т.
Полагаем также д(х) = (дг(х),...,д„(х)), Ь(х) = (Ьг(х),...,Ь,(х)). Тогда система уравнений (3.8) может быть представлена в следующей форме: Вг [дг(х),..., д,(х), Ьг(х),..., Ь~ „(х)] = О, Вг(дг(х),..., д„(х), Ьг(х),..., Ь „(х)] = О, (3.9) В „(дг (х),..., д,(х), Ьг (х),..., Ь,(х)] = О. Функция В; здесь получена из функции В; перестановкой аргументов при каждом г' = 1, 2,..., т — г: В;(у;„..., у;„у,„..., у1,) = В(уы уг, "., д.,). Положим д = (Ьг(а),..., Ь „(а)) Е К™ ", р = (дг(а),...,д„(а)) Е К'.
Рассмотрим систему уравнений В;(и,с) = О, г = 1,2,...,гп — г, (3.10) где и = (уы..., у„) Е К", х = (у,+м..., у,„) Е К В точке (р, д) м и н о р матрицы Якоби этой системы функций, образованный элементами последних пг — г столбцов, отличен от нуля. В силу теоремы о неявных функциях отсюда следует, что найдутся окрестность С точки р и окрестность Н точки д такие, что для всякого н е С существует, и притом только одно, х Е Н такое, что (и, х) есть р е ш е н и е системы (3.10).
Обозначим это с символом Г(д). Имеем и; = Гг(имиг,...,и„) для всех г = 1,2,...,т-г. Функции Г; при этом принадлежат тому же классу гладкости, что и функции В;. В силу непрерывности функций д и Ь найдется е > 0 такое, что если ]х — а] ( е, то Ь(х) Е Н, а д(х) Е 6. Так как В;]д(х), Ь(х)] = 0 при каждом г' = 1, 2,..., т — г, то отсюда следует, что имеют место равенства Ьг(х) = Гг(дг(х),дг(х), ".,д„(х)] = О, Ьг(х) = Гг(дг(х) дг(х),...,д„(х)] = О, Ь вЂ” (х) = à — (дг(х),дг(х),,д,(х)] = О. Эти равенства, после надлежащего изменения обозначений, дают требуемые равенства (3.8).
Следствие доказано. я 142 Гл. 10. Основы гладкого анализа 24. Многообразии и системы уравнений в пространстве К" В приложениях математического анализа часто приходится рассматривать совокупности объектов, каждый из которых определяется системой из к > 1 вещественных чисел, не связанных между собой никакими соотношениями, или, как говорят в таких случаях, зависит от к вещественных параметров. Точный смысл представления о множестве элементов, зависящих от Й параметров, выражается понятием к-мерного дифференцируемого многообразия. Определение последнего в полной общности будет дано позднее (в главе 15).
Исследование свойств абстрактных дифференцируемых многообразий есть задача курса дифференциальной геометрии и курса топологии. Здесь мы введем понятие й-мерной поверхности класса С" или, иначе, 1с-мерного многообразия класса С в пространстве К~. Оно является частным случаем общего понятия и-мерного дифференцируемого многообразия. Всякое абстрактное к-мерное дифференцируемое многообразие может быть представлено как псдмногообразие пространства К" при достаточно большом и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
