1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Формально, й-мерное многообразие класса С" или, что то же самое, й-мерная поверхность класса С в пространстве К~ есть такое множество в К", любая достаточно малая, часть которого может быть получена из области пространства К выполнением некоторого невырожденного отображения ь класса С . Термин «невырожденное отображениеэ означает, что ранг отображения в каждой точке области его определения принимает наибольшее возможное значение.
дифференцируемые подмногообразия и пространства К" можно характеризовать тем их свойством, что любая достаточно малая часть дифференцируемого многообразия почти не отличается от малого куска к-мерной плоскости — степень отличия тем меньше, чем меньше рассматриваемая часть многообразия. В этом параграфе дается определение того, чтб есть к-мерное многообразие класса С" в пространстве К", и определяется понятие касательной плоскости в точке многообразия. Доказывается, что всякое множество в пространстве К~, определенное системой уравнений, есть многообразие, если только эта система является не слишком «плохой».
А именно, предположим, что дана система уравнений Р;(я) = О, 1 = 1, 2,..., пз < и, где функции Р; определены на некотором открытом множестве пространства К" и принадлежат классу С~. Тогда если эта система имеет решение и в каждой точке множества ее решений ранг системы равен числу составляющих ее уравнений, то, как будет доказано далее, совокупность всех точек я, для которых гз(я) = О при каждом 1 = 1, 2,..., пз < п, есть (п — тп)-мерное многообразие класса С" в пространстве К .
В заключительной части этого параграфа приводятся некоторые примеры. З 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Л" 143 4.1. Понятик й-мкгного но многоонгазия нгостглнствА К" Введем некоторый класс просто устроенных областей пространства К». Множество Р в пространстве К» будем называть /с-меркой спзандарпзиой областью, если Р есть либо открытый й-мерный прямоугольник (аыЬ») х (аз,Ьз) х .. х (а»,6»), либо й-мерный прямоугольник [аыЬ,) х (аз,Ьз) х . х (а»,6»).
В первом случае множество Р мы будем называть И-мери»»и интервалом, во втором Р называется к-мерпыи полуинтервалом. Пусть Р есть й-мерный полуинтервал [ад, Ь1) х (аз Ьз) х ... х (а»,6»). В этом случае й-мерный интервал (аыЬ1) х (аз Ьз) х ° х (а»,6») будем обозначать символом Р' и называть впупзреппостпью полуинтервала Р. Всякая точка 1 б Р, очевидно, является предельной точкой множества Р'.
Точки 1 е Р, у которых первая компонента равна аы будем называть краевыми точками Р. Совокупность всех краевых точек полуинтервала Р называется его краем и обозначается символом ОР. Если й > 2, то для данного полуинтервала Р определен еще (6 — 1)- мерный интервал (аз, Ьз) х ° ° ° х (а», Ь»), который мы будем обозначать символом доР. Понятие отображения класса С" (см.
главу 7) было введено выше только для отображений, у которых область определения есть открытое множество. Сейчас возникает необходимость расширить это понятие с тем, чтобы оно имело смысл и для некоторых множеств, не являющихся открытыми. В полном виде этот вопрос будет рассмотрен в главе 15. Здесь мы ограничимся случаем отображений, определенных на Й-мерных полуинтервалах в пространстве К».
Пусть 0 есть открытое множество в пространстве К». Напомним, что отображение ~: 0 — К называется отпображением класса С", где 144 Гл. 10. Основы гладкого анализа т > 0 — целое число, если функция ~ имеет в 6 все частные производные порядка не выше т, причем каждая из этих производных непрерывна иа множестве 6 (см. з 3 главы 7).
Пусть Е есть произвольное множество в К». Будем говорить, что отображение ~: Е -+ К" принадлежит клас- суС', если существуют открытое множество У Э Е и функция ~": У— И" класса С" такая, что ~" (х) = г"»х) для всех х Е Е. Пусть 6 есть открытое множество в К». Тогда всякая функция ~: 6 — К", принадлежащая классу С", в смысле прежнего определения удовлетворяет всем условиям нового определения класса С'. Действительно, в этом случае мы, очевидно, можем взять У = 6 и положить 1* = — У. Справедливо и обратное, а именно: если множество 6 открытое и функция 7 принадлежит классу С" в смысле данного здесь нового определения, то ~ будет удовлетворять всем условиям прежнего определения функций класса С".
Действительно, пусть 6 есть открытое множество и функция ~ удовлетворяет условиям нового определения, т. е. г является ограничением на множестве 6 функции, которая определена на некотором открытом множестве У з 6 и имеет в У все частные производные порядка не выше т, причем эти производные непрерывны. Но тогда, очевидно, и функция 7 имеет на множестве 6 все частные производные порядка не выше т.
Эти производные совпадают с соответствующими производными функции 7' на множестве 6 и, следовательно, н е п р ер ы в н ы, что и требовалось доказать. Таким образом, в случае, если множество А С И» открытое, данное здесь определение того, что значит, что функция г": А -~ К" принадлежит классу С', равносильно определению, данному в КМА, часть |, книга 2, глава 7, з 3.
Пусть Р есть й-мерный полуинтервал в пространстве К» и ~: Р -+ -~ К есть функция класса С", Р = ~аыЬ1) х (аз,Ьз) х ° ° х (а»,Ь»). Согласно определению функции класса С" на произвольном подмножестве К» существуют открытое множество У:з Р и функция У': У вЂ” К класса С» такая, что У'(х) = Дх) для всех х Е Р. Для всякого п-мерного мультииндекса а такого, что ~о~ < Ь, на множестве У определена частная производная В ~". Для произвольного х б Р полагаем Р Ях) = В ~'(х).
Данное определение корректно в том смысле, что значение .0 Дх) не зависит от выбора продолжения ~' функции 7. Действительно, пусть З 4. Многообразия н системы уравнений в пространстве й" 145 0 Д(1о) = Ьп Р Д(4) = 1пп Р ДЯ = Р Д(~о). Это доказывает, что величина 11 ~* не зависит от того, каким образом строится продолжение 1' функции ~ на открытое множество, содержашее прямоугольник Р.
Корректность определения тем самым установлена. Пусть Р есть стандартная х-мерная область в пространстве К» и 1: А -~ К" — отображение класса С", где х > 1. Тогда для всякой точки 1 Е Р определены векторы — (1), г = 1,2,...,х. д~ Это позволяет для всякого 8 Е Р определить линейное отображение которое мы будем называть дифференциалом отображения ~ в точке ~. В этом случае мы будем применять те же обозначения для дифференциала, что и ранее.
Пусть х < п. Будем говорить, что отображение ~: Р -~ К" класса С" является иевырохсдеииьия е шочие а Е Р, если ранг отображед,~ ния ~ в этой точке равен Й, т. е. векторы — (а), ~ = 1, 2,..., Й, линейно а1 независимы. Если ~ есть отображение класса С' стандартной й-мерной области Р, то для всякой точки а Е А справедливо соотношение Д») = ~(а) + дфа; 1 — о) + а(1)(1 — а1 (4.1) Д: У1 -+ К и Д: Уз — + К™ — две функции класса С», определенные на открытых множествах У1 Э Р и Уз,л Р и такие, что Д(х) = = Д(х) = ~(х) для любого х Е Р. Так как Р' С Р и Р С Уы Р С Уз, то Р' С У1 и одновременно Р' С Уз. Так как Р' С Р есть открытое множество и функции Д и Д на множестве Р тождественно совпадают, то они совпадают также и на множестве Р', и, следовательно, для любого а такого, что ~а~ < lс, функции РоД и В Д на множестве Р' совпадают.
Функции Р Д и Р Д непрерывны. Каждая точка 1о Е Р является предельной точкой множества Р'. Функции Р Д и Р Д тождественно совпадают на множестве Р'. Для всякого 4о Е Р в силу непрерывности функций Р~Я и О Д имеют место равенства 146 Гл. 10. Основы гладкого анализа ('(1) = У'(а) + ф'*(а;1 — а) + ег(г, а)!й — а~, (4.2) где а(а, а) = О и а(Х, а) — О при 1 — а. Для всех а б Р, 8 б Р имеем ~*(а) = Яа), а производные — (а) д,1* д1; совпадают с соответствующими производными функции 1, и, значит, если а Е Р, то ф'(а; и) = ф(а; а). Множество Р в пространстве К" будем называть элементарным 'к-мерным многообразием класса или, иначе, И-ячейкой класса С, если существуют стандартная /с-мерная область Р С К~ и отображение ~р: Р— К" такие, что выполнены следующие условия. ЕМ1. Отображение ~р взаимно однозначно и р(Р) = Г.
ЕМ2. Отображение у принадлежит классу С' и в каждой точке 1 б Р является невырожденным. ЕМЗ. Отображение у ~: à — ~ Р, обратное к ~р, непрерывно. Всякое отображение р, удовлетворяющее условиям ЕМ1, ЕМ2 и ЕМЗ, называется допустимой параметризацией данного элементарного многообразия Р. Пусть Š— произвольное множество в пространстве К" и р— произвольная точка Е. Окрестностью точки р в множестве .Е будем называть всякое множество С С Е, открытое относительно Е и такое, что р Е С. Напомним (см.
глава 6, и. 5.4), что множество 6 С Е называется открытым относительно Е, если 0 есть открытое множество метрического пространства (Е, р), где метрика р есть ограничение на Е х Е метрики пространства К", т. е. р(х,у) = ~з — у~ для любых з,у б Е. Как было показано в п. 5.4 главы 6, множество 0 является открытым относительно Е в том и только в том случае, если оно представимо в виде 0 = У П Е, где У вЂ” открытое множество в К". Множество М в пространстве К" будем называть к-мерным многообразием класса С", если всякая точка р б М имеет в множестве М окрестность Г, которая является элементарным Й-мерным многообразием класса С".
где а(а) = О и а(е) — О при 1 — ~ а. Действительно, условие г" е С" в данном случае, по определению, означает, что существуют открытое множество У Э Р и функция ~" класса С" такие, что У*(г) = ((~) для всех Г Е Р. В силу свойств функций класса С", определенных на открытых множествах, для всякой точки а б У имеем з 4. Многообразия н системы уравнений в пространстве В" 147 Всякая допустимая параметризация у: Р -~ К" элементарного к-мерного многообразия Г называется допустимой локальной параметриэацией многообразия М класса С". С елаем несколько з а м е ч а н и й в связи с анным оп е еле- пнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
