1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда Г = Уг П М, где Уг — открытое множество в К". Так как Г есть многообразие класса С', то найдется окрестность 6 точки х в Г, которая является х-ячейкой класса С". Имеем с' = о'г П Л = % П ог) П М. Отсюда видно, что с' есть окрестность точки х в М. Таким образом, всякая точка х Е М имеет в М окрестность, являющуюся х-ячейкой класса С". Следствие доказано. я 4.5. Пгимкгы по многоовгАзий простглнствл К" Пусть У есть открытое множество пространства К", 1: У -+ К— функция класса С".
Предположим, что множество Г тех х Е У, для которых Дх) = О, непусто и в каждой точке х Е Г по крайней мере одна д)' из производных — (х), 1 = 1, 2,..., и, отлична от нуля. Тогда множех; ство Г является (и — 1)-мерным многообразием класса С" и каждое из множеств У~ = (х Е У ( Дх) > 0), У = (х Е У ! Дх) < 0) представляет собой а-мерное многообразие с краем. При этом Г служит дУ краем как для У+, так и для У . Действительно, условие — (х) ~ 0 дх; по крайней мере для одного 1 = 1, 2,..., п означает, что отображение 1 невырождено в точке х. Сформулированное утверждение поэтому представляет очевидный частный случай теорем 4.1 и 4.2.
Полагая У = К" и 1(х) = ~х — а~~ — г', где а Е К", т > О, мы получим, в частности, что и-мерный шар В(а,т) представляет собой п-мерное многообразие с краем и сфера Я(а, г) есть его край. Внешняя — по отношению к шару В(а, т) — область К" 1 В(а, т) также представляет собой многообразие, краем которого является та же сфера Я(а,г). З 4. Многообразия н системы уравнений в пространстве Я" 103 Укажем некото ые о с т а т о ч н ы е словия п и выполне- ниц кото ых нове хность вто ого по ка является п — 1 -ме ным по многооб азием И".
Напомним, что множество Г в пространстве К" называется поеерхностью второго порядка, если существуют симметрическая матрица А порядка п, вектор Ь Е К" и число с Е И такие, что Г есть множество всех точек х Е К", удовлетворяющих уравнению (Ах,х)+ 2(Ь,х) +с = О. (4.12) Найдем дифференциал функции ,1: х ~ (Ах,х)+2(Ь,х)+с.
Имеем Дх + ~Ь) = (Ах, х) + 2(6, х) + с + 2г(Ах, Ь) + 2г(6, Ь) + 1г(АЬ, Ь). Дифференцируя это равенство по 1 и полагая 1 = О, получим аг"(х; Ь) = 2(Ах + Ь, Ь). Ах+ Ь= О, (Ах,х) + 2(Ь,х) + с = 0 (4.13) не имеет решений. Система уравнений (4.13) равносильна следующей линейной системе уравнений: Ах+6=0, (Ь,х)+с=а. (4.14) Действительно, пусть х есть решение системы уравнений (4.13). В силу равенства (Ах, х) + 2(6, х) + с = (Ах + Ь, х) + (6, х) + с (4.15) Пусть множество Г в К" задается уравнением (4.12). Теорема 4.1 позволяет заключить, что если Ах + 6 ~ 0 в каждой точке х Е Г, то множество Г является (п — 1)-мерным многообразием класса С" при любом г. Приведем условие Ах + 6 ~ 0 при х Е Г к более удобному для проверки виду.
Это условие означает, что система уравнений Гл. 10. Основы гладкого анализа 1б4 получаем, что в этом случае также и (Ь, х) + с = О, так что х является решением системы (4.14). Обратно, если х удовлетворяет системе (4.14), то, так как Ах+ Ь = = О и (Ь, х) + с = О, мы получаем, что для этого х выполняется также и равенство (Ах,х) + 2(Ь,х) + с = О, т. е. х является решением системы (4.13).
Из доказанного следует, что если одна из систем уравнений (4.13) и (4.14) не имеет решения, то и другая система не имеет решения. Таким образом, мы получаем, что если система уравнений Ах+Ь=О, (Ь,х)+с=О несовместна, то поверхность второго порядка Г есть (и — 1)-мерное многообразие класса С" при любом т > 1. Из теоремы 4.1 следует, что уравнение касательной плоскости поверхности второго порядка, заданной уравнением (4.12), имеет вид (Ахо+ Ь,х — хо) = О. Так как хо Е Р, то (Ато, хо) + 2(Ь, хо) + с = О.
Это позволяет п р е о б р а з о в а т ь уравнение касательной плоскости следующим образом. Имеем (Ахо, хо) + (Ь, хо) = — (Ь, хо) — с и, далее, (Ахо+ Ь,х — хо) = (Ахо+ Ь,х) — (Ахо,хо) — (Ь,хо). Отсюда (Ахо+ Ь,х — хо) = (Ахо,х)+ (Ь,х)+ (Ь,хо)+ с, и окончательно получаем уравнение касательной плоскости в следующей форме: (Ахо,х)+ (Ь,х)+ (Ь,хо)+ с = О.
З 4. Многообразия н системы уравнений в пространстве Л" 165 Отметим частный сл чай ког а х = х — а — т . 2 2 Множество г' = (х б К" ~ Дх) = О) есть сфера радиуса т с центром а, множество П = (х Е К" ! т'(х) < 0) — ограниченный этой сферой замкнутый шар, о'+ = (х б К" ~ Дх) > О) — внешняя область сферы. Имеем (х — а)з — тз = (х, х) — 2(а, х) + аз — тз. В данном случае А = Х, 6 = — а. Система уравнений (4.14) здесь принимает вид х — а=О, ( — а,х)+а — т =О.
(4.16) Из первого уравнения имеем х = а. Подставляя это значение х во второе уравнение, получим равенство — тз =О. Так как, однако, по условию, т > О, то система (4.14) ие имеет решеииа и, значит, сфера Я(а, т) С К" есть (и — 1)-мерное многообразие класса С" при всяком т > 1, а шар В(а, т) есть и-мерное многообразие класса С' при всяком т > 1.
При этом Я(а, т) = дВ(а, т). Отметим, что полученное здесь условие — для того чтобы поверхность второго порядка была (и — 1)-мерным многообразием — является достаточным,но не необходимым, вчеммыможем убедиться на следующем примере. Пример. Рассмотрим уравнение хзз — — 0 (хз — первая координата точки х). Рассмотрим множество Я всех х Е К", удовлетворяющих этому уравнению. Если х б Я, то х1 — — 0 и, значит, Я есть (и — 1)- мерная гиперплоскость. Следовательно, множество Я является (и — 1)- мерным многообразием.
В данном случае Ах+ 6 = 0 для всех х Е Я, так что полученное выше до с т а т о ч н о е условиедля того, чтобы множество Я было многообразием, н е в ы п о л н я е т с я. (Здесь 6 = 0 и А есть м а т р и ц а, у которой в левом верхнем углу стоит число 1, а остальные элементы равны О.) Установление необходимых и достаточных условий для того, чтобы поверхность второго порядка была многообразием в К", требует дополнительного исследования, которое мы не приводим. Гл. 10.
Основы гладкого анализа 1бб Множество всех квадратных матриц п-го порядка естественным образом отождествляется с пространством К", если матрицу Х = (х; );, 1д, „,„отождествить с вектором Х = (х114 х12,... 4 х1444 х214 х22,... 4 х2444 ° ° ° 4 х4414 х4424 ° .. 4 х4444). Выполнение операций над матрицами, естественно сводится к нег которым операциям над векторами в К" . Покажем, что множество всех ортогональных матриц порядка п представляет собой многообразие класса С" при любом т > 1 размерп(п — 1) 2 ности 2 в пространстве К" .
Матрица Х = (х; ), — 1,2,„„называется ортиогоиальиой, если для нее вьзполняется равенство (4.17) ХХ" — 1 =О, х„х4я — б Ь = О, Е ° =1 (4.18) где бзь = 1 при 1' = 42, б 1 = О при 1' ф и, б ь есть известный нам символ Кроиекера (см. п. 1.5.2 главы 9). Те из уравнений (4.18), которые получаются перестановкой индексов 2 и 42, с о в и а д а ю т, так что система (4.17) содержит в действип1п+ 1) тельности только уравнений. Найдем дифференциал отображения 1: К" 4 ХХ" — 1 б К" .
Возьмем произвольно матрицу Н = (Н; );, — 1,2 „, „. Ее мы также интерпретируем как вектор пространства К" . Имеем (Х + 2НИХ + 2Н)' — 1 = ХХ'+ 2(НХ" + ХН') + 12НН' — 1. Дифференцируя данное соотношение по 2 и полагая затем 2 = О, получим 7У(Х;Н) = — „",ПХ+2Н),, = НХ" +ХН*. Покажем что'линейное отоб ажение Н 41 Х Н = НХ*+ХН' ля всякой о тогональной мат и ы Х имеется анг авный числ 4 4ии222 [4.441, *. п(п+ 1) где Х" есть транспонированная матрица Х, 1 — единичная матрица порядка п. Матричное уравнение (4.17) равносильно следующей системе уравнений: 4.
Многооб азия и системы авненнй в и ост анстве В" 167 Для этого найдем размерность множества тех Н Е К", для которых дХ(Х, Н) = О. Пусть Н таково, что дХ(Х, Н) = НХ'+ХН" = О. Положим НХ* = = У. Тогда ХН* = У" и мы получаем равенство У+У*=О. Матрица У, для которой выполняется последнее равенство, называется кососимметрической. Имеем Х = — УН. Обратно, если дана косвсимметрическая матрица У и Х = — УН, то Х" = -Н'У" = Н"У, ХХХ*+ ХЫ' = НН*У вЂ” УНН* = У вЂ” У = О, т.
е. Х является р е ш е н и е м уравнения (4.19) НХ" + ХН' = О. Х:Х~ ХХ' — Х в каждой точке Х множества всех ортогональных матриц и-го порядка. Тем самым нами установлено, что множество всех ортогональных матриц представляет собой дифференцируемое многообразие класса С" п(п — 1) при любом г, причем его размерность равна Множество Ж всех кососимметрических матриц порядка п есть кь п(п — 1) надпространство К" .
При этом размерность К равна 2 Отображение У ~ УН, как следует нз доказанного, устанавливает биективное соотвеп1ствие между Ж и множеством решений системы (4.19). Это отображение линейно, и, значит, множество решен(п — 1) ний системы (4.19) есть надпространство размерности про- 2 странства К" . Складывая число уравнений (4.19) и размерность множества решений системы уравнений (4.19), получим пз — размерность пространства квадратных матриц порядка п.
Этим доказана невырожденность отображения Гл. 10. Основы гладкого анализа 168 Й 5.,у словные экстремумы Здесь рассматривается задача — найти наименьшее и наибольшее значения функции на подмногообрвэии пространства К", заданном как множество решений некоторой системы уравнений. Иначе говоря, требуется найти экстремумы функции п переменных в предположении, что на эти переменные наложено дополнительное ограничение, а именно, они удовлетворяют некоторой системе уравнений. Устанавливаются необходимые условия максимума и минимума, основанные на использовании так называемого принципа множителей Лагранжа, и затем доказываются соответствующие достаточные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
