1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В силу известных нз алгебры свойств линейных уравнений отсюда вытекает, что линейная функция >1Г(хо) является линейной комбинацией функций фз (хо) > >(Ь(хо)>..., Ф (хо). С учетом сказанного выше и в силу замечания 2 теорема тем самым доказана. ° Вектор г Е Тм(хо) выбран произвольно, так что дифференциал функции Г в точке хо тождественно обращается в нуль на векторном пространстве Тм(хо). Согласно теореме 4.2 пространство Тм(хо) есть множество всех векторов з Е К" таких, что з 5.
Условные экстремумы 173 Из тео емы 5.1 вытекает сл ющее п а в и л о нахож ения точек экст ем ма нк ии Г намножестве М С (7. Такие точки явля- ются е ш е н и е м системы авнений Ях) = О, у = 1,2,...,т, дГ д7~ д7' . (5.7) — (х) — Л1 — (х) — . — Л вЂ” ™(х) = О, 1= 1,2,...,п. дх; дх; дх; Система (5.7) содержит т+и уравнений. Число неизвестных также равно и + т (и — число координат точки х, подлежащей отысканию, т — число коэффициентов Л ).
Это правило называют методом множителей Лагранжа. Рез льта тео мы 5.1 может быть п и ана иная о ма. На множестве П х К точек (х, Л), где х Е (7, Л Е К", определим функцию Ь, полагая для х Е У и Л = (Лд, Лз,..., Л ) Цх, Л) = Г(х) — ЛзЯх) — ЛзЬ(х) —... — Л„,Х„,(х). Функция Л называется лаграижиаиом для изучаемой здесь запачи об славном экст м ме. С ее помощью система уравнений может быть записана в следующей форме: д7 — (х, Л) = О, з' = 1, 2,..., и, з' = 1, 2,..., т. — (х,Л) = О, дЬ дх; 5.2. РАСПОЗНАВАНИЕ ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 5.2.1. Зададим произвольно открытое множество 17 в пространстве К". Пусть М С с7 есть х-мерное многообразие класса С, определяемое системой уравнений Ях) = О, 1= 1,2,..., т = и — Й, Пусть (х, Л) есть р е ш е н и е системы уравнений (5.7). Теорема 5.1 не дает способа выяснить, будет ли точка х точкой минимума или точкой максимума функции Г на множестве М.
Более того, в этом случае может оказаться, что х вообще не является точкой экстремума функции Г на М. Поэтому для выяснения того, является ли х точкой экстремума функции Г на М, и определения, какого типа эта точка экстремума, необходимо дополнительное исследование. Палее будут приведены результаты, которые в определенных случаях позволяют дать ответ на эти вопросы. Ответы существенно ису ~~ у д фу и Ц*, Ц вЂ” р рывщ.аб славном экст м ме рассмотренной в теореме 5.1. Гп. 10. Основы гладкого анализа 174 где 11 — функции класса С~,причем в каждой точке х е М ранг системы функций 11, 11,..., г равен т. Дальнейшие рассуждения этого раздела относятся именно к данному многообразию М.
Кроме того, далее будем предполагать, что задана некоторая функция Г: У -+ К класса Сз. Положим Ь = à — ~> Л111. 1=1 (5.9) Пусть у: Р -+ М есть параметризация многообразия М такая, что хо = у(1о), и пусть и(~) = Г[~р(1)]. Тогда выполняются равенства Ни(~о) = О, 11 и(1о) = 11 Х[хо~1кр(зо)]. (5.10) (5.П) Локазательство.
Имеем М~) = ~ —,[Ю(~)] йр1(~). дГ 1=1 (5.12) При каждом 1 = 1,2,...,т, где т = и — /с, ~1[фй)] = О, откуда получаем О=,~,д ',ЖУРЯ " дЛ (5.13) 1=1 Из равенств (5.12) и (5.13), очевидно, следует, что МО = Е [з— ЬО)3 — 1.'~~д— Ь Оз] Ф Ю [дГ " д11 1=1 1-1 Полагая в последнем равенстве 1 = 1о в силу (5.8), получим, что диффе- ренциал функции и в точке 1о тождественно равен нулю, и тем самым равенство (5.10) доказано. ° Лемма 5.2, Предположим, что дпя точки хо Е М существуют числа Л1, Лз,..., Л такие, что для любого г' = 1, 2,..., и выполняется равенство — (хо) = ~~1 Л1 — (хо). дГ д,11 дх;, дх; (5.8) 1=1 з 5.
Условные экстремумы 175 Дифференцируя равенства (5.12) и (5.13) повторно, получим дх дх ' ' ~ дх дгГ дГ г=г 1=1 ., дх, О = ~~,') ' (Р(~)) Ф (~)Ф,(~) + ~~ — (Р(1))й'Р(г) дгЛ " дЛ В=1 1=1 Отсюда / 9гГ '" ог йги(~) = ~~~ ~ ~ — ~ Л~ 1 сйр;ЯЬРЯ+ ~=1 1=1 ~ 1=1 + т; ( (г)) т, Л, 1( (1),~г (дГ дД ~=1 !юг Положим здесь 8 = 1о. В силу (5.8) вторая сумма в правой части последнего равенства обращается в нуль и мы получаем /,9гГ лгу Нги(го) = ~~ ~ь ~ (хо) — ~) Л! (хо) ЙР1(го)й~Р„М = г=г 1=г пгг — (хо) ~4Рйо)4РЯо). В=1 г'=г х' хз Тем самым доказано и равенство (5.11) леммы 5.2. ° 5.2.2.
Теорема 5.1 позволяет только указать точки многообразия, которые могут быть точками экстремума функции на многообразии. Однако она не дает способа для выяснения, какие из этих точек действительно будут точками экстремума, а также выяснить, какие точки являются точками максимума, а какие — точками минимума функции. Докажем условие, необходимое для того, чтобы точка многообразия была пгочкой минимума функции на этом многообразии. Невыполнение этого условия означает, что данная точка не является точкой минимума функции.
Аналогичным образом формулируется условие, необходимое для того, чтобы точка хо многообразия, заданного системой уравнений, была тпочкой максимума функции. ° Теорема $.2. Пусть точка хо Е М является точкой экстремума функции Г, числа Лы Лг,..., Л таковы, что выполняются равенства (5.8), и функдня Ь задается формулой (5.9). Тогда если хо — точка минимума Г на М, то второй дифференциал функции Ь неотрнцагелен на пространстве Т„(М), т. е.
огЦхо, Х) > 0 для всякого вектора Х Е Т„(М), а если хо — точка максимума Г, то квадратичная форма пгй(хо) на Т,(М) неположнтельна. 176 Гл. 10. Основы гладкого анализа Доказательство. Пусть >р: Р -> М есть параметризация многообразия М такая, что хо = >р(1о), и = Г о >и. Тогда согласно лемме 5.1 если хо — точка минимума Г, то 1о есть точка минимума и, и точно так же, если хо — точка максимума Г, то 1о есть точка максимума и.
Возьмем произвольно касательный вектор Х многообразия М в точке хо. Тогда найдется вектор ~ Е К" такой, что Х = >1у(~о, с). В силу равенства (5.11) имеем йзи1~о, с) = >1зЦхо', >1у(1о, 'с)) = г14Цхо> Х). Как было доказано ранее (теорема 6.1 главы 7), квадратичная форма >1з и(го) неотРицательна, если го — точка минимУма и(х), неположительна, если ~о есть точка максимума и. Это позволяет заключить, что И~Цхо,Х) > О в случае, когда хо — точка минимума Г на М, и РЦхо,Х) < О, если хо есть точка максимума функции Г на М. Так как вектор Х Е Тм(хо) взят произвольно, то тем самым теорема доказана.
° Теорема 5.2 дает некоторые н е о б х о и м ы е п изнаки точек миним ма и максим ма нк ии Г на многооб азии М Из нее следует, например, что если квадратичная форма >1зЦхо) для некоторой пары касательных векторов многообразия М принимает значения противоположного знака, то хо заведомо не может быть точкой экстремума функции Г на многообразии М. 5.2.3.
Следуюпгая теорема показывает, что некоторое <ужесточение», по сравнению с предыдущей теоремой, требований, предъявляемых к квадратичной форме И Цхо), дает достаточное условие экстремума функции Г на многообразии М. ° Теорема 5.3. Предположим, что точка хо Е М такова, что для функция Г выполняются равенства (5.8). Пусть функция А определена равенством (5.9). Тогда если второй дифференциал функции Ь в точке хо есть положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма на Тм(хо), то хо есть точка минимума (соответственно точка максимума) функции Г на многообразии М.
Доказательство. Пусть у: Р -> М есть допустимая параметризация М такая, что хо Е >р(Р). Пусть хо — — >р(>о). Положим и = = Г о >р. В силу леммы 5.2 тогда >1и(го) = О. Предположим, что >РЦхо) есть квадратичная форма, положительно определенная на пространстве Тм(хо). Возьмем произвольно вектор С Е К~.
Имеем И~и(~о, с) = >1зЦхо> Х)> где Х = >1>р(1о,с), Х Е Тм(хо). Лопустим, что ~ ~ О. Тогда х ~ О и, значит, ~РЦхо, Х) > О, откуда получаем, что >1 и(го,с) > О. Тем самым доказано, что >Ри(1о) есть положительно определенная квадратичная форма в К . Отсюда вытекает, что ~о есть точка мини'ь мума функции и и, значит, как следует из леммы 5.1, хо есть точка ,минимума функции Г на многообразии М. Аналогичным образом устанавливается справедливость утверждения теоремы относительно точек максимума. Теорема доказана. ° 'з 5.
Условные экстремумы 5.3. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗА АЧЕ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 177 СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИ Ы Пусть Х,: К" -~ К" — линейное отображение. Вектор х б К" называется собственным вектором отображения Х, если х ~ О и существует число Л б С такое, что Х,(х) = Лх. В этом случае число Л называют собственным значением (или характеристическим числом) отображения Х,, соответствующим собственному вектору х. Отображение Х: К" -~ К" называется симметрическим, если для любых векторов х, у Е К" выполняется равенство Пусть А = (а; );,,.,,„— матрица линейного отображения Х.
Тогда для того, чтобы отображение Х, было симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была симметрической, т. е. чтобы для любых е', з = 1,2,..., п выполнялось равенство анч = а;. Теорема, формулируемая далее, обычно доказывается в курсе алгебры. Она представляет один из основных результатов того раздела этого курса, который называется линейной алгеброй. Приводимое далее доказательство основано на использовании результата теоремы 5.1, а также того фундаментального факта, что всякая непрерывная функция на компактном множестве принимает на нем свое наименьшее значение (см.
теорему 1.24 главы 9). Идея, лежащая в основе этого доказательства, часто именуется вариационным принципом Р. Куранта. Она применима также и в других, существенно более сложных ситуациях, например, когда речь идет об отображениях бесконечномерных векторных пространств (в связи с задачей о собственных значениях функциональных операторов математической физики, которые здесь не рассматриваются). ° Теорема 5.4.
Пусть Х: К" — К" есть симметрическое линейное отображение. Тогда существует система векторов и1,из,...,и„, каждый из которых является собственным вектором отображения Х,. При этом )из! = )из~ = . = ~и„( = 1 и векторы иы из,..., и„взаимно ортогональны, т. е. (и;, и ) = О при г ~ у. Доказательство. Пусть Х: К" — К" есть симметрическое линейное отображение. Сначала мы построим некоторую ортогональную систему единичных векторов иы из,..., и„и чисел Л1 < Лз « Л„, а затем докажем, что эти векторы являются собственными векторами Х, а числа Гл. 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
