1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть г есть произвольный касательный вектор множества М в точке р. Согласно определению это означает, что существует путь х: [0,6]- М, проходящий в множестве М, такой, что х(0) = р и я = х'(0). Не умаляя общности, можно считать, что для всех 1 Е [О,б] точка х(1) принадлежит множеству Г. Положим Я1) = ~р ~[х(1)], 1 Е [0,6]. Так как функция у ~ непрерывна, то непрерывна также и функция Я1).
з 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Л" 153 Докажем, что функция с дифференцируема при 1 = О. по условию, отображение р принадлежит классу С" и, значит, существуют открытое множество У э Р и функция ~р": У -~ К" класса С' такая, что у*(1) = р(1) для всех 1 Е Р. В каждой точке 1 Е Р выполняется равенство — (1) = — (1). д~р* д~р д1; д1; Ранг отображения р в каждой точке 1 Е Р равен и.
Отсюда следует, что ранг отображения у" в каждой точке 1 Е Р также равен Й. В частности, ранг отображения р* в точке а равен Й. Следствие теоремы 3.2 этой главы позволяет заключить, что найдутся открытое множество 1" в пространстве К", содержащее точку р =. ~р(а) = у'(а), число е > 0 и отображение ф: С вЂ” ~ К" класса С" такие, что если 1 Е У, причем ]1 — а[ < е, то у" (1) б 'г' и Ф[у*(1)] = 1. Пусть 61 > 0 таково, что 6з < 6, и для всякого 1 Е [О, 61] 61) — а[ = 61) — ЯО) [ < е. Имеем е(1) = ср[Я1)] = ~р" [С(1)].
Значит, если 1 Е [0,6з], то Ф[х(1)] = Ф(к*[61)]) = 61) Функция ф принадлежит классу С", а функция т дифференцируема при 1 = О. Отсюда вытекает, что также и функция С дифференцируема при1 = О. Пусть 1 = Г(0). Тогда х'(0) = Ну,(1) и, стало быть, вектор я = = т'(0) допускает представление вида (4.6).
Предположим, что о Е дР. Пусть Р = [аз, Б,) х (оз,бз) х ° ° х (аь, Ьь). Тогда первая координата точки а равна аз. Имеем с(1) Е Р для всех 1 Е [0,6з) и, значит, с1(0) = = а1 и ~з(1) > а1 для всех 1 Е [0,61]. Функция 5(1), таким образом, принимает свое наименьшее значение в [0,61] при 1 = О, и, значит, 11 — — 1,'(0) > О.
Следовательно, мы получаем, что в данном случае коэффициент 1з в равенстве (4.6) неотрицателен. Таким образом, нами установлено, что всякий касательный вектор в точке р = у(д) многообразия М допускает представление вида, указанного в формулировке теоремы. Теорема доказана. ° Следствие 1. Если точка р й-мерного многообразия М в пространстве К" является его краевой точкой, то для любой допустимой параметризации р: Р— К" окрестности точки р в многообразии М множество Р есть полуннтервал и р = у(а), где а есть краевая точка множества Р.
Гл. 10. Основы гладкого анализа 154 3 а м е т и м, прежде всего, что определение множества касательных векторов в точке многообразия не требует рассмотрения параметризаций многообразия. Доказательство следствия. Пусть р е М и у: Р - М есть допустимая параметризация окрестности точки р в многообразии М. Предположим, что р = у(а). Множество всех точек р Е М, для которых эту параметризацию можно выбрать так, что Р есть полуинтервал и а Е дР согласно определению есть край дМ многообразия М. Обозначим через М' множество всех точек р Е М, для которых параметризацию у можно выбрать так, что а = у '(р) есть внутренняя точка Р. Наша задача состоит, собственно говоря, в том, чтобы показать, что если точка р Е дМ, то она не может принадлежать множеству М'.
Докажем это, используя тот факт, что, как мы покажем сейчас, в случае, когда а есть внутренняя точка стандартной й-мерной области Р, множество Тм(р) устроено иначе, чем в том случае, когда а является краевой точкой Р. Согласно теореме 4.1 вектор г Е К" будет касательным в точке р в том и только в том случае, если он представим в виде г=~ Ла;, (4.7) дф где а, = — (а), причем если о Е дР, то должно выполняться неравенство Лз)О. где 1; = — Л; при каждом 1 =.1, 2,..., к, что и доказывает данное утверждение. Допустим, что Р есть полуинтервал и р = у(а), где а Е дР.
Тогда найдется вектор з Е Тм(р) такой, что -г ~ Тм(р). Действительно, Отображение у является невырожденным. Это означает, что векторы а;, г = 1,2,...,к, линейно независимы, и потому представление вектора г Е Тм(р) в виде (4.7) е д и н с т в е н н о. Предположим, что а есть внутренняя точка Р. Тогда если з есть касательный вектор многообразия М в точке р, то, очевидно, и вектор — я является таковым Действительно, имеем З 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве В" 155 дф пусть з = —. Вектор х допускает представление вида (4.6) с коэфдг,' фициентами Л1 — — 1 и Лз — — ..
— — Ль = О. В силу теоремы 4.1 х является касательным вектором многообразия М в данной точке р. Вектор — г допускает представление вида (4.7) с коэффициентами Л1 — — — 1 иЛ = =Ль=о. Условие Л1 > О для вектора — х н е в ы п о л н е н о, и, значит, в данном случае вектор — х н е я в л я е т с я касательным для многообразия М в точке р. Мы получаем, таким образом, что если г ч М', то для всякого вектора х б Тм(р) также и вектор — х ч Тм(р). Если же р есть краевая точка многообразия М, то множество Тм(р) н е о б л а д а е т таким свойством.
Отсюда вытекает, что точка р ч М н е м о ж е т принадлежать одновременно как дМ, так н М'. Следствие 1 доказано. х = ~р(а) + ~ 1; — (а), скр д1; (4.8) где 1ы 1з,..., 4 — произвольные вещественные числа. Лри этом в случае, если р есть краевая точка М, то должно выполняться условие 11 > О. Доказательство. Действительно, согласно определению контингенция Сп$8м(р) есть множество всех точек х Е К", представимых в виде х = р + х, где х есть касательный вектор многообразия М в точке р, х Е Сп$3м(р). В силу этого утверждение следствия непосредственно вытекает из представления множества Спмбм(р), указанного в теореме. 4.3. СТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С УСЛОВИЕМ НЕВЫРОЖ ЕННОСТИ Пусть о' есть открытое множество в К".
Отображение ~: х Е с7 ~-~ "(Ях),Ь(х),...,У (х)) е К называется невырожденным в п1очке х б П, если его ранг (см. п. 3.2 этой главы) в точке х равен гп1п(т, п). 'Р Следствие 2. Лусть р есть произвольная точка й-мерпого многообразия класса С" в пространстве К", р: Р— К" — допустимая параметрнзация некоторой окрестности Г точки р в М и р = у(а), где а б Р. Тогда колтннгепцня множества М в точке р есть совокупность всех точек х ч К", которые допускают представление 156 Гл. 10. Основы гладкого анализа Далее мы докажем, что множество решений системы уравнений Ях) = О, г = 1,2,..., т = п — lс, при условии невырожденности системы в каждой точке х, принадлежащей этому множеству, представляет собой Й-мерное подмногообразие пространства К".
° Теорема 4.2. Пусть У есть открытое множество в К" и У: У— К, где 1 < пг < п, есть отображение класса С". Пусть М = ~ '(0) = (х Е У [ У(х) = 0). Предположим, что отображение ~ является певырождеппым в каждой точке х Е М, и пусть й = п — т. Тогда множество М есть и-мерное многообразие класса С', где х = п — т. В каждой точке хо Е М касательная плоскость многообразия М есть множество всех точек х Е К" таких, что ф(хо,х — хо) ='О. 3 а м е ч а н и е. Пусть ~ы~г,..., 1 есть компоненты вектор- функции 1. Тогда М есть совокупность всех точек х = (хыхг,...,х„) Е У, которые удовлетворяют системе уравнений Яхыхг,...,х„) = О, Яхыхг,...,х„) = О, (4.9) (хг,хг,...,х„) = 0 В связи с этим говорят, что множество М, указанное в формулировке теоремы, определяется системой уравнений (4.9).
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Возьмем произвольно точку р множества М. Согласно первой теореме о вьтрямлении (теорема 3.1) найдутся н-мерный куб И' и диффеоморфизм Ф: И~ — К" класса С" такие, что р Е И = Ф(И~), и для всякой точки у Е И выполняется равенство Пусть я р (Р)1 Ч (ры " ~рт) Чы .|чь) Очевидно, р1 — — рг — — .. —— р = О, поскольку 0 — 1(р) — У[Ф(Ч)] = (р рг ",р ). З 4. Многообразия и системы уравнений в пространстве Я" 157 Пусть И' = (иы ю~) х ° ° ° х (ц„ь, о„ь) х (аз, 6з) х ° ° ° х (аь, Ьь).
Имеем кч < р; = 0 < тч при каждом г' = 1,2,...,п — lс. Положим Я = Р П М. Точка р принадлежит Я, и, значит, Я есть окрестность р относительно М. Пусть 1 = (аг,6з) х х (аь,6ь) есть 6-мерный интервал, у— отображение я — отображение (имия,...,и„ь,гз,тз,...,ть) е Иг (1~,тз,...,Гь) б 1. Для г = (ты гз,...,сь) Е 1 положим у(г) = Ф(0,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
