1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В качестве приложения основного результата приводится пример, показываюший, как свести задачу о собственных числах и собственных векторах симметрической матрицы к решению последовательности задач на условный экстремум. 5.1. Неовходимые Условия условного экстРЕМУМА МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА 5.1.1. Пусть даны открытое множество П пространства К", множество М С П и функция 1: П -+ К. Точка р Е М называется точкой максимума (минимума) функции Г" на множестве М, если существует окрестность 1' точки р такая, что для всех х е т' й М выполняется неравенство Дт) < Др) (соответственно неравенство Дх) > Др)).
Если р есть или точка максимума, или точка минимума функции Г" на множестве М, то говорят также, что р есть точка экстремума функции Г на множестве М. Задача — найти точки экстремума вещественной функции на некотором подмножестве ее области определения — называется задачей об условном зксглремуме. Происхождение термина связано с тем, что здесь речь идет об экстремумах величины Дт) в предположении, что т удовлетворяет дополнительному условию: т принадлежит данному подмножеству области определения функции.
Пусть П вЂ” открытое множество в К". Если р б П есть точка максимума (минимума) функции Г: с' -+ К, то р, очевидно, является точкой максимума (соответственно минимума) ~ на любом множестве М С П таком, что р е М. Обратное, вообще говоря, н е в е р н о, как показывает следующий пример. З 5. Условные экстремумы 169 Пример. Пусть п = 2, П = Кг и множество М представляет собой окружность ((х,у)ЕК !х +у =Ц.
Пусть 1 есть функция (х,у) ~ у. Для всякой точки (х,у) Е М, очевидно, — 1 < у < 1. При этом ~ принимает значение 1 в точке (О, 1) Е М и значение — 1 в точке (О, — 1) б М. Отсюда ясно, что (0,1) есть точка максимума, а (О, -1) — точка минимума данной функции ~ на множестве М. Эти точки, однако, не являются точками экстремума функции 1 на всей плоскости Кг. Более того, в данном случае У вообще не имеет в К точек экстремума.
Это следует из того что производная —:— 1 г д1 3 др и, стало быть, нигде не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда множество М есть /с-мерное многообразие класса С'. ° Лемма 5.1. Пусть М есть й-мерное многообразие класса С', г > 1, в пространстве К", 1: М вЂ” К вЂ” вещественная функция, хо Е М и у: Р— М вЂ” допустимая параметризация окрестности точки хо в многообразии М.
Пусть хо —— р(~о). Для $ б Р положим и(г) = = Др(1)). Точка хо является точкой максимума (минимума) функции 1 на множестве М в том и только в том случае, если го есть точка максимума (соответственно минимума) функции в в множестве Р. Доказательство. Положим Г = р(Р). Множество Г является окрестностью точки хо в М.
Предположим, что хо есть точка максимума функции 1' на М. Тогда найдется окрестность 0 точки хо в М такая, что 1(х) < Дхо) для всех х Е 'С. Пусть У = РП6. Множество У является открытым относительно элементарного й-мерного многообразия Г, и, значит, в силу непрерывности ~р множество с' = ~р г(У) является открытым относительно Р. Имеем и(1о) = Д~р(1о)) = У(хо). Если г Е 0', то х = ~р(1) б 0 и, значит, Этим доказано, что 1о есть точка максимума функции и(г). АнаЛогично УстанавливаетсЯ, что если хо — точка минимУма 1", то го есть точка минимума и(г).
(Формально этот случай сводится к рассмотренному заменой 1' на — ~.) Предположим, что относительно точки го известно, что она является точкой максимума функции и в множестве Р. В этом случае найдется окрестность И1 точки 1о такая, что и($) < и($о) для всех г Е %Г~Р. Гл. 10. Основы гладкого анализа 170 Отображение м взаимно однозначно,и обратное отображение ф = = р 1 непрерывно. Пусть И" = ф ~(И') = ~р(И').
В силу непрерывности ф множество Иг' является открытым относительно Г, а значит, и относительно М и, следовательно, И" есть окрестность точки хо в множестве М. Пусть х Е И". Тогда х = р(1), где 1 Е Иг П Р, и, значит, Дх) = У(~р(1)) = и(1) < и(1о) = Яхо) Таким образом, 1(х) < Дхо) для всех х Е И", т. е. хо — точка максимума функции Г на М. Аналогично рассматривается случай, когда 1о есть точка минимума функции и в Р. Лемма доказана.
° В силу леммы 5.1 задача о точках экстремума функции на многообразии сводится к задаче, рассмотренной в ~ 6 главы 7. Для приложений интерес представляет тот случай, когда рассматриваемое многообразие определяется системой уравнений в соответствии с результатом теоремы 4.2 этой главы. Пусть даны открытое множество У пространства К" и отображение ~: У вЂ” К, где 1 < т < и, принадлежащее классу С", т > 1. Для х Е У пусть г(х) = Ц1(х),)з(х),..., г" (х)). Обозначим через М множество всех точек х Е У, для которых 1(х) = О, т.
е. М есть множество решений системы уравнений г1(х) = О, Ях) = О,...,~ (х) = О. (5.1) Будем далее предполагать, что в каждой точке х б М отображение г является невырожденным, т. е. ранг отображения 1 равен т. Как следует из теоремы 4.2, множество М является 7с-мерным многообразием без края класса С'. (Здесь и далее х = и — т.) 5.1.2. Докажем некоторый необходимый признак условного экстремума функции, заданной на х-мерном многообразии пространства К", определенном системой уравнений. †(хо) = Л1 †(хо) + Ло†(хо) + + Л вЂ ™ (хо) (5 2) дГ дЛ дЬ д~ дх; дх; дх; дх; для всех г = 1, 2,..., и. ° Теорема 5,1. Пусть У есть открытое множество в К", Г: У— К вЂ” функция класса С1, М С У вЂ” *х-мерное многообразие, определяемое системой уравнений (5.1), где функции ~1, Л,..., ~ удовлетворяют всем указанным выше условиям.
Тогда если хо Е М есть точка экстремума функции Г на многообразии М, то найдутся числа ЛыЛз,...,Л Е К такие, что при каждом 1 = 1,2,...,и выполняется равенство з 5. Условные экстремумы 171 3 а м е ч а н и е 1. Равенство (5.2) означает, что вектор /дГ дГ дГ >>7Г(хо) = ~ — (хо), — (хо),, — (хо) 1д*, ' дх, ' " ' дх„ является линейной комбинацией векторов гу11(хо) = ( (хо) (хо) ° ° ° > †(хо) /дД дД дД ~,дхг дхг ' ' дх у = 1, 2,..., т.
В силу условий теоремы векторы ~7Яхо) линейно независимы, откуда следует, что коэффициенты Л; в равенстве (5.2) определяются по вектору ~7Г(хо) единственным образом. 3 а м е ч а н и е 2. Утверждение теоремы равносильно следующему. Если хо б М есть точка экстремума функции Г на многообразии М, то дифференциал функции Г в точке хо является линейной комбинацией дифференциалов в этой точке функций Л, Ь,...,,( Действительно, из равенства (5.2) вытекает, что для любого вектора Х = (Х„Х„..., Х„) б 51" ак(х:Х) = Š— (х.)Х, = ЕЛ1;С вЂ” г(х.)Х, = у Лз 1(*.,Х) дГ дД »= г=г г=г и, значит, НГ(хо) = Л1(Д(хо) + ЛгНЯхо) + + Л 4 (хо) (5.3) Обратно, предположим, что существуют числа Лы Лг,..., Л такие, что линейные функции ЫГ(хо)> ф (хо), у = 1, 2,..., тп, удовлетворяют равенству (5.3).
Тогда для всякого вектора Х б И" >1Г(хо>Х) = ЛгИЛ(хо>Х)+ ЛгНУг(хо>Х)+ + Лж>ет(хо>Х). Полагая здесь Х = е;, 1 = 1, 2,..., п, получим равенства (5.2). .Цокаэательство теоремы. Пусть хо есть точка экстремума функции ~о на многообразии М. Зададим произвольно допустимую паРаметРизацию >л: Р -+ М многообРазив М такУю, что хо — — У(го), и пусть и(г) = Г[>р(г)~. Тогда функция и принадлежит классу С~ и, как следует из леммы 5.1, го есть точка экстремума функции и. Множество М является многообразием без края, и, значит, Р есть х-мерный интервал, т. е.
Р есть открытое множество в К". 172 Гл. 10. Основы гладкого анализа Применяя условие экстремума для функции, определенной на отдп крытом множестве, отсюда получаем — (1о) = О для всех 1 = 1, 2,..., й. Имеем и(1) = Г[у(1)] и, следовательно, ди " дГ д>», / ду (>.) = т †(.,) щ = (...
~ .)) . д8; дх, д8; ~, ' д1; 1= 1 д>»'. Положим — (хо) = а;. Векторы ам аз,..., аь линейно независимы. Таким образом, мы получаем, что нГ(хо>а;) = О (5.4) при каждом г' = 1, 2,..., >с. Пусть г — произвольный касательный век- тор многообразия М в точке хо.
Вектор я допускает представление 3 = Л1а1 + Лзаз + ° ° ° + Льаь. Умножая обе части равенства (5.4) на Л; и суммируя по 1, получим, принимая во внимание линейность функции >зГ(хо), что для всякого вектора г Е Тм(хо) ЫГ(хо > х) О (5.5) >К~(хо,я) = О. Данное уравнение в скалярном виде записывается так: <1Л(хо>х) = О (5.6) для всех г = 1, 2,..., га. В силу условия невырожденности отображения 7, уравнения (5.6) линейно независимы. Всякое решение уравнения (5.6), как следует из доказанного, является также решением уравнения (5.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
