1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Квадратичная форма Е называется невырожденной, если определитель ее матрицы коэффициентов отличен от нуля. Приведем правило преобразования коэффициентов квадратичной формы при замене переменной. Предположим, что задано линейное отображение у Яу, где Я— невырожденная квадратная матрица порядка п. Подставляя в выражение Р(х) = (Ах, х) представление х по формуле х = Яу, получим Действительно, предположим, что бег Х ~ О, и пусть У = Х г. Тогда имеем ХУ = УХ = Е.
Отсюда вытекает что У'Х' = Х*У* = Е и, значит, (Х г)* = У* = (Х*) г, что и требовалось доказать. Матрица Х вида (6.1) называется симметрической, если х; = х; для любых г, г = 1,2,..., и. Иначе говоря, матрица Х симметрическая, если выполняется равенство Х = Х".
Симметрические матрицы возникают при изучении так называемых квадратичных форм. Квадратичной формой п переменных называется всякий однородный многочлен второй степени в пространстве К". Квадратичная форма может быть записана в виде Гл. 10. Основы гладкого анализа 184 Положим С(у) = Г(Уу). Применяя равенство (6.2), получим а(у) = (г*Агу, у).
Матрица В = Я'АЯ симметрична. Действительно, применяя предложения 2 и 1, получим В' = Я'А(7*1* = Я*АУ = В, так что В* = В, т. е. матрица В симметрическая. Из алгебры известно, что для всякой невырожденной квадратичной формы Г(х) существует невырожденное линейное отображение ьо: у ь Яу такое, что после замены переменной по формуле х = Уу квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму 0(у) вида О(у) =~ еьу,' (6.4) где е; = ~1. Равенство (6.4) называется каноническим представлением квадратичной формы Г(х). Число коэффициентов г;, равных -1, не зависит от выбора линейного преобразования ьр, посредством которого квадратичная форма Г приводится к виду (6.4).
Данное утверждение называется законом инерции квадраьпичных форм. Множество всех симметрических квадратных матриц порядка и будем обозначать символом Яуш„. Если матрицы Х и У симметрические, то для любых чисел а и ~3 матрица сьХ + ьэ1' также симметрическая. Отсюда вытекает, что множество всех симметрических квадратных матриц порядка п является векторным пространством. Пусть Х = (х; );,-ьд,„,,„есть симметрическая квадратная матрица порядка п. Матрица Х однозначно определяется указанием элементов, лежащих либо на ее диагонали, либо выше ее, т. е.
таких х;, для которых ь < ь'. Матрица Х = (х; );, -ьд „,,„называется верхней треугольной матрицей, если х; = О при ь ) ь. Иначе говоря, матрица Х является верхней треугольной матрицей, если все ее элементы, лежащие н и ж е диагонали, равны нулю. Множество всех верхних треугольных матриц порядка п далее обозначается символом Т"„. Если Х и У есть верхние треугольные матрицы, то каковы бы ни были числа ьь и ьб, матрица ььХ + фУ также является верхней треугольной матрицей. Отсюда следует, что множество матриц Т"„есть векторное пространство. з 6. Теорема Морса 185 Матрица Х = (х; ); .
з з „называется нихсней треугольной мапзрицей, если все ее элементы, лежащие выше диагонали, равны нулю, т. е. х; = О при 1 < у. Множество всех нижних треугольных матриц будем обозначать символом Т"„. Для произвольной матрицы Х = (х, ), 1, у = 1,2,..., и, число элементов ее первой строки, расположенных или н а диагонали, или в ы ш е ее, равно п. Во второй строке число таких элементов матрицы равно п — 1.
В общем случае для всякого номера з, где 1 < 1 < и, число элементов 1-й строки матрицы Х, лежащих или н а диагонали, или в ы ш е ее, равно и — 1+ 1. Отсюда следует, что общее число элементов матрицы, которые расположены н е н и ж е диагонали, равно и+ (и — 1) + + 2+ 1 = = Л. п(п+ 1) 2 (6.5) Будем рассматривать пространство К~, где Ф определяется равенством (6.5). Компоненты произвольного вектора х Е К~ далее обозначаются следующим образом. Первые и компонент обозначим символами хы, х1з,..., х1„, следующие п — 1 обозначаем символами хзз, хзз,..., хз„и т. д., наконец, последнюю компоненту вектора х обозначим символом х„„. Для обозначения компонент вектора х используются, таким образом, всевозможные выражения вида х;,, где 1 < 1 < у' < п.
Для вектора х = (х; ), 1 < у, пространства К~ пусть е(х) есть матрица У = (у;.);, -1з,„„,определеннаяусловиямиу; = х;. при1 < з ну; = О, если 1 > з. Матрица г(х) является верхней треугольной матрицей. Положим е(х) = Я = (г; ); — 1з „, где г; = х;1 при 1 < у и г;, = ххч при 1 > у. Матрица Я симметрическая.
Мы получаем, таким образом, отображения 1: К~ -~ Т"„и з: Кн — Яуш„. Каждое из отображений 1 и е линейно и представляет собой биективное отображение. Далее мы рассмотрим отображения пространств Т"„и Яуш„в другие пространства. Для всякой матрицы Х Е Т"„существует точка х Е К~ такая, что х = е(х). Будем далее отождествлять матрицу Х с этой точкой х. Это позволяет рассматривать отображения данных матричных пространств как отображения множеств пространства К~.
Формально это отождествление может быть описано следующим образом. Пусть дано отображение у пространства Т"„в некоторое другое пространство. Тогда отображение ~р отождествляется с отображением у о ~ 1 пространства К~. Всякую функцию й со значениями и Яуш„будем отождествлять с функцией з ~ о й, значения которой Гл. 10. Основы гладкого анализа 186 лежат в К~. В соответствии с этим матричные функции на подмножествах Т„" и Яут„со значениями в этих же множествах будем понимать как отображения множеств в К~ в пространство К~. Сказанное позволяет придать точный смысл понятию дифференцнруемой матричной функции и вообще матричной функции класса С'. ° Лемма 6.1. Пусть Р есть невырожденная диагональная матрица. Существует б ) О такое, что для всякой симметрической матрицы Х, удовлетворяюгцей условию [[Х вЂ” Р[[ < б, найдется матрица У = У(Х) такая, что У*ХУ = Р.
При этом У(Р) есть единичная матрица, У(Р) = Е и элементы матрицы У являются функциями класса С элементов матрицы Х. Доказательство. Пусть йы, азз,..., а„„есть диагональные элементы матрицы Р. Согласно условию матрица Р невырожденная и, значит, 4; ~ О при каждом г' = 1, 2,..., и. Для произвольной верхней треугольной матрицы Я положим Я(Я) = Х" РХ. Покажем, что матрица фг') симметрическая. Действительно, применяя равенства предложений 1 и 2 (свойства операции транспонирования матрицы), получим (Здесь используется то, что матрица Р диагональная и, следовательно, она симметрическая, т. е.
Р' = Р ) Применяя свойство 1 операции транспонирования,получаем,что 1Я*)* = Я. Равенство (6.6) доказывает, что матрица Я(Я) симметрическая. Таким образом, получено некоторое отображение Я множества всех верхних треугольных матриц Т„" в множество Буги„симметрических матриц порядка п. Элементы матрицы Я(Я) выражаются через элементы матрицы Я посредством операций умножения и сложения.
Отсюда ясно, что Я ЩЯ) есть отображение класса С Определитель матрицы представляет собой полипом относительно ее элементов, и, следовательно, функция Я ~ с1еФЩИ) непрерывна. Имеем О(Е) = Р и, значит, йе1 Я(Е) = с1е1Р ~ О. В силу непрерывности функции И ~ ч(2) найдется к ) О такое, что если [[Я вЂ” Е[[ < е, то бег ч(Е) ~ О.
Множество всех матриц И б Т„", для которых [[И-Е[[ < к, обозначим символом В,. Найдем дифференциал отображения Я в точке Я = Е пространства Т"„. Положим Я = Е+ ЬП, где Ь б К. Получим = — [(Е+ М1')Р(Е+ Ьсг) — Р] = Ь Ь [Р + ЬУ ~Р + ЬРП + Ь2(1*РАЙ Р) (П~Р + РП + ЬП РП) Ь З 6. Теорема Морса 187 Правая часть этого равенства при Ь вЂ” О стремится к пределу, равному У*Р + РУ. Следовательно, ейск(Б; У) = 17'Р + РП.
Матрица У*В + 1МУ, как нетрудно видеть, симметрическая. Таким образом, еК3к У Е Т"„Б'Р+ РП есть отображение пространства Т"„в пространство Буш„. Это отображение, очевидно, линейно. Покажем, что отображение й~к взаимно однозначно. Лостаточно показать, что равенство Ю"Р + ВУ = О имеет место в том и только в том случае, если У = О. Напомним, что матрица У здесь является верхней треугольной матрицей, а .0 — невырожденная диагональная матрица. Матрица У" является нижней треугольной матрицей. Пусть Н вЂ” произвольная матрица. Тогда матрица РН, как легко проверяется, получается из Н умножением элементов первой строки матрицы на ды, умножением элементов второй строки на дзз и т. д., наконец, элементы п-й строки умножаются на д„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
