1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 41
Текст из файла (страница 41)
10. Основы гладкого анализа 198 Дифференцируя равенство (7.8), получим выражение для третьей производной функции 1: 1н'(х) = у'[С(х)]С'н(х) + Зу" [С(х)]С'(х)С" (х) + у"'[вх)][С'(х)]~. Подставляя сюда выражения для первой и второй производных, уста- новленные ранее (равенства (7.5) и (7.10)), окончательно получим 1а'(х) = — [х'(х'угн — у'х'") — Зх" (х'у" — у'х")]. (7.11) [х']з Значения всех производных берутся в точке 1 = Ях).
7.1.2. Рассмот им сл чай нк ии многих пе еменных з анной не- явно. Вычисление производных высшего порядка осуществляется по той же схеме, что и в случае функций одной переменной. Технически вычисления при этом существенно усложняются. Пусть ИГ есть открытое множество в пространстве К~ и функция ~р: И" — ~ К задана неявно уравнением Г[~р(г),е] = О, (7.12) Г~[~р~(а),~рз(г),..., у (а),а] = О, Гз[у~(а),~рз(г),...,~р (а), а] = О, (7.13) Г„[уз (а), уз(а),..., ~р (а), а] = О, где а = (гз,гз,...,аь) б К~. Согласно теореме о неявных функциях (теорема 3.1 этой главы) у принадлежит тому же классу гладкости С", что и функция Г.
где функция Г: У -~ К™ определена на открытом множестве У пространства К" при и = т + к. Предположим, что функция Г удовлетворяет всем условиям теоремы о неяеных функциях (теорема 3.1 этой главы). Предполагается, что Г принадлежит классу С', где т таково, что все дальнейшие вычисления имеют смысл. Ранг матрицы Якоби вектор-функции Г(у, а) равен т. По предположению, у = у(г) есть то решение системы уравнений Г(у,г) = О, существование которого следует из теоремы о неявных функциях.
Отсюда вытекает, что минор матрицы Якоби вектор-функции Г, образованный элементами первых ее т столбцов, отличен от нуля. Система уравнений Г[у(а), г] = 0 в развернутой форме имеет вид 'з 7. Вычисление частных производных функций Предположим, что функция у определена и требуется найти ее производные. Дифференцируя обе части равенства (7.13) по переменной г, при 1' = 1, 2,..., т, получим ,'~ — '[И ) ] — ( )+ — ', =б.
дГ, дуол д~;. дпа дг, дг; (7.14) — [ф(г), г].01 1 ~, фь(г)+ дГ1 „, дуя + Л;,,;,,„,,;,(Й'Г[р(г),г],.б" 1у(г)) = О. (7.15) Здесь д'ф Символ Р~~р означает совокупность всех производных функции ~р, порядок которых не превосходит й. Явное выражение для слагаемого Я;„;,,;, (... ) в равенстве (7.15) ввиду его громоздкости здесь не может быть выписано полностью. Равенства (7.14) можно рассматривать как систему линейных уравнед~р1 д~рг ду ний относительно частных производных —, —,..., —, которые дг;'дг;''' дг; ' требуется найти.
Определитель этой системы в силу условий теоремы о неявных функциях отличен от нуля, и, следовательно, производные д~рь — могут быть выражены из равенств (7.14) через производные функдг; ции Г и функцию ~р. Дело сводится, как очевидно, к решению системы дРь линейных уравнений относительно неизвестных функций —.
д; Дифференцируя равенства (7.14), мы получим равенства, которые позволяют вторые производные выразить через первые произдг;дг1 дуг дрл водные — и —. Подставляя в полученные равенства выражения дг; дг,' для первых производных функций ~~ь, найдем представления вторых производных через производные функции Г и функцию ~р. Продолжая процесс дифференцирований, мы получим цепочку равенств, позволяющих последовательно выражать производные высших порядков функций ~рь через их производные низших порядков. После г < т дифференцирований при 7' = 1, 2,..., т получим равенства вида Гл. 10. Основы гладкого анализа 200 Равенство (7.15) позволяет выразить производные Р„;г;,~рь(г), Ь = 1,2,...,гл, через производные функций Гг, посредством которых задается система уравнений (7.13), и через производные функций д ь порядка, меньшего в.
Таким образом, мы имеем некоторую процедуру, позволяющую последовательно определять значения производных Р;,,;„„,;,~рь(г). 7.2. ПРИМЕРЫ КАЧЕСТВЕННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕ ИЙ В задаче об исследовании функции многих переменных и множеств, определяемых как совокупность решений системы уравнений, используются методы дифференциального исчисления.
Важная часть решения этой задачи — установить основные качественные особенности изучаемого множества. (В общем виде решение этой задачи требует привлечения математического аппарата, который здесь мы не рассматриваем.) Один из возможных путей исследования строения функций многих переменных и множеств в пространстве состоит в рассмотрении сечения графика функции или другого интересующего нас множества двумерными плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Исследование такого сечения представляет задачу, которая может быть решена средствами дифференциального исчисления функций одной переменной. Вычислим частные производные функции ( первого и второго порядков. Получим †(х,у) = 4х(х + у — а ), дУ г дх — (х, у) = 4у(х + у + а ), д~ г г г ду (7.16) 7.2.1. П е в ы й п и м е .
Предположим,чтонаплоскостизаданы две различные точки А и В, и для произвольной точки Х на плоскости пусть К(Х) = ~АХ~г(ВХ~г, К(Х) есть произведение квадратов расстояний точки Х до точек А и В соответственно. Множество всех точек Х на плоскости, для которых К(Х) = 1 = сопз1, называется овалом Кассини. Введем на плоскости декартову ортогональную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и начало координат О совпадало с серединой отрезка [АВ]. Пусть точка А имеет координаты (-а, О), а координаты В есть (О, а).
Зля точки Х с координатами (х, д) положим К(Х) = Дх, у). Имеем, очевидно, 1(х у) ((х+ а)г+ уг1((х а)г+ уг) (хг+ уз)г 2аг(хг дг)+а4 з 7. Вычисление частных производных функций 201 — (х,у) = 4(Зх + у — а ), 2 2 2 д.г д2 ~ — (х,у) = ху, дхду — (х, у) = 4(х + Зу + а ). дуг (7.17) У( 0) 4 2 2 2+ 4 ( 2 2)2 Функция Дх, 0) переменной х обращается в нуль в точках х = ха. График функции Дх, 0) имеет вид, указанный на рис.
8. Отсюда нетрудно заключить, что график функции Дх, у) в пространстве Кз выглядит, как указано на рис. 9. Рассмот им воп ос о ст ренин множеств овня из чаемой нк- ции Дх у), Пусть | Е К. Положим Уг(У) = ((х,у) Е Кг ~ Ях,у) = 1). Множества У2®, соответствующие разным значениям 1, называются множествами (или линиями) уровня ванной функции 1. При 2 < 0 множество У~(~) пусто, так как 7"(х,у) > 0 для любых (х у)ЕК2 Для 1 = 0 множество У4(~) состоит из двух точек: А = ( — а,О) и В = (а, 0). Обозначим символом 3~, сечение графика рассматриваемой функции 2 = 7'(х,у) плоскостью ((х, у,я) Е Кз ! х = сопз11. Множество Ъ; есть график функции у + Дх, у) переменной у при фиксированном значении х.
При любых (х,у) имеем, очевидно, Дх,— у) = Дх,у), так что функция у ~ 1(х,у) является четной относительно переменной у. дУ Второе из равенств (7.16) позволяет заключить, что — (х, у) < 0 при ду у < О, — (х, 0) = 0 и — (х, у) > 0 при у > О. дУ д)' ду ' ду Таким образом, при каждом х Е К функция Дх,у) относительно переменной у является убывающей на интервале ( — оо, 0), возрастающей на промежутке (О, оо) и, следовательно, принимает свое наименьшее значение при у = О. (Это утверждение выражает тот геометрически очевидный факт, что на всякой прямой 1, перпендикулярной прямой АВ, произведение (АХОХВ) принимает свое наименьшее значение в точке пересечения 1 с прямой АВ.) Последнее из равенств (7.17) подгу зволяет заключить, что — (х, у) > 0 для любых х, у.
Отсюда следует, ду что кривая Ъ; является выпуклой. Самая низкая точка кривой У, соответствует значению у = О. Имеем Гл. 10. Основы гладкого анализа. 202 Рис. В Рис. У пр. р ы.а'.и. р л*,р) = ~ з(х,0) < Дх,у) =1, откуда (х — а ) <1. (7.18) и =,/Р-~д, р = р ррр. и р ~р.18) следует, что если точка (х,у) Е Ур(~), то либо х Е [ —,8, — а), либо х Е [а,/3). з 7.
Вычисление частных производных функций 203 Заметим, что если У(х,у) = й и д ~ О, то Дх,О) < 1 и, значит, в этом случае выполняются неравенства а < х < 13. В силу выпуклости функции ~(х, у) относительно у и строгой монотонности по у на промежутках ( — оо, 0] и [О, со) из сказанного ясно, что для всякого х Е (а, 19) плоскость $', пересекает множество У~(7) в двух точках, симметричных относительно оси Ох. Следовательно, часть множества У~(7), составленная из точек (х, у), для которых о < х < 9, состоит из двух дуг у = и(ж) и у = — и(х). Точки (а, 0) и (13, 0), очевидно, также принадлежат множеству Ц()). Полагаем и(а) = и(13) = О. В каждой точке (я,у) Е Ц(У), для которой у ~ О, производная ~„'(я,у) отлична от нуля, и, следовательно, как вытекает из тпеоремы о неявных функциях, функция и для таких х дифференцируема.
В частности, она является непрерывной в промежутке (а, 19). Покажем, что функция и непрерывна также и в каждой из точек а и,9. Чтобы убедиться в этом, будем решать уравнение 7'(х,у) = ~ относительно х, считая у известным. Имеем 7",'(а, 0) ~ 0 и 7;(19, 0) ~ О. Отсюда согласно тпеореме о неявной функции вытекает, что найдется б > 0 такое, что для всякого у Е ( — б,б) можно указать значения х = ~~(у) и х = Сз(у) такие, что 6(0) = а, сз(0) = )9 и У®(д), у) = У(сз(у), у) = ~.
Отсюда следует, что если у у~ О, то 6(у) и сз(у) лежат в интервале (а, 19). Зададим произвольно е > О. Пусть Ь > 0 удовлетворяет неравенствам Ь < д и Ь < е. Ксли 0 < у < Ь, то х = 6(у), 1 = 1,2, лежит в интервале (а„9) и, значит, при у ~ 0 имеем С;(у) ~ 5(0). Отсюда следует, что функция 5 отображает промежуток [О,Ь] на некоторый отрезок множества К, не вырождающийся в точку. В случае г = 1 это будет отрезок вида[а,а+т~]. Для всякого я Е [а,а+д) найдется у Е [О,Ь] такое, что ~~(у) = х. Для этого х, очевидно, и(х) = у.
Следовательно, мы получаем, что если ]х — а[ < и, то ]и(х)] < Ь < е. Так как е > 0 было взято произвольно, то непрерывность функции и в точке а, таким образом, установлена. Аналогично доказывается непрерывность и в точке,9. 3 а м е ч а н и е. Непрерывность функции и можно было бы доказать иначе,используя явное выражение для и(х) черезов,получение которого в данном случае сводится к решению квадратных уравнений. Существование такого выражения является обстоятельством в некотором отношении случайным, и мы прибегли выше к рассуждению, которое применимо в общей ситуации.
Далее, имеем 7(х, у) = Д вЂ” х, у). Отсюда следует, что часть множества У~(7), отвечающая промежутку [-19, — а], симметпрична относительно оси Оу той части этого множества, которая отвечает значениям 204 Гл. 10. Основы гладкого анализа х Е [а, ~3]. Отсюда вытекает, что часть множества У~(~), образованная точками (х, у), для которых х Е [-,9, -а], состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями у = и( — х) и у = -и(-х). Таким образом, мы получаем, что если 0 < 1 < а4, то множество У~(~) состоит из двух замкнутых кривых, получаемых друг из друга зе кальным от ажением относительно оси О и не имеющих общих точек.
Каждая этих замкнутых кривых симметрична относительно оси Ох. Рассмотрим случай ~ = а4. В этом случае множество У~(~) называется лемниснатой Бернулли. Пусть ~(х,у) = а~. Тогда имеем Дх,О) < Дх,у) = а~, откуда получаем, что (хз — аз)з < а4. Это позволяет заключить, что в данном случае — ~Г2а < х < ~Г2а. Обратно, если х удовлетворяет этим условиям, то уравнение Дх,у) = а4 имеет решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
