1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогда выражения для о(С) и го(С) принимают вид о(с) = 4(сз ЗЛг го(Д = З(~' — 2Лг~г). Полагая здесь С = — Л1, получим 4Лз(1з 31) го ЗЛ4(14 2г) Положим т(1) = 1з — 31, у(1) = 14 — 2Х. Пусть К есть кривая на плоскости, определяемая параметризацией х(1) = (т(1), у(1)). Эта кривая уже рассматривалась нами в учебнике (см. КМА, часть 1, книга 1, с. 429-432, рис. 35). Рис. 11 воспроизводит кривую К. 210 Гл. 10. Основы гладкого анализа Кривая Л состоит из двух бесконечных дуг ВА и СР, исходящих из точек В и С и уходящих в бесконечность. Точки В и С соединяются дугой ВС. Бесконечные дуги ВА и СР пересекаются в некоторой точке Е, лежащей на оси х = О.
Координаты точки В есть (2,0), а точка С имеет координаты (-2, 0). Наконец, точка Е имеет координаты (О, 3). При произвольном и ( 0 кривая Г„получается из кривой К преобразованием Г„н (х,у) Е Кз ю-+ (4Лзх,ЗЛ4у), где Л определяется из условия и = — 6Лз. Преобразование Г„увеличивает координату х точки в 4Лз раз, а координату у в ЗЛ4 раза. Форма кривой при этом преобразовании не .меняется. Отсюда ясно, что кривая Г„состоит из двух бесконечных дуг А„В„и С„.Р„, пересекающихся в некоторой точке Е„, и выпуклой дуги „ф.
Луги „ф, В„Е„и Е„С„образуют своего рода «криволинейный треугольник», стягивающийся в точку при и — 0 и неограниченно увеличивающийся по своим размерам, когда и — — ао. Отсюда ясно, что множество Рз содержит в себе конусообразную расширяющуюся трубу с треугольным сечением, вершина которой совпадает с началом координат О = (0,0, 0). На рис. 12 показано, как выглядит множество Рз. Наглядно строение множества Рз можно представить так. Сначала берется некоторая поверхность в пространстве, однозначно проектирующаяся на координатную плоскость Оии и проходящая через начало координат.
Множество Рз получается посредством следующих построений. Поверхность сначала разрезается вдоль линии, проектирующейся на отрицательную полуось оси Ои. Затем края разреза начинаем двигать навстречу друг другу так, чтобы две полости, лежащие по разные стороны разреза, пересеклись по некоторой линии. На Задачи 211 свободные края этих двух полостей натягивается затем некоторая поверхность, уходящая в бесконечность. Чтобы закончить исследование множества У4, необходимо выяснить, как располагается множество Р2 относительно .02. Как показано выше, множество Р2 есть кривая в Кз с параметризацией и(1) = 242, и(1) = О, 2о(1) = 14, 1 > О, и представляет собой половину обычной параболы, лежащей в плоскости Оию.
Множество Р2, как следует отсюда, лежит в полупространстве ((и,и,в) Е Кз ~ и > 0). Плоскость, перпендикулярная оси Ои и проходящая через точку (и, О,О), где и > О, как следует из рассмотрений, относящихся к случаю а), есть кривая, которая может быть задана уравнением 4в = /(и).
Согласно равенству (7.25) имеем: ~'(о) = -с. Функция /, как было показано выше, выпукла и достигает минимума в точке, для которой с = О. Для этой точки имеем: о(С) = 9 и ю(С) = О. Точка множества Р1, и2 лежащая в данной плоскости, имеет координаты и = 0 и и = —. Мы 4 получаем, следовательно, что половинка параболы, представляющая множество Р2, лежит в ы ш е множества.02. Она лежит в полуплоскости 1(и, и, и) ~ о = О, и > 0), а именно, в ее квадранте, определяемом условием в > О.
Пересечение множества 02 этой же полуплоскостью есть луч, являющийся нижним краем указанного квадранта. В заключение ответим на вопрос: «Что представляет собой вторая половина параболы, одной половиной которой является множество Р2?» Предоставляем читателю убедиться, что линия пересечения двух полостей множества Р2, образованная точками Е„, где и < О, и есть эта недостающая часть параболы. Задачи 10.1. При каких о > 0 функция /': (хмх2,...,х„) Е К" — (х~2 + х2 2+... ...
+ х„): 1) дифференцируема в точке (0,0,...,0)? 2) принадлежит а/2 классу С" (К"), где г > 1? 10.2. Найти второй дифференциал функции (г вещественное) в точке хо Е К", хо ~ О. 10.3. Найти второй дифференциал функции х/ х; х ~ (*,+*,+ +*ц"" 212 Гл. 10. Основы гладкого анализа 10.4. Определить дифференциалы первого и второго порядков функции А/2 а-1 У: (Х1 Хг, °,Х„) ю Х; — Х„ 2 2 а11+ х1 (х1, х2, хз) агз оЗ1 азг а1З огг+ хг огз озг озз + хз 10.12. доказать, что функция (хг,хг) ю-ю созю/х1+ хг принадлежит классу С'(Кг) при любом т > 1.
10.13. Найти значение величины дгп дгп дг 2 + 2 + + 2 дхг дхг дхг для функции и: (Х1, Хг,...,Х ) ю-ю СОЗ ( в точке (0,0,...,0). 10.14. Определить значение в точке (0,0) производной — — 2 — т функции д а 1 2 И: (х1, хг) — + 1-. 1 2 10.15. Локазать, что функция Г: х б К" ~0 ~ф~, т (0) = 1, принадлежит классу С" при любом т > О. 10.5. Функция 1: У вЂ” К, У с К", принадлежит классу С' при всех т > 1. Выразить через дифференциалы функции г" дифференциал порядка т функ- ции д(х) = [Дх)) .
10.6. Определить дифференциал х Е К" ю1 (О) ~ [ ат в точке хо. ЮЮ.Ю. Пю.*. =Д.), аю: [Ю, [-Е,,= юЮ1ЮЮю'Ю.**. И ° — т + — 2- + — 2- — Р(т). Вычислить функцию Е(т). дга дга д а 10.8. Исследовать на дифференцируемость функцию х Е К" ю 1+ [х[ — ею*ю в точке хо = О. 10.9. Локазать, что функция 1: х ю зюп [х[ — [х[, х Е К", дважды дифферен- цируема в точке х = О. Найти о~1 (О). 10.10. Доказать, что функция (х, у) ю [х[+ [д[ не является дифференцируе- мой в точке (О, О) е Кг.
10,11. Найти дифференциал в точке (0,0,0) функции Задачи 213 10.10. При каких значениях а функция Дх,у) = (х +д ) зш /хз + дз если х + дз ф О, 1(0, 0) = 0: 1) непрерывна в точке 0 Е К"? 2) дифференцируема в этой точке? 10.1?. Функция 1: К" - К дифференцируема в точке 0 б К". Положим Доказать, что де, — фо в шаре В(0, 1) при пз — со. 10.18. 1) Показать, что функция (хмхз) ппп(хмхз) в К непрерывна. 2) Будет ли эта функция дифференцнруема: а) в точке (1,1)? б) в точке (1, 2)? 10.19. Функции 1: (-1,1) х ( — 1, 1) — К и д: ( — 1,1) х ( — 1, 1) — К дифференцируемы в точке (О, 0)г причем все их частные производные обращаются в нуль в точке (О, О), ДО, О) = д(О, 0) = О.
Пусть Ь(х, у) = шш(1(х, д), д(х, д)). Показать, что л дифференцируема в точке (О, 0). 10.20. Ланы открытое множество 11 С К", отображение 1: У вЂ” К" и точка хо Е?1. 1) Показать, что если ~У(х) У(хо)~ ' 0 1х — хо! при х — хо, то функция 1 дифференцируема в точке хо. 2) Чему равен дифференциал функции 1 в этой точке? 10.21. Функция 1: К" — ~ К" имеет непрерывные производные порядка г, причем )В,1(х)! < М при Ц = г и В~ДО) = 0 при (о) < т. Указать 6 > О такое, что 1(В(0,6)) С В(0,6). 10.22. Лано уравнение хз + рх+ д = О.
Пусть ро = -3, до = -2. Указать числа 6 > 0 и ц > 0 такие, что при )р — ро) < 6, ~д — до! < 6 уравнение х + рх+ д = 0 имеет, и притом единственное, решение хы удовлетворяющее з условию )хз — 2! < О. 10.23. Определить дифференциал отображения Х Е .У(К,К ) ~ пес Х Е К.
10.24. 1) Определить дифференциал отображения Х Е СХз(К) ~-~ Х 2) Найти второй и третий дифференциалы этого отображения. 10.25. Пусть Х Е .У'(К")К"), Х = !)х; (!. Положим е/3 п з Г(Х) = ~~~ ~ х; — пау с1есХ. у=з «=з Найти первый и второй дифференциалы функции Е в точке х = 1, где 1— единичная матрица в К".
214 Гл. 10. Основы гладкого анализа 10.26. Даны функции одной переменной и|: (о,б) — + К, 1 = 1,2,...,пз, класса С", е > 1. Пусть и(х) = и1(х) ° иг(х)... ио,(х). Доказать, что е| и и(х) = Е и 1и1(х)в 2и2(х)... и и (х) о1!ог' ..о„| о 1 + а г + ' "+ а 1л = с (формула лейбница для пг миожипзелей). 10.27. Пусть П С К~ — открытое множество, и;: П -+ К, 1 = 1,2,..., т, есть функции класса С", е > 1.
Пусть о = (оз,ог,...,оа) — п-мерный мультииндекс, и(х) = и1(х) ° иг(х)...и (х). Доказать, что П и(х) = ~1 Сл л л П 1и1(х)Р гиг(х)...12 ит(х), Ф1 + О г + " '+ Ф па = о где Сл, лг, л = .~-,тф'--3 — т, |11 92,..., Да — мультииндексы. 10.28. Определить якобиан отображения (11,12,13,14) (уг,уг,уз,уа)~ где У1 — 21+33! У2 12+14~ УЗ ~(11 12) +21|3 2234) У4 — 4122+ "243+1124. 1 2 2 10.29. Определить якобиан отображения (11,12,13,14) (у1 уг уз у4)~ где У1 = з|1 — 1112+ (41 — Мг)13 — 2113224, Уг =1112 — згг+ 2111213+ (11 — 12)141 1 3 2 2 2 2 2 Уз — 2 31 212 + 4113 2234 ~ У4 — 1112 + 12" 3 + 4124 1 2 1 2 10.30. Определить якобиан отображения (г, ~р) Е П ~-~ (гсов|о, та|в |о) Е К, П вЂ” полуполоскость: ((г, ~р) ( е > О).
10.31. Найти якобиан отображения (3о1, ~рг,..., |о„) ~ (х1, хг,..., х„), где х1 = соа|о1, хг = а|пУ1 соя|аз, ..., ха = а|в 1о1 ° а|п~Рг...Я|в|о„1 соя|о„. 10.32. 1) Вычислить якобиан отображения (х1, хг, хз) (х1+ хг + хз, х|хг + хгхз + хгхз, хзхгхз). 2) Найти дифференциал обратного отображения в точке (р, д, т) Е К . 10.33. Определить якобиан отображения ,|: (хз,хг °,ха) ~+ (о1(х),ог(х),...,оа(х)), где о| есть элементарная симметрическая функция степени и О1 (Х) — Х1 + Х2 + ' ' ' + Ха О2(Х) = Х1Х2+ Х1ХЗ + ''+ Ха-1Ха) Оа(Х) = Х1Х2... Х„. 10.34. Построить диффеоморфное отображение класса С отрезка ( — 1, 1) на прямую ( — оо, со). 10.35. Построить диффеоморфное отображение и-мерного куба (-1,1) х (-1,1) х х (-1,1) на пространство К". Задачи 215 10.30.
Построить диффеоморфное отображение и-мерного шара В(0,1) = = (х Е К" ) )х! < 1) на пространство И". 10.37. Построить диффеоморфное отображение и-мерного шара на п-мерный куб. 10 38. Показать, что функция х ф- диффеоморфно отображает полупространство (х Е К" ! ха > 1) на шар (х Е И" ) ~х — аеа~ < ~у) с выколотой точкой О. 10.39. Построить диффеоморфизм пространства К" на многообразие Я„+1 '1(е„41), где За+1 — сфера (х Е К"+ ~)х! = 1), е„+1 = (0,0,...,1) Е я Ка+1 10.40. Построить диффеоморфное отображение на единичный шар в К" множества (х1~ х2~ ~ ха) Е И ~ ха > 0~ < х1 + х2 + " ' '+ ха < 1) .
( а 2 2 2 ' 4 10.41. Построить диффеоморфное отображение куба (-1, 1)" = (-1, 1) х (-1, 1) х " х (-1, 1) на полусферу Яа = 1(х1,хз,...,ха+1) Е К ~ ха+1 > О, х1 + хз + ° ° ° + ха+1 = 1). + Г а+1 2 2 2 10.42. Пусть У С К~ — открытое множество. 1) Локазатгк а) что если отоаз а2 а2 бражения Т: У вЂ” К и Я: У вЂ” К (К рассматривается как пространство квадратных матриц порядка и) дифференцируемы в точке хс Е У, то отображение Я: х Е Т(х) ° Я(х) также дифференцируемо в точке хо, б) что при этом для любого 6 Е И~ дЩ~о) = дьТ(хо) .
Я(~о) + Т(хо) дкЯ(*о) (порядок множителей в каждом из слагаемых существен!). 2) Найти выражения для второго и третьего дифференциалов функции Я в предположении, что Т и Я дважды, соответственно трижды дифференцируемы в точке хо. а аз 10.43. У С К вЂ” открытое множество, Р: У вЂ” К вЂ” отображение, дифференцируемое в точке хо е У (К отождествляется с пространством квадратных матриц порядка п). 1) Найти дифференциал функции Х)(х) = = бесЕ(х) в точке хо. 2) Рассмотреть случай, когда матрица Р(хо) единичная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
