1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тогда для него выполняется признак Коши — Больцано сходимоснзи ряда (теорема 1.5). Зададим произвольно е > О. По нему найдется номер т такой, что если и Е 1зы причем п > тп, то выполняется неравенство З1. Определения. Обгдне сведения о рядах 231 Х"+~ = Х, о Х". Далее, полагаем Хо = 1, где 1 есть тождественное отображение пространства Х в себя. Для всякого и 6 Х имеет место равенство Х" о Х = Х "+'.
(1.8) Действительно, для и = 1 равенство (1.8), очевидно, выполняется. Предположим, что для некоторого и справедливость равенства (1.8) установлена. Имеем Х"+я =1,оХ"+~ =Х,о(Х" о1)=(1оХ,")оХ =Ь"+~о1,, Таким образом, мы получаем, что если равенство (1.8) верно для некоторого и, то оно остается верным, если заменить и на и + 1. Отсюда по индукции вытекает справедливость равенства (1.8) для всех и. Рассмотрим ряд [Х "]„ен, в пространстве Я з."(Х, Х). В силу утверждения 3 п.
1.2.5 главы 9 при каждом и имеем ][ Х,"+' ]] = ]] Х, о Х,о ][ < ]1 Х,]]]] Х," ]], Отсюда, индукцией по и, получаем, что при каждом и выполняется неравенство ]]ХР]] < [Щ]". Используя результат примера 4 п. 1.2, получим, что ряд [Ь"]„ен, является абсолютно сходящимся, если линейное отображение Х: Х вЂ” Х удовлетворяет условию д = ]Щ] < 1.
Предполагая, что ]Щ] < 1, найдем сумму ряда [Х "]„ен,. Положим Л=,'~ Х", Л„=~1,'. о=о я=о При каждом и > 1 имеем а о (1 - Ь) о Л„= 'С Х' — ~ Х"+' = 1- Х "+'. я=о я=о Применяя равенство (1.8), получим а о и и Л.о(Х-Х) =) Х'-,'~ Х" оХ= ~Х'-~~ Х'+'=1-Г+'. я=о я=о я=о я=о При каждом и имеем ]]Х,"+~]] < ]]Ц "+, откуда ]]Х "+ ]] -+ О при и -+ оо. Устремляя и к оо в равенствах (1 — Х)оЛ„=1 — Х"+' и Л„о(1 — Х) =1 — Х"+', получим (Х вЂ” Х)ОЛ=Х и Ло(Х вЂ” Х)=Х. Отсюда заключаем, что Л = (1 — Х,) 232 Гл.
П. Теория рядов 1.4. СВОЙСТВО АССО ИАТИВНОСТИ СУММЫ РЯ ОВ 1.4.1. Пусть [х„]„ен, есть ряд в нормированном векторном иространстве Х, а (и ) ен есть строго возрастающая последовательность цеи~ лых чисел такая, что и > к для всех т. Положим у~ — — 2 х., и для т > 1 пусть 1~я (1.9) 1ч и ~+1 рассмотрим ряд [у,„]„,ен. Он ~~~у~~~т~~ из ряда [х„]„ен;, разбиением последовательности его членов на группы и заменой каждой группы суммой входящих в нее членов.
Докажем, что если ряд [х„]„ен, является сходящимся, то новый ряд также сходится и имеет ту же самую сумму. Приведем точную формулировку. (1.10) при каждом т Е Ы. Действительно, в силу равенства (1.9) у~ —— в„„ так что для т = 1 равенство (1.10) верно. Предположим, что для некоторого т Е г1 равенство (1.10) доказано. Тогда имеем Ф .~1 г +~=1 +у + =1 + ~ ха=в я=в +1 + ) ха=в„ Из доказанного по индукции следует, что равенство (1.10) верно для всех т Е Р1. Последовательность (и ) еи строго возрастающая, и, значит, 1пп и =+со. т Со ° Теорема 1.7.
Пусть [х„]„ен, есть ряд в нормированном векторном пространстве Х. Предположим, что последовательность (у ) ен определяется равенствами (1.9), где (и ) ен — строго возрастающая последовательность целых чисел, причем и > й при каждом т. Тогда если определена сумма 2 х„= в, то сумма 2 у также определена а=1 п$=1 и равна в. В частности, если ряд [х„]„ен„сходящийся, то ряд [у ] еи также сходится и суммы этих рядов совпадают. Доказательство. Пусть (в„)„е~, — последовательность частных сумм ряда [х„]„ещ,, (г ) ен — последовательность частных сумм ряда [у ] ен.
Тогда 233 з 2. Признаки сходимости рядов Отсюда вытекает, что если существует предел йщ з„, то сущее-~со ствует также и предел 1пп з„= 1пп 1, и пределы зти равны. Теос со т со орема доказана. ° 3 а м е ч а н и е 1. Если ряд [х„]„е[ч„расходящийся, то ряд [с] ~ * * *лц ',* ~ 1сномсвых смссссс,*.. с жсо [с ] ь, со о, ссу * сходимость ряда [х„]„е]ч,. Пример. Ряд [( — 1)" з]„>м очевидно, является расходящимся, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости, а именно, и-й член ряда не стремится к нулю при п -+ оо.
Положим п = 2т для каждого т б 1з1. Тогда, как нетрудно видеть, у = О при любом т Н ["[, и, значит, ряд [у ] е]ч сходящийся. 3 а м е ч а н и е 2. Свойство рядов, устанавливаемое теоремой 1.7, называют ассоциативностью суммы ряда. 3 2. Признаки сходимости рядов Признак Коши — Больцано, установленный в и. 1.3 (теорема 1.5), содержит необходимое н достаточное условия сходнмостн ряда. Однако лрнмененне этого признака в конкретных случаях часто требует выполнения достаточно кропотливого исследования. В этом параграфе будет доказано несколько полезных прнзнакон, которые хотя л не столь совершенны в теоретическом плане, как прнзнак Коши— Больцано, но зато дают средства, с помощью которых но многих важных случаях можно достаточно легко получить ответ на вопрос, сходится тот нли иной ряд нлн нет. Несовершенство этих признаков выражается в том, что для каждого из ннх можно указать ряд, сходнмость или расходнмость которого не может быть установлена с помощью данного признака.
2.1. УСЛОВИЯ СХО ИМОСТИ РЯЛА С НЕОТРИ АТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Согласно теореме 1.6 ряд [х„]„е]ч„в банаховом пространстве сходится, если сходится числовой ряд [[[х„]]]„е]ч,, образованный нормами его членов. Таким образом, мы видим, что сходимость ряда в банаховом пространстве иногда можно установить, доказав сходимость некоторого числового ряда с неотрицательными членами — ряда, члены которого есть нормы членов исходного ряда.
Гл. 11. Теория рядов 234 2.1.1. Пусть [х„]„ен, есть числовой ряд такой, что х„> О при всех и Е»зь, и пусть (з„)„еп» есть последовательность его частных сумм. При каждом и Е»зь имеем з„+з — — з„+ х„+ы откуда видно, что з„+з > ви для любого и Е Хь, т. е. последовательность (е„)„е~, частных сумм ряда [х„]„ен» является возрастающей. В силу теоремы о пределе монотонной фупхции (глава 2), отсюда следует, что существует конечный или бесконечный предел Бш е„= е. п оо Таким образом, если все члены числового ряда неотрицательны, оо то определена его сумма з = ~; х„.
и=я Согласно теореме о пределе монотонной 4уппции (глава 2) справедливо соотношение е = впр е„, и, значит, при каждом п Е»зь выполи ел» няется неравенство з > з„. Из сказанного, очевидным образом, вытекает следующее предложение. ° Теорема 2.1. Пусть [х„]„еп„есть числовой ряд, все члены которого есть неотрицательные вещественные числа. Для того чтобы этот ряд был сходящимся, необходимо н достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена сверху. Доказательство теоремы содержится в рассуждениях, предшествующих ее формулировке.
° 2.1.2. Пусть даны сходящиеся ряды [хи]ив~, и [уи]иеи»,, и пусть 1и = ~~ У»и и»=и+» и»о»и+1 есть остатки этих рядов. Имеем: ги - О и 1„-+ О при п -+ со. Представление той или иной величины в виде суммы ряда может использоваться как средство для вычисления этой величины. Естественно, что среди возможных представлений величины в виде суммы ряда с точки зрения вычислительной математики наибольший интерес представляет то представление, для которого остаточный член ряда стремится к нулю как можно быстрее. Говорят, что ряд [х„]иен» сходится быстрее ряда [уи]иен», если справедливо соотношение: г„= о(1„) при и — оо. В этом случае будем также говорить, что ряд [у„]„еп» сходится медленнее ряда [х„]„езь . ° Теорема 2.2.
Пусть [х„]„еи» и [у„]„язв есть сходяпшеся числовые ряды с неотрицательными членами. Тогда если х„= о(у„) лри и -» оо, то ряд [х„] ен» сходятся быстрее, чем ряд [у„]„ен,. 235 З 2. Признаки сходимостн рядов Доказательство. Предположим, что выполнены условия теоремы. Зададим произвольно е > О. По нему найдется номер Н Е Х такой, что при каждом и > Н выполняется неравенство х„< еу„. Так как х„> О и у„> О при всех п Н Ы», отсюда, очевидно, следует, что г„< е1„при каждом и > и.
В силу произвольности е > О тем самым установлено, что г„= о(1 ) при п — оо, что и требовалось доказать. ° Пусть [х„]„е~, и [у„]„ем, — расходящиеся числовые ряды с неотрин и дательными членами, о'„= 2 х и Т„= 2 у — их частные суммы. д~» ~=» Говорят, что ряд [х„]„язв расходится медленнее ряда [у„]„ем,, если о'„= о(Т„) при п — оо.
В этом случае говорят также, что ряд [у„]„ез~, расходится быстрее, чем ряд [х„]„ем„. Предоставляем читателю доказательство того факта, что если расходящиеся числовые ряды [х„]„ен, и [у„]„ен, таковы, что х„> О и у„> О при всех п Е Х» и х„= о(у„) при и -~ оо, то ряд [х„]„явь расходится медленнее ряда [у„]„ен, . 2.2. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ЛЯ РАСПОЗНАВАНИЯ СХО Я ИХСЯ И РАСХО Я ИХСЯ РЯ ОВ Вопрос о сходимости или расходимости того или иного ряда во многих случаях можно решить, сравнивая его с другими рядами, сходимость или расходимость которых известна.
Здесь мы докажем утверждения, с помощью которых обычно осуществляется такое сравнение. ° Лемма 2.1. Пусть [х„]„ез~„н [у„]„ен, есть вещественные числовые ряды, каждый из которых имеет определенную сумму, конечную или бесконечную. Тогда если для каждого п Е Х» выполняется неравенство х„ < у„, то Доказательство. Положим о'„= 2 х; и Т„= 2 у; при каждом 1=» 1=» п е 1"«». Из условий леммы, очевидно, вытекает, что о„< Т„для лю- бого п. Отсюда в силу теоремы о предельном переходе в неравенстпве (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
