1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для всякого сходящегося ряда любой ряд, получаемый из него изменением конечного числа членов, также является сходящимся. Если ряд расходится, то ряд, получаемый из него изменением конечного числа его членов, также является расходящимся. Доказательство.
Пусть ряды [х„]„ез~„и [у„]„е~, таковы, что х„~ у„лишь для конечного числа значений и. Тогда найдется номер т такой, что при каждом и > т имеет место равенство х„= у„. Для этого т ряды з 1. Определения. Общие сведения о рядах 225 где и Е г1».
Величина г„называется п-м осгватиом ряда [х„]„ен,. Согласно теореме 1.2 имеем з= ~> х =з„+т„ ири всех и Е М». При каждом и Е 1з» верно равенство г„= з — з„. При и -~ оо последовательность з„ -~ з, откуда следует, что ㄠ— О при п- О. Последовательность (г„) „ен, характеризует «скорость», с которой частные суммы ряда приближаются к его сумме. Приведем некоторое простое утверждение об операциях со сходящимися рядами. (ахь+(3у„) = о~~> хь+13 ~» у„. (1.4) п=1 3 а м е ч а н и е. Свойство суммы ряда, выражаемое равенством (1.4), называется ее линейностью.
Доказательство теоремы. Положим з„= 2, х;, 1„ в=» и„=,) (ах; +13у;). Тогда при каждом и, очевидно,.и„= аз„+ Ы» В силу условия теоремы существуют пределы 1пп 1„=1. и-~сю Бп1 з„=з и ь ьь Положим и = аз +,31. Тогда при каждом и б 1З1» имеем [и„— и[ = [а(з„— з)+ Я1„— М)] < ]а[[э„— з]+ [Р[[~„— 4. При и — оо имеем [з„— з[ -+ О и ]̄— й[ — О. Отсюда вытекает, что ]и„— и] ~ О при и -+ О, т. е. 1пп и„= и.
Теорема доказана. ° ь оо 1.1.5. Пусть Х и Ъ' есть нормированные векторные пространства. Напомним (см. п. 2.3 главы 6), что отображение Ь: Х вЂ” У называется линейным, если для любых двух векторов х, у Е Х и любых чисел а, ~3 Е К имеет место равенство Т(ах+ 13у) = оТ(х) + 13й(у).
° Теорема 1,З. Пусть [х„]„ен, и [у„]„ен, есть сходящиеся ряды в нормированном векторном пространстве Х. Тогда для любых чисел а,13 Е К ряд [ах„+ Ду„]„еы, также сходится. При этом имеет место равенство Гл. 11. Теория рядов Для произвольного линейного отображения определена величина [Щ[ = апр [[Цх)[[т, !!*4~я<~ 226 называемая нормой линейного огаображенияХ.
Линейное отображение Х: Х -~ У называется ограниченным, если его норма конечна. Если Х: Х вЂ” ~ У есть ограниченное линейное отпображение, то для всякого вектора х б Х выполняется неравенство Щх)[[т < [Д[[[х[[к. (1.5) Цх„) = Х ~~~ х„ Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим а С,'О г„= ~~> х„, з = Йп г„= ~~~ х„. и со ;~ь аюЬ Согласно определению суммы ряда имеем [[з„— г[[х -~ О при п — оо. При каждом н > х имеем Цз„) — Цг) = Цг„— з), и, значит, [[Цг„) — Цг)[)т = [[Цг„— з)[[ч < [Щ[[[г„— г[[х.
Отсюда следует, что [[Цг„) — Цз)[)т -~ О при и — оо и, следовательно, Цг) = 1пп Цг„). В силу линейности Х при каждом п й М имеем а а Цз„) = Х ~~~ х„= ~> Цх„) и, таким образом, мы получаем, что Х ~ х„= Цг) = Бгп ~~> Цх„) = ~~~ Цх„). а=а ю=ь п=ь Теорема доказана. ° ° Теорема 1.4, Пусть Х и Ъ' есть нормированные векторные пространства, Х: Х -+ я' — ограниченное линейное отображение. Если [х„[„ен„есть сходящийся ряд в векторном пространстве Х, то ряд [Цх„)]„е~, в пространстве я также сходящийся. При этом з 1. Определения. Общие сведения о рядах 227 1.2. ПРИМЕРЫ СХО Я ИХСЯ И РАСХО Я ИХСЯ РЯ ОВ Пример 1.
Ряд, все члены которого равны нулю, очевидно, является сходящимся, и его сумма равна нулю. Пример 2. Пусть Х есть векторное нормированное пространство. Ряд [х„б Х]„ен„, все члены которого равны некоторому ненулевому вектору а пространства Х, является расходящимся, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости ряда, которое дается теоремой 1.1: п-й член ряда не стремится к нулю при а — ~ оо. Пример 3. Если ряд [х„Е Х]„еи„таков, что лишь конечное число его членов отлично от нуля, то он является сходящимся. При этом если т > /с таково, что х„= О при любом и > т, то (1.6) Действительно, ряд [х„]„> +~ сходится, поскольку все его члены равны нулю.
Таким образом, один из остатков ряда [х„]„ев~„ является сходящимся рядом. Согласно теореме 1.2 отсюда следует, что данный ряд сходится. При этом Последняя сумма справа равна нулю, откуда и вытекает равенст- во (1.6). Пример 4. Пусть векторное пространство Х есть множество всех комплексных чисел С.
Ряд [аг"]„>о, где а и г — произвольные комплексные числа, причем а ~ О, называется геометпрической прогрессией, число г называется энаменатиелем этой прогрессии. Применяя известную из школьного курса математики формулу для суммы членов конечной геометрической прогрессии, получим, что при г~1 а а „+~ з„ = р аг — — г 1 — г 1 — г т=о Если [г[ < 1, то [г"+ ] = [г["+~ — ~ О при и — ~ оо, откуда следует, что если [г] < 1, то частные суммы геометрической прогрессии имеют предел, равный . Таким образом, ряд [аг"]„>о является сходящимся 1 — г при ]г[ < 1.
При этом ~ аг" = =о Гл. 11. Теория рядов 228 Предположим, что !г! > 1. Тогда при каждом и имеем !аяв! = )а!!х!" > )а! > О. Отсюда следует, что ахв не стремится к нулю при и — оо, и, значит, в случае, когда !х! > 1, для ряда [ахв]„еи„где а ~ О, не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.
1.3. ПгизнАк Коши — Боль Ано схо имости ря А 1.3.1. Далее Х означает произвольное банахово пространство. Представим определение фундаментальной последовательности в форме, более удобной для применения в теории рядов. ° Лемма 1.1. Для того чтобы последовательность (х„)„ем, точек нормированного векторного пространства Х была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы для всякого в > 0 можно было указать номер й > Й такой, что для любого и > й выполняется неравенство !!х„— хя!! < в. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть (х„)„еа~„есть фундаментальная последовательность.
Зададим произвольно в > О. По нему найдется номер й > и такой, что для любых пз > й и пз > и выполняется неравенство !!х„„— х„,)! < в. Полагая п~ —— й, получим, что для всякого и > й выполняется неравенство )!х„— хв!! < в. Необходимость условия леммы, таким образом, доказана. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия. Предположим, что последовательность (х„)„>ь удовлетворяет условию леммы. Зададим произвольно в > О. Положим в~ —— в/2. Тогда в силу предположения найдется й такое, что если и > и, то !!х„— хв!! < вм Возьмем произвольно значения п~ > и и пз > п. Тогда получим !!х~д хпв!! < !!Хв~ хв!! + !!хв хая!! < В1 + е1 = Е Таким образом, для любых п~ > й и пз > и выполняется неравенство )!х„, — х„,!! < в.
Так как в > 0 произвольно, то тем самым доказано, что последовательность (х„)„ез~, является фундаментальной. Лемма доказана. ° 1.3.2. Применяя критперай Коши — Больцапв сушеспьвовапия предела последвватаельпости (см. главу 9) к последовательности частных сумм 229 З 1. Определения. Общие сведения о рядах ряда, получаем следующий критерий сходимостпи ряда в банаховом простпранстпве. ° Теорема 1.3 (признак Коши — Больцано сходимости ряда). Для того чтобы ряд [х„]„ез~, в балахоном пространстве Х был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > О можно было указать номер т > Й такой, что для любого номера п > тп выполняется неравенство а х 1=пав+1 Доказательство.
Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что ряд [х„[„е~, сходится. Тогда последовательность его частных сумм (в„)„ез~, является сходящейся и, значит, эта последовательность фундаментальная. Зададим произвольно е > О. Тогда согласно лемме 1.1 по нему найдется номер т > Й такой, что для всякого номера и > т имеет место неравенство [[з„— в [[ < е, т. е. и х. = [[в„— в [[ < с. Необходимость условия теоремы доказана.
Покажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что для всякого е > О можно указать номер тп такой, что для всякого и > т, и Е Мь, < е. х. 1=ш+1 Сумма, стоящая здесь слева, равна разности в„— в . Таким образом, для всякого е > О можно указать номер т такой, что для любого п > т, и Е Мь, выполняется неравенство [[в„— в [[ < е. Согласно лемме 1.1 отсюда вытекает, что последовательность (в )„ещ, является фундаментальной и, следовательно, сходящейся.
По определению, это означает, что рассматриваемый ряд сходится. Теорема доказана. ° 1.3.3. Выделим класс рядов, сходимость которых следует из сходимо- сти некоторого числового ряда. 230 Гл. П. Теория рядов ° Теорема 1.6. Пусть [х„]„ен„есть ряд в банаховом пространстве Х. Тогда если числовой ряд []]х„]]]„ен, сходится, то ряд [х„]„езь также является сходягцнмся. При этом имеет место неравенство х„< 1 []х„]!. п=п п=ь (1.7) Лля любого номера и > т имеем < ",1 ' []х1]! < е. 1=тих+1 Так как е > 0 произвольно, то тем самым установлено, что для ряда [х„]„ен, выполнено достаточное условие сходимости теоремы 1.5.
Следовательно, данный ряд сходится. При каждом и Е Хь имеем нера- венство х; < 1 ]]х1[!. Переходя к пределу при и оо, получим неравенство (1.7). Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Ряд [х„]„ен, в балахоном пространстве Х называется абсолютно сходящимся, если для него сходится числовой Ряд []]хп]]]пяип ' Пример. Пусть Х есть произвольное банахово пространство. Как было установлено в главе 9, множество М У(Х, У) всех ограниченных линейных отображений балахона пространства Х в банахово пространство Ъ' является банаховым пространством. Пусть |: Х -+ Х есть ограниченное линейное отображение пространства Х в себя. Определим последовательность отображений Ь", полагая Ь1 = Ь. Если для некоторого и Е 1"! определено Ь", то полагаем Доказательство. Предположим, что для ряда [х„]„ен, числовой ряд [[]х„[]]„ен, является сходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
