1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 44
Текст из файла (страница 44)
10.44. Пространство квадратных матриц порядка л отождествим естественным образом с И" . Пусть У С К™ — открытое множество, Т: У— 2 К" . Предположим, что отображение Т дифференцируемо в точке хо, причем беСТ(хо) ф О. Показать, что тогда отображение Я: х + Т 1(х) (Т 1(х) обозначает матрицу, обратную к Т(х)): а) определено в некоторой окрестности точки хо; б) дифференцируемо в точке хо, при этом для всякого векторами справедливо равенство дьЯ(хо) = -Т 1(хо)дьТ(хо)Т 1(хо). 216 Гл. 10. Основы гладкого анализа 10.45. Пусть Я = [а1,61] х [аз,бз] х ° х [а„,б„] — п-мерный сегмент. Предположим, что функция г': Я вЂ” К имеет в Я частные производные е- -, 5;"-,...,,— и существует постоянная М такая, что ~ у (х)~ < М для ! аг [У,1 всех х Е Я и для всех 1 = 1,2,...,п.
Доказать, что функция 1' равномерно непрерывна на Я. 10.46. Пусть даны область П+ пространства КЗ, состоящая из всех точек (х, у, х), для которых х > О, у > О, х > О, и числа а > 6 > с > О. Доказать, 1 2 2 что уравнение Ля — -+ Лк-б+ Л*- — — 1 = 0 для любой точки (х, у, х) Е П+ имеет три корня Л1, Лз и Лз таких, что Лз > а > Лз > Ь > Л1 > с. Доказать, что отображение (х, у, х) ~-~ (Л1, Лз, Лз) есть диффеоморфизм класса С области Ь1+ (это отображение называется эллиптической системой координат в П+).
з з (Указание: выразить х, у, з через Л1, Лз и Лз.) 10.47. Пусть П С К" — открытое множество, г': П вЂ” К" — отображение клааса С (П). Предположим, что 0 Е П, Х(0) = 0 и д~х(0) = О. Доказать, что тогда найдется б > 0 такое, что г" есть сжимающее отображение шара В(О,б) в себя.
10.48. Даны открытое множество П С К" и отображение Г': П вЂ” К" класса С (с1). Предположим, что 0 Е с1 и г(0) = О. Доказать, что если дифференциал функции г' в точке 0 есть сжимающее отображение пространства К" в себя, то найдется б > 0 такое, что )' есть сжимающее отображение в себя шара В(О,б) С К". 10.49. Пусть У С К" — открытое множество такое, что точка 0 Е Ь1, и У: П вЂ” ~ К" — отображение класса С (П), где т > 1. Предположим, что у(0) = 0 и а'уо = 0 для всех г = 1,2,...,т — 1.
Пусть б > 0 таково, что г" есть сжимающее отображение шара В(О,б) в себя (см. 10.47). Пусть хо — произвольная точка шара В(0, б) и (хь)ь — о 1 з — последовательность, получаемая из ха применением процесса итераций, т. е. хо— данная точка, хе+1 — — Дхь) при каждом 6. Доказать, что справедлива следующем оценка быстроты сходимости процесса итераций. При каждом 6 имеем ]хь] < РЛ~ Д ~1, Р= сопв1, где 0 < Л < 1, т = сопвз. 10.50. Пусть 1': [а, Ь] — К есть неотрицательная выпуклая функция класса С .
Зададим в отрезке [а, 6] произвольным образом точки хо = 0 < х1 < 1 < хз « ' хю = Ь~ и пусть Мо = (хо~У(хо))~М1 = (х!~У(х1))~ ° ° ° ...,Мо~ = (х~и,Дх~и)), А = (0,0), В = (Ь,О). Соединим последовательно точки Мо, М1,..., М„, 1, М,и отрезками, и пусть 51 — площадь сегмента, ограниченного отрезком М; 1М; и дугой М; 1М; графика функции у. Дою казать, что сумма Я = 2 Я1 будет достигать своего наименьшего значения 3=1 в том и только в том случае, если при каждом 1 = 1, 2,..., т — 1 касательная графика функции Г' в точке М; параллельна прямой М; 1М1+1. 10.51.
Пусть г': [а, Ь] — К есть положительная выпуклая функция класса С . Зададим в отрезке [а, Ь] произвольным образом точки хо = 0 < х1 < хз < « ° ° ° х, = 6. Пусть М; = (х;, у(х;)), 1 = О, 1,..., т — 1. В каждой точке М1 проведем касательную графика функции у. Пусть у; есть точка пересечения касательных графика в точках М; 1 и М;. Обозначим чхрез 51 плошадь Задачи 217 криволинейного треугольника, ограниченного дугой М; 1М; графика 1 и отрезками М; 11'; и 1';Мь Пусть Я = 2 , 'Я;.
Доказать, что величина Я будет з=1 достигать минимума в том и только том случае, если точка М; является СЕрЕдИНОй ОтрЕЗКа Гз 1'Гз Прн З' = 1, 2,..., т — 1. 10.52. Дана функция пз переменных х;, 1= 1,2,...,зз, 1' = 1,2,...,п, и12 и и Г(х) = ~) ~~1 х; — и 1$еС ))х; ((. з=1 1=1 1) Найти минимум функции Р. 2) Вывести из результата неравенство Ада- мара 172 и и ~СС~~*'1~~~<-П Е4 10.53. Пусть У С К" — открытое выпуклое множество, зр: У вЂ” К вЂ” выпуклая функция. Для 1 Е Ки полагаем 1'(С) = вцр((х,1) — зр(х)).
1) Доказать, иЕСз что множество С' всех 1, для которых 1(С) < со, есть выпуклое открытое подмножество пространства К". 2) Доказать, что зцр((х,1) - 1"(1)) = 1а(х) 16 Сз для х Е У и впр((х,С) — Я)) = оо для х ~ У. 3) Определить функцию 1 в следующих случаях ((х,1) — скалярное произведение векторов х и 1): а) У = К, ~р(х) = ф; б) У = К", 1и(х) = ( ~х;~1з) з1з; в) У = В(0,1) С К", аз(х) = (х(2 — 1. 10.54.
Пусть У С К" — открытое множество, хо Е У. Функция зр: УК" (и — 1)-кратно дифференцируема в У. Доказать, что функция 1: х (Х вЂ” ХО)~1а(Х), ГДЕ О = (ЗЗ1, О2, Е, Ои), — МУЛЬтИИНДЕКС таКОй, Чта ~а~ = и, и-кратно дифференцируема в точке хо. 10.55. Даны и-мерный сегмент Я С К" и функция у: Я вЂ” К, принадлежащая классу С" Я). Оценить остаток формулы Тейлора 1 (ХО) ( )зз 0<(а)<г хо Е Я, через модули непрерывности производных порядка и.
10.56. Дана вещественная функция 1, определенная и и-кратно дифференцируемая на шаре В(хо, и) пространства К". Предположим, что 1(хо) = 0 и з1 Уиа = 0 при и = 1,2,..., и — 1. Доказать, что если ~В~У(х)~ < М, где М = сопзС < оо для всех х Е В(хо,г) и всех зз таких, что Ц = и, то для всех х Е В(хо, и) М г/2 ~пх)~ < "„~х-хоГ 218 Гл.
10. Основы гладкого анализа 10.57. Пусть |: У -+ К (У С К" — открытое множество) — функция класса С (У), Ь > 1, хо Е У. Зададим произвольно векторы Ь1,Ьг,...,Ьь Е К~ и положим л У(хо Ьм "г " Ьь) = = Е( 1) Е Х(*о+ Ьй + Ь1 + ''+ Ьсг) 1(11<" ((1(а 1) Доказать, что предел )1 ' ' ''''' — да ...дь дь Дхо). о гь 2) Доказать, что существует также предел Ь 1(хо,11Ь1,1гЬг, ° ° ° гьЬь) )пп ("1 1г " 11) о 11.(г .. ° (Ь (предел берется по множеству всех (11,(г,...,(а) Е К, для которых ь 11,11,...,11 ф О).
10.58. Пусть В = В(хо, г) — замкнутый шар в пространстве К". Функция 1:  — К непрерывна в В и дважды дифференцируема в шаре В = В(хо, г). о Предположим, что функция г' обращается в нуль на границе шара В(хо, г), а ее вторые производные ограничены. 1) Оценить величину ьпр ~~(х)~ через величину *6 В(*с,с) 1!г М1 = вцр *яве 2) Оценить ецр ~ 1'(х) ~ через величину *В В(*о г) Мг = вцр Глава 11 ТЕОРИЯ РЯДОВ ° Определение и простейшие свойства сходящихся рядов ° Необходимый признак сходимости ряда ° Признак Коши — Больцано схсдимости ряда ° Свойство ассоциативности суммы ряда ° Числовые ряды с неотрицательными членами ° Условия сходимости ряда, все члены которого неотрицательны ° Теоремы сравнения для распознавания сходя- шихся и расходящихся рядов ° Признак Коши— Адамара сходимости ряда ° Признак Паламбера сходимости и расходимости ряда ° Интегральный признак сходимости и расходимости ряда ° Признак Раабе сходимости и расходимости ряда ° Тождество Абеля.
Лемма Абеля ° Признаки Абеля и Пирихле сходимости ряда ° Сумма значений функции на произвольном бесконечном множестве и ее свойства ° Критерий суммируемости функции на произвольном множестве ~аналог критерия Коши — Больцано сходимости ряда) ° Теорема о повторном суммировании функции по бесконечному множеству ° Суммирование вещественных функций ° Суммируемость и понятие коммутативно сходящегося ряда ° Теорема Римана ° Теорема об ассоциативности суммирования по произвольному множеству (теорема о суммировании пачками) ° Кратные ряды ° Определение бесконечного произведения ° Признаки сходимости и расходимости бесконечного произведения ° Формула Валлиса ° Непрерывные (цепные) дроби ° Признаки сходимос ти и расхадимости непрерывных дробей ° Гл. 11. Теория рядов 220 й 1. Определения.
Общие сведения о рядах В этом параграфе приводятся определения ряда и суммы ряда и вводится класс сходягцихся рядов, т. е. рядов, для которых определено понятие суммы. Устанавливаются некоторые простейшие свойства сходящихся рядов, непосредственно вытекающие иэ определения. Применяя критерий сходимости Коши — Больцано для последовательностей, мы получаем здесь аналогичный критерий сходимости ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
