1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

главу 2), очевидно, следует ~~> х„= 1цп о'„< аппп Т„= ~ у„, а=» е~» что и требовалось доказать. ° ° Теорема 2.8 (первая теорема сравнения). Пусть даны веществен- ные числовые ряды [х„]„е~ц, и [а„]„ен, причем х„> О и а„> О для любых и. Тогда если ряд «а„]„ен сходится и х„= 0(а„) при и — ~ со, то сходится также и ряд [х„]„язв . 236 Гл. 11.

Теория рядов Доказательство. Предположим, что ряды [х„]„ен, и [а„]„еи удовлетворяют всем условиям теоремы. Тогда найдутся номер Ф > х, М > из и число К < оо такие, что для любого и > Л выполняется неравенство х„< Ка„. Так как ряд [а„]„еи, по условию, сходится, то сходится также и ряд [а„]„еи„, а вместе с ним и ряд [Ка„]„еи,„. При каждом и > Х имеем О < х„< Ка„, откуда в силу леммы 2.1 вытекает, что 0< ~ х„<К ~~) а„. а=И+1 а=И+1 Вторая сумма в этой последовательности неравенств конечна. Значит, конечна и первая, т. е.

ряд [х„]„ен„сходится, откуда в силу теоремы 1.2 вытекает сходимость ряда [х„]„ел~ . Теорема доказана. ° Следствие 1, Пусть [х„]„ен, и [а„]„ен есть числовые ряды с положительными членами. Предположим, что существует конечный прехи дел Бпз —. Тогда если ряд [а„]„ен сходится, то сходится также а„ и Ряд [ха]~еза ° Доказательство. Действительно, если существует конечный Та предел Бт —, то х„= 0(а„) при и — оо, и, значит, если ряд [а„]„еи а„ сходится, то, как следует из теоремы 2.3, сходится также и ряд [х„]„ен,, что и требовалось доказать. Т Следствие 2.

Пусть [х„]„еь~, есть ряд в банаховом пространстве Х. Тогда если сугцествует сходящийся числовой ряд [а„]„ен, все члены которого неотрицательны, такой, что [[х„][ = 0(а„) лри и — со, то ряд [х„]„ен, является сходящимся. Доказательство. Действительно, если ряд [х„]„ен, удовлетворяет всем условиям следствия, то, как следует из теоремы 2.3, числовой ряд [[[х [[]„ен, сходится. Отсюда в силу теоремы 1.6 вытекает, что ряд [х„]„е~ц„является сходящимся, что и требовалось доказать.

Т Т Следствие 3. Пусть [х„]„ЕИ, и [а„]„ЕН есть числовыерядысположительными членами. Предположим, что ряд [а„]„ед расходящийся. Тогда если существуют номер Ф Е Мы Ф Е г1 и число б > О такие, что при каждом и > Ф выполняется неравенство х„> ба„, го ряд [х„]„еи, расходящийся. Доказательство. Предположим, что ряды [х ] ем„и [а ] еи удовлетворяют всем условиям следствия.

Тогда для любого и > У имеем О < а„< (1/б)х„. Это означает, что имеет место соотношение а„= 0(х„) при и -+ оо. з 2. Признаки сходимости рядов 237 Если бы ряд [х„]„ен„был сходящимся, то в силу теоремы 2.3 ряд [а„]„ен также был бы сходящимся, что противоречит условию.

Следовательно, ряд [х„]„ен, расходится, что и требовалось доказать. Следствие 4. Пустьданы чисповыеряды [х„]„ен, и [а„]„ен сположнтепьнымн членами. Если ряд [а„]„Ен расходится и существует предел Ыщ — = Ь, причем Х > О, то ряд [х„]„ен, также является а„ расходящимся. Доказательство. Зададим произвольно число 6 такое, что О < 6 < Ь. В силу известных свойств предела (см. глава 2) найдется номер Х такой, что Л Е Мь и Ж е Х и для всех и > М выполняется ха неравенство — > 6. аи Таким образом, мы получаем, что ряды [х„]„ен„и [а ] ен удовлетворяют всем условиям следствия 3 и, значит, ряд [х„]„ен, является расходящимся, что и требовалось доказать.

У Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Положим у„= а„х„. В силу условия следствия найдется постоянная Ь < оо такая, что для всех и ~ Мь выполняется неравенство [а„[ < Ь. Отсюда следует, что ][у„][ < Цх„]] для всех и. В силу теоремы 2.3 получаем, что ряд Щу„]]]„ен, является сходящимся. Следствие доказано. ° Теорема 2.4 (вторая теорема сравнения).

Пусть даны числовые ряды [х„]„ен, и [а„]„ен, причем х„> О, а„> О для любого и > щах(х, т). Предположим, что существует номер Ф > щах1к, т) такой, что для любого и > Ф выполняется неравенство х„+1 а„+1 < —, х„ а„ (2.1) Тогда если ряд [а„]„ен сходится, то сходится также и ряд [х„]„ен,. Если ряд [а„]„ен является расходтцимся и существует номер Х > щах1х, т) такой, что для всех и > Л выполняется неравенство х„+1 а„+1 х„ а„ то ряд [х„]„ен„также расходящийся. Следствие б. Пусть [х„]„ен„есть ряд в банаховом пространстве, (а„)„ен, — ограниченная числовая последовательность.

Тогда если ряд [х„]„ен, абсолютно сходится, то ряд [а„х„]„ен, также является абсолютно сходящимся. 238 Гл. П. Теория рядов Доказательство. Из неравенств (2.1), очевидно, следует, что при всяком и > т выполняется неравенство х„»1 х„ — < —. а„+з а„ хп Последовательность ~ — ), таким образом, является убывающей, и Е'!з, начиная с и = Л. Следовательно, для всех и > Ф имеет место неравенство хл хФ вЂ” <— ! а„ав! хм откуда получаем, что 0 < х„< Ка„, где К = —, при любом ав! п > Ф.

Это означает, что х„= 0[а„) при п -+ оо. В силу теоремы 2.3 отсюда следует, что если ряд [а„]„еп, сходится, то сходится также и ряд [х„]„еи,. Первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе. Пусть ряды [х„]„еп, и [а„]„еи„таковы, что все их члены положительны и существует номер Х > шах1х,т) такой, что для любого и > Ф выполняется неравенство х„+! а„»1 х„ а„ Тогда если бы ряд [х„]„еп„был сходящимся, то, по доказанному, был бы сходящимся также и ряд [а„]„еу~,, что противоречит условию.

Следовательно, ряд [х„]„еп, не является сходящимся. Теорема доказана. ° Выбирая в теоремах 2.3 и 2.4 различным способом ряд [а„]„еп можно получить большое число различных конкретных признаков сходимости. Сделаем некоторые замечания относительно с авнительной силы любав, *! ! * ! ! м ~! вл ь.1~. Будем говорить, что сходимость (расходимость) ряда [х„]„ев~„устанавливается сравнение.и с рядом [а„]„еи, если для рядов [х„]„еи, и [а„]„еи выполняются все условия теоремы 2.3 (соответственно следствия 3 теоремы 2.3).

Пусть [а„]„ен и [Ь„]„еп есть сходящиеся ряды, причем а„стремится к нулю при и — оо быстрее, чем Ь„: а„= о(Ь„). Тогда если сходимость ряда [х„]„еи, можно установить, сравнивая его с рядом [а„]„еп, то ее можно доказать так же, сравнивая данный ряд с рядом [Ь„]„еи . При этом существуют ряды, сходимость которых устанавливается сравнением с рядом [Ь„]„е!ч, но не может быть доказана з 2. Признаки сходимости рядов 239 Ь„ 1пп — > О.

с а„ Ясно, что если ряды [а„]„е~ и [Ь„]„ен с положительными членами таковы, что а„м Ь„при п — оо, то признаки сходимости, основанные на сравнении с этими рядами, эквивалентны. Точно так же в этом случае являются эквивалентными и признаки расходимости, основанные на с авнении с этими я ами. 2.3. ПРизнАки Коши — А АМАРА и АлАмнкРА схо имости И РАСХО ИМОСТИ РЯ А Здесь мы установим признаки сходимости и расходимости, основанные на с авнении а с геомет ической п ог ессией. ° Теорема 2.5 (признак Коши — Адамара о сходимости и расходи- мости ряда).

Пусть дана последовательность (х„)„ен, векторов банахова пространства л., где и > О. Определим по ней число т(х), полагал йгп зир Цх„[. а Оо (2.2) сравнением с рядом [а„]„ен . Действительно, если х„ = 0(а„) при п -+ оо, то, так как а„ = в(Ь„)при и — оо, то, значит, х„ = 0(Ь„)при п — оо. (Можно утверждать даже, что х„= о(Ь„) при п — оо.) Ряд [Ь„]„ен представляет пример ряда, сходимость которого может быть установлена сравнением с рядом [Ь„]„ен, но не может быть доказана сравнением с рядом [а„]„ен . Это означает, что, используя вместо [а„]„ен ряд [Ь„]„ен, мы получим более сильный п изнак Таким образом, мы получаем, что чем медленнее стремятся к нулю члены ряда [а„]„ен„, тем сильнее признак сходимости, основанный на сравнении с этим рядом! Аналогично, пусть [а„]„ен и [Ь„]„ен , где а„ > О и Ь„ > О при всех и Е Ы, есть расходящиеся числовые ряды, причем а„= о(Ь„) при и — оо.

Тогда если расходимость ряда [х„]„ен можно доказать, сравнивая его с рядом [а„]„ен„, то того же результата можно добиться путем сравнения ряда [х„] ен с рядом [Ь„]„ен . Это показывает, что чем медленнее расходится ряд [а„]„чье, тем сильнее признак расходи- мости, основанный на сравнении с этим рядом. Будем говорить, что числовые последовательности (а„)„ен и (Ь„)„ен асимптвтически эквиваленгпны, и писать а„ж Ь„при п-+со, если одновременно а„= 0(Ь„) и Ь„= 0(а„) при п — ~ оо. Это условие выполняется, например, если существует конечный предел 240 Гл. 11.

Теория рядов Справедливы следующие утверждения: 1) если у(х) < 1, то ряд [х„]„ен, сходится, и притом абсолютно, т. е. сходятся числовой ряд [[х„[]„ян,, 2) если у(х) > 1, то п-й член ряда [х„]„ен, не стремится к нулю лрн п -+ оо н ряд расходится, 3) если у(х)'= 1, то ряд [х„]„ен„может быть как сходящимся, так н расходящимся. Доказательство, Рассмотрим сначала случай у(х) < 1. Зададим произвольно д такое, что 7(х) < д < 1. Тогда в силу известных нам свойств верхнего предела найдется номер б такой, что при каждом и > б выполняется неравенство ~уу[х„! < д.

Отсюда следует, что ]х„! < д" при и > и. Так как числовой ряд [д"]„еа~, является сходящимся, то, как вытекает из теоремы 2.3, сходится также и ряд [[х„[]„еп„. Первое утверждение теоремы тем самым доказано. Пусть у(х) > 1. В силу известных свойств верхнего предела найдется строго возрастающая последовательность номеров (п„)„еи такая, что у(х) = Бш "фх„„!. Тогда если у(х) > 1, то при достаточно больших значениях и ~ Хо "И".! >1 Для таких значений и очевидно [х„! > 1.

Таким образом, из последовательности членов ряда [[х„[]„ен, выделена подпоследовательность, не сходящаяся к нулю. Это означает, что для данного ряда не выполняется необходимое условие сходимости и, значит, ряд расходится. Чтобы доказать утверждение 3 теоремы, мы должны привести примеры сходящихся и расходящихся рядов таких, что Пш Ях„! = 1.

Характеристики

Список файлов книги