1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В этом параграфе приводятся два признака сходимости рядов, которые позволяют в некоторых случаях устанавливать сходимость рядов, не являюшихся абсолютно схадяшимися. Доказательство их основано на некотором алгебраическом тождестве Абеля, которое представляет собой аналог правила интегрирования по частям для конечных сумм. Это тождество потребуется нам в будушем при изучении свойств степенных рядов.
248 Гл. 11. Теория рядов "и "и = ~~~ ПпЬп "а+1) доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим У„= 2, иь. Тогда найдетсяЬ < оо такое, что ]У„] < Ь для всех и. я=о В силу леммы 3.1 для любого и Е М имеет место равенство Я„= ~ иьиь = У„о„+ ~ Уь(оь — оь~.~). Так как и„ -+ О при п — оо, а последовательность (У„)„еп, в силу условия 1 ограничена, то У„о„ - О при п — оо. Так как последовательность (о„)„ен, монотонна, то разности о„— о„.~~ имеют один и тот же знак. Для каждого и имеем ~~> [оь — оь+~] = и ~~ (оь — оь~.~), я=о я=о где о = 1 в случае, если последовательность (о„) убывающая, и о = — 1, если эта последовательность возрастающая.
Имеем и (оь — оь+~) = (оо — о~)+ (о~ — оз)+ '''+ (о — и -и) ь=о В сумме справа все внутренние члены сокращаются, и мы получаем в результате п ~~) ]оь иь+Й] = а(ио о +~) = ]по па+~[. ь=о (3.2) Так как о„.~~ -+ О при п -~ оо, то правая часть равенства (3.2) при и -+ оо стремится к конечному пределу, равному ]ос]. Следовательно, мы получаем, что ряд [о„— о„~.~]„е~, абсолютно сходится. ° Теорема 3.1 (признак Дирихле сходимости числового ряда). Пусть даны числовые последовательности (и„)„ен, и (о„)„еп,. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) последовательность частных сумм ряда [и„Е К]„е~, является ограниченной; 2) последовательность (о„Е И)„ен, монотонна, причем Бт о„= О.
Тогда числовой ряд [п„о„]„ен, является сходящимся. При этом имеет место равенство з 3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда 249 Так как последовательность (У„)„ен, является ограниченной, то на основании следствия 5 теоремы 2.3 из доказанного следует, что ряд [У„(е„— е„.~1)]„ен, сходится и, значит, существует конечный предел Бш Еиь(сь — еь+ ). (3.3) Принимал во внимание, что е„- О при п — оо, из равенства (З.З) заключаем, что предел а Бт ~) и е. (3.4) 1=о существует и конечен, так что ряд [и„е„]„>о является сходящимся. Из равенства (3.4) следует,что имеет место равенство Следствие 2 (признак Лейбница сходимости ряда). Для всякой монотонной последовательности (е„) такой, что Бп1 е„= О, ряд [( — 1) е] ен (3.5) является сходящимся.
Теорема доказана. ° Следствие 1 (признак Абеля сходимости ряда). Пусть даны числовые последовательности (и„Е К)„ен и (е„Е К)„ен. Предположим, что выполнены следующие условию а) ряд [и„Е К]„ен сходится; б) последовательность (е„Е К)„ен монотонна и имеет конечный предел. Тогда числовой ряд [и и„]„ен является сходящимся. Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Положим а = Бт е„. Последовательность (е„— а)„ен, очевидно, является монотонной, и ее предел равен нулю. Так как ряд [и„Е К]„ен, по условию, сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
В силу теоремы 3.1 отсюда вытекает сходимость ряда [и„(п„— а)] ен. Ряд [аи„]„ен является сходящимся. Отсюда вытекает, что сходится ряд [и„(е„— а) + аи„]„ен. Осталось заметить, что н„(е„— а) + аи„= м„е„ при всяком и Е М. Следствие 1 доказано. ч Гл.
П. Теория рядов 250 Доказательство. Данное утверждение есть частный случай теоремы 3.2 при и„= ( — 1)" '. Чтобы доказать сходимость ряда (3.5), достаточно показать, что последовательность (У б К)„егг частных сумм ряда (( — 1)" ']„ен является ограниченной. Имеем У1 — — 1, Уз — — О, Уз —— 1 и, вообще, У„= 0 при четном и и У„= 1, если и нечетно. Таким образом, У„принимает только два значения: 0 и 1. Это означает, что последовательность (У„Е К)„епг является ограниченной. Следствие 2 доказано. Пример.
Рассмотрим ряд 1 + + +.. ° ° ( 1)п-1 (3.6) Применяя признак Лейбница, получим, что этот ряд является сходя- щимся. Так как ряд 1 1 1 1+ — + — + ° ° + — +..., 2 3 и как было показано выше (см. З 2 этой главы), расходится, то, значит, ряд (3.6) не является абсолютно сходящимся. 3.2. ПРИМЕР НА ПРИЛОЖЕНИЕ РИЗНАКА ИРИХЛЕ СХО ИМОСТИ РЯ А Приведем пример на приложение теоремы 3.1 предыдущего раздела. ° Теорема 3.2. Пусть (ап)„еег, есть произвольнал убывающая последовательность вещественных чисел такал, что Бщ а„= О. Тогда рял ао — + а1соех + аз соя 2х+ ° + а„совах+... 2 сходится для всякого х ~ 2тп, где и — целое число.
Доказательство. Функция соепх, где и е гз, периодическая, и число 2т является ее периодом. Поэтому достаточно исследовать вопрос о сходимости ряда, указанного в формулировке теоремы в промежутке (0,21г). Положим 1 Е„(х) = — +соех+сое2х+ +соеих. 2 3. П изнаки Дн ихле и Абеля сходимости яда Вычислим эту сумму. Для произвольных х и т имеем 251 х Г 1~ еш(т+1)х — в1птх = 2еш — сов ~т+ — ( х. 2 1, 2( 1 Отсюда, полагая т = и — —, получим 2' еш и+ — х вш и — — х соя пх— 2яш— 2 в1п— 2 2 Полагая в этом равенстве и = 1,2,..., и и складывая полученные ра- венства почленно, в результате будем иметь вш ~п+ — ( х 2 1'] и в1п п+— сое йх = вш я=1 х 2еш 2 х 2 в1п— 2 Отсюда вш (и+ — ) х Е„(х) = 2 в1п— 2 (3.7) 6 х 6 Пусть 6 > 0 таково, что 6 < х < 2к — 6.
Тогда — « — к —— 2 2 2 х . 6 и, значит, вш — > вш —. Мы получаем, что для всякого х б (6,2л — 6) выполняется неравенство (3.8) вш— 2 Пусть х Е (0,2х). Тогда найдется 6 > 0 такое, что 6 < х < 2к — 6. По доказанному, для данного х последовательность (Е.(х))авен является ограниченной. Воспользуемся результатом теореиы Дирих- 1 ле (теорема 3.1), полагая в ней и„= сов пх при и > О, ио и и„= а„.
Последовательность (а„)„ещ согласно условию теоремы монотонна и имеет предел, равный нулю, а последовательность частных последовательности (и„)„еи ограничена для всякого х такого, что отх ношение — не является целым числом. 2к Все условия признака Дирихле, очевидно, выполнены, и теорема тем самым доказана полностью. ° Гл. 11. Теория рядов 252 З 4. Сумма значений функций на произвольном бесконечном множестве Для всякой функции, определенной на произвольном конечном множестве н принимаюшей значения в банаховом пространстве, определено, чтб есть сумма значений функции на этом множестве. В этом разделе показывается, каким образом это понятие может быть распространено на случай функций, имеюших областью определения произвольное множество.
Сумма значений функции па бесконечном множестве есть в некотором смысле предел сумм на конечных подмножествах области определения функции. Функция называется суммируемой по некоторому подмножеству области ее определения, если сумма значений этой функции по данному подмпо- жеству определена. В случае если область определения функции есть множество всех натуральных чисел и функция вешественпа, то сумма функции по данному мно- жеству определена в том н только в том случае, если ряд, члены которого есть значения данной функции, является абсолютно сходяшнмся.
4.1. ОПРЕ ЕЛЕНИЕ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ БЕСКОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ И ЕЕ СВОЙСТВА Фиксируем произвольно множество Т и банахово пространство Х. Пусть дана функция и: Т -«Х. Ее значение на произвольном элементе 1 множества Т далее обозначается символом ио (В тех случаях, когда это окажется более удобным, будем применять обычное обозначение и(«).) Пусть Е есть произвольное конечное подмножество множества Т. Сумма значений функции и: Т -«Х в точках множества Е обозначается символом ,') и,.
Не исключается случай, когда множество Е пусто. Е Если Е = о, то полагаем 2 и~ — — О. Е Формально, величина 2, из может быть определена следующим об- Е разом. Пусть Е непусто и п — число элементов Е. Зададим произвольно биективное отображение отрезка $„= 11,2,..., п) множества всех натуральных чисел «"«на множество Е. Пусть |; есть тот элемент множества .Е, который отвечает «б з„при этом отображении. Тогда «« из — — ~ ии и «=1 з 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 253 В силу свойспзва номмупзагпивностпи операции сложения злеменгпов векторного простраиспзва (см. главу 6) сумма справа, очевидно, не зависит от выбора биективного отображения,е б 1 8; Е Е.
Всякое такое отображение называется нумерацией конечного множества Е. Совокупность всех конечных подмножеств множества Т далее будем обозначать символом .Ж'(Т). Пусть Е1 и Ез есть произвольные конечные подмножества Т. Их объединение, очевидно, также является конечным множеством. Если Е1 и Ез не имеют общих элементов, то выполняется равенство и1 — — ~~~ и~ + ~~~ ио Е1онр Е, Ер Говорят, что функция и: Т -+ Х суммируема по множеству Т, если существует вектор а б Х такой, что для всякого е > О можно указать множество Е б .Ж'(Т), обладающее тем свойством, что для любого Е' Е .Ж(Т), содержащего множество Е, выполняется неравенство Вектор а, удовлетворяющий этому условию, называется суммой функции и по множеству Т и обозначается символом 2; ие или просто !ЕТ 2 , 'и,.
Если множество Т конечно, то для всякой функции и: Т -~ Х т величина а = ,") и, будет суммой функции и по множеству Т также т и в смысле последнего определения. Действительно, в этом случае можно взять Е = Т. Тогда неравенство будет выполняться для любого е > О и для любого .Е' Э Е, содержаще- гося в Т, так как в этом случае Е' совпадает с Е. Отметим некото ые с в о й с т в а вве енного понятия с ммы нк ии на п оизвольном по множестве Т непос ственно вытекаю- е из оп еления.
° Теорема 4.1. Если функция и: Т - Х суммируема ло множеству Т, то ее сумма ло Т единственна. Гл. 1Е Теория рядов 254 Доказательство. Пусть векторы р Е Х и д е Х таковы, что каждый из них является суммой функции и по множеству Т. Требуется доказать, что векторы р и е совпадают. е Зададим произвольно е > 0 и положим е1 — — —. Согласно опреде- 2 лению суммы найдутся конечные множества Е~ С Т и Ез С Т такие, что если множество Е е Л,'(Т) содержит Еы то и1-р <еы 3ен а если Е Е М'(Т) содержит Ез, то АТЕЕ Положим Е = Е| 0 Ез. Множество Е конечно, Е1 С Е и Ез С Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
