1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Необходимость условия доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что функция и: Гз -+ -+ Х не является суммируемой по множеству Х. Докажем, что в этом 268 Гл. 11. Теория рядов случае найдется перестановка т множества Х такая, что ряд (и 1„1]„еи является расходящимся. Множество Е С Х будем называть Я(и,а)-множеством, если Е конечно и удовлетворяет следующему условию: для любого множества А б .с'(г1) такого, что А П Е = И, выполняется неравенство Согласно теореме 4.4 функция и: Х вЂ” Х суммируема по множеству 1з в том и только в том случае, если для всякого е > 0 можно указать множество Е С М, которое является Я(п, е)-множеством. По предположению, данная функция и: Р1 — Х не является суммируемой по множеству М.
Значит, существует с > О, для которого невозможно найти Фиксируем это значение е > О. Искомую перестановку множества Х определим по индукции. Одновременно построим некоторую вспомогательную строго возрастающую последовательность натуральных чисел (и„)„еи. Полагаем и1 — — 1 и т(1) = 1. Предположим, что для некоторого п Е Х число и„указано и значение т(п) определено для всех п б я„„, причем т отображает 1„„на себя взаимно однозначно. (Напомним, что символ 4 означает отрезок (и б Х ] 1 < и < Ц = = [1, й] П г1 множества всех натуральных чисел г1.) Отрезок 1„множества М не является Я(и,е)-якожесглвом, поскольку таких множеств вообще н е с у щ е с т в у е т согласно предположению.
Значит, найдется множество А б .Ж'(М) такое, что А П 1„„= О, и в то же время имеем (4.11) Множество А непусто, ибо сумма функции по пустому множеству равна нулю, и, значит, для пустого множества А неравенство (4.11) выполняться не может, поскольку, по условию, с > О. Пусть А = (,и1,дз,...,р,„). Полагаем величину и„+1 равной н а и б о л ь ш е м у из чисел р;, 1 = 1,2,...,г„. Очевидно, и„+1 > и„+ г„> ь„. Функция т определена для значений п < и„, причем т(и) < и„для всех таких п. Пусть а„есть отрезок множества Х, состоящий из всех к б г1 таких, что и„+ 1 < й < и„+1. З 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 269 Определим тЯ для й Е о„так, что т(и„+ 1) =,имт(и„+ 2) =,ию..., т(и„+ т„) = и„„ и т отображает промежуток а„на себя. Таким образом, т определено на отрезке 1„„., множества Х и отображает его на себя.
В силу принципа математической индукции описанные построения определяют некоторое биективное отображение т: М вЂ” Ы, которое при каждом и отображает на себя отрезок $„. Отображение т есть перестановка 1з. При этом для каждого п й 1з имеем Так как п -+ оо при и„- оо, то из доказанного вытекает, что для построенной перестановки ряда [и„]„ен принцип сходииосгпи Коши— Больцаио н е в ы п о л я е т с я и, следовательно, эта перестановка представляет собой расходящийся ряд.
Итак, если функция и: и б Х ~ и„б Х не является суммируемой по множеству Х, то некоторая перестановка ряда [и„]„ен представляет собой расходящийся ряд. Отсюда следует, что если любая перестановка данного ряда является сходящимся рядом, то функция и суммируема по множеству Я. Теорема доказана. ° Т Следствие. Для того чтобы числовой ряд [х„]„ен был коммутативно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы ол был абсолютно сходюцимся. Доказательство, Согласно теореме 4.8 ряд [х„]„ен является коммутативно сходящимся в том и только в том случае, если функция х: п Е М ~-~ х„б К суммируемапо множеству Ы.
Следствиетеоремы4.7 позволяет утверждать, что функция х: и б М х„й К суммируема по множеству г1 в том и только в том случае, если сходится ряд []х„[]„ен, т. е. если исходный ряд [х„]„ен является абсолютно сходящимся (определение абсолютно сходящегося ряда см. в п. 1.3).
Следствие доказано. Ъ' Имеет место следующая теорема, которую мы приводим без доказательства. ° Теорема 4.9 (теорема Римана). Если числовой ряд [х„]„еи сходится, но сходится не абсолютно, то для любого числа Л й Й существует перестановка ряда [х„]„ен, сумма которой равна данному числу Ь.
° Гл. 11. Теория рядов 270 4.5. ТЕОРЕМА ОБ АССО ИАТИВНОСТИ СУММИРОВАНИЯ ТЕОРЕМА О СУММИРОВАНИИ ПАЧКАМИ Пусть Х есть произвольное банахово пространство. ° Теорема 4.10 (теорема об ассоциативности суммирования или теорема о суммировании пачками). Пусть дано семейство множеств (В,),ез. Предположим, что множества В, попарно не пересекаются и Т = Ц В,. Тогда если функция и: Т -+ Х суммируема по мнозез жеству Т, то для всякого я Е В определена сумма 1,' ео Функция 1ен, з Е о' ~ 1 и~ суммируема по Я. При этом имеет место равенство Фен, Доказательство.
Пусть выполнены все условия теоремы. Суммируемость функции и по каждому из множеств В, имеет место в силу следствия 1 теоремы 4.4. Положим для з Е В р= ~) и, и г,= ,'~ ио ьет Требуется доказать, что функция з Е Я ~ г, е Х суммируема по Я, причем ~я8 — р='~ и,. вез 4ет Зададим произвольно е > О. Положим Е1 = е1'2. Согласно определению суммы найдется такое конечное множество Е С Т, что для любого множества'А Е,А~(Т), содержащего в себе множество Е, выполняется неравенство Пусть г С о' есть совокупность тех значений з е о', для которых множество В, пересекает Е, т. е. з 4.
Сумма значений функций на бесконечном множестве 271 ~*.=~(~ )=1:, вен вен ~ен, 1ЕЯ Согласно определению суммы по множеству (см. п. 4.1) найдется конечное множество Ео С Я такое, что для любого конечного множества А С 9 такого, что Ео С А, выполняется неравенство к.-к.~~ ' меА 3е<< Положим Е = Е О Ео.
Множество Е содержится в множестве Я, и Ео С Е. Отсюда следует, что Е -Е~< атее Зебр (4.12) Множество Е содержит в себе также множество Е, откуда вытекает, что ((~, — ~,~ < <,. ~4.13) сей зет Из неравенств (4.12) и (4.13), очевидно, следует, что имеет место нера- венство !)~ щ — ~ щ(! < 2~, = <, т. е. имеет место неравенство вен Для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы множество Н б .Ж'(Я) содержало в себе множество Г С Я. Так как е > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено, что р = 2 а„что и требовалось доказать. ° вез Множество Г конечно. Пусть Н есть произвольное конечное подмножество Я, содержащее в себе множество Г. Пусть ~ = Ц В,.
Очевидно, вен Я Э Е. Функция и суммируема по множеству Я. Так как Н конечно, то согласно теореме 4.3 имеет место равенство Гл. 11. Теория рядов В об ем сл чае з льтат тео емы 4.10 не п скает об ения. 272 То есть из того, что функция и суммируема по каждому из множеств ть„з б Я, а функция г: з Е Я ~-~ 2 и~ суммируема по Я, вообще го1ен, воря, н е с л е д у е т, что функция и суммируемапо Т. Однако в одном важном частном случае такое заключение может быть сделано.
Именно, справедливо следующее предложение. ° Теорема 4.11. Пусть дано семейство множеств (Л,),ез такое, что они попарно не пересекаются, и пусть Т = и В,. Предположим, что вез функция и: Т вЂ” К неотрицательна. Тогда имеет место равенство 3 а м е ч а н и е. Для сумм, стоягцих в левой и правой частях данного равенства, допускаются значения оо, так что суммируемость функции 1 ~-~ и~ по множеству Т здесь не требуется. Если хотя бы одно слагаемое слева равно оо, то и вся сумма считается равной оо.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Положим Т,=Яп„П,= ,'~ п„м=~ и,. Величина У, неотрицательна при каждом з. Действительно, если и, суммируема по множеству В„это следует из теоремы 4.6, а если и~ на множестве Л, не суммируема, то У, = оо > О. Отсюда следует, что величина М определена. Требуется доказать, что (4.14) Если хотя бы для одного з б Я функция и~ не является суммируемой по множеству Л„то У, = оо для этого з и, значит, в этом случае М = оо. В данном случае функция и~ не является суммируемой по множеству Т, ибо в противном случае согласно следствию 1 теоремы 4.4 она была бы суммируема по любому из множеств Л,.
Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае также А = оо и, значит, в этом случае равенство (4.14) верно. Теперь предположим, что функция и~ суммируема по множеству Я, при каждом з Е Я, так что У, < оо для любого з б Я. Зададим произвольно конечное множество Е С Я и положим Нк — — Ц Л,. АТЕЕ З 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 273 Так как функция и~ суммируема по каждому из множеств В„то, как следует из теоремы 4.3, она суммируема также и по множеству Ян. При этом Так как Вн С Т, то и~<А= ~) и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
