1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 57
Текст из файла (страница 57)
называют частными числителями цепной дроби (6.4); числа ум уз,... называют ее частными знаменателями. Наконец, уо называется нулевым звеном цепной дроби. хг Положим Ло = Ло(уо) = уо. Пусть 1ьг = Кг(уо, хы уг) = уо+ —. У1 Очевидно, 293 З б. Цепные дроби где Рг(Уо, хм Ум хг1Уг) = УоУгУг + Уохг + Угхг, Чг(ус~ хыуыхг>уг) = угуг + хг. Отбрасывая в (6.4) все члены, следующие за х„, получим хг Уо+ хг у + Уг+ Уз+— (6.8) Формально, цепная дробь есть математический объект, определяемый з алием числовых посл овательностей (х„)„>г и (уа)в>о и указанием правила, посредством которого из этих последовательностей получается некоторая третья последовательность (Я„)„>о. Чтобы описать правило, по которому определяются числа В„, введем некоторое вспомогательное понятие.
Функция г'(г) переменной г Е С называется дробно-линейной, если Аг+ В она допускает представление: Г(г) =, где А, В, С и,Р— Сг+.0' Агя+ Вг произвольные комплексные числа. Пусть г'(г) и С(г) = 1г+ 1 произвольные дробно-линейные функции. Тогда для всякого г Е г..' имеем А|а+ Вг А +В Ага+ В1 С +Р Сгг+ Рг Умножив числитель и знаменатель стоящей здесь дроби на Сгг + Ры получим [~( )) = где Ао = ААг + ВСы Во —— АВг + ВРг и, аналогично, Со = САг + РСг, Ро = СВг + РРг. Таким образом, мы получаем, что если функции Г и 6 являются дробно-линейными, то их суперпозиция Го 6 также есть дробно-линейная функция.
(В проделанных вычислениях предполагалось, что г таково, что все получаемые выражения имеют смысл, т. е. знаменатели получаемых дробей не обращаются в нуль.) Гл. 11. Теория рядов 294 Последовательность Л„ определяется следующим образом. Пусть (е )п>о и (Я„)„>о есть последовательности дробно-линейных функций, определенные следующим образом: ео(х) = ус+ х и при п > 1 еп(х) = — ", (6.9а) Уп+ х Яо(г) = ео(г) и при и > 1 Я„(х) = 5„1[е„(г)). (6.9Ь) (6.10а) (6.10Ь) Р = УпР -1+ хпР -2, пЕп = УаЮа-1 + Ха1Еа-2 ° Тогда Гс„= Я„(0). Величины В„называются подходя1ци.ии дробями цепной дроби (6.4).
Предположим, что заданы некоторые конкретные значения чисел Уо, У, х, где и = 1, 2,... Наша цель — определить, что означает бесконечное выражение, заданное формулой (6.4) для этих конкретных значений хп и уп. Прежде всего заметим, что если для некоторого и оказалось, что х„+1 — — О, причем х ~ О для всех т < п, тов этом случаевеличинаЯ„, отвечающая данному номеру и, принимается за значение бесконечной дроби (6.4).
Тогда саму дробь будем считать совпадающей с конечной дробью, определенной равенством (6.8). Если при вычислении подходяи4их дробей Л„возникает дробь, в знаменателе которой стоит нуль, то будем считать, что в этом случае цепная дробь (6.4) не определена.
Цепная дробь (6.4) называется сходя1цейся, если последовательность ее подходящих дробей (Гс„)пел имеет конечный предел. Пусть Гс есть этот предел. Тогда будем говорить, что бесконечная цепная дробь равна этому числу Я, и называть В значением цепной дроби (6.4). Теория цепных дробей весьма обширна, и здесь не представляется возможным осветить все ее аспекты.
Мы ограничимся тем, что определим некоторые простые условия сходимости цепной дроби и приведем примеры. Непосредственное вычисление величины Я„с помощью формулы (6.8), которая ее определяет, оказывается делом достаточно трудоемким. Следующая лемма устанавливает соотношения, позволяющие последовательно находить подходящие дроби для цепной дроби вида (6.4). ° Лемма 6.1. Пусть дана бесконечная цепная дробь (6 4). Пусть (~ а)а=-1,0,1,2,...~ ('ап)п= — 1,0,1 2, ЕСТЬ ЛОСЛЕЛОВатЕЛЬНОСТИ, ОПРЕЛЕЛЕН- ные условиями Р 1 = 1, 1д 1 = О, Ра — = уо, 9о = 1, и для всякого п>1 295 З б.
Цепные дроби Тогда лрн каждом и > 1 дробно-линейные функции Я„(х), определен- ные равенствами (6.9а) н (6.9Ь), выражаются формулами Рп 1я+ Р„ Ю-1 +Я ' (6.П) и и-я подходящая дробь цепной дроби (6.4) равна (6.12) Доказательство. Равенство (6.11), как показывает простая проверка, верно для и = 1. Предположим, что для некоторого и > 1 равенство (6.11) доказано. Тогда согласно определению имеем Уп+1+ Я Рп-1вп+1(г) + Рп и+11Я) Оп-1вп+1(п) + пи Хп+1 +9 Уп+1 + Я УмножаЯ числитель и знаменатель последней дРоби на Уз+1 + з, получим Рп + (у„+ Рп+ хп+1Рп 1) Рпх+ Рп+1 ~ +1(х)— Я„з+ (У„+1Я„+ Хп+Я„1) Япя+ Яп+1 Это есть равенство, получаемое, если в (6.11) заменить и на и + 1.
По индукции, таким образом, установлена справедливость равенства (6.11) для всех и. Полагая в равенстве (6.11) х = О, получим равенство (6.12). Лемма доказана. ° РЯ„1 — Р„Я„= (-1)" 1хгхг...хп. Доказательство. Положим Рп = Р„Я„1 — Р„Я„. Подставляя сюда выражения для Рп и Я„из равенств (6.10а) и (6.10Ь), получим Р„=(у„Р„1+* Р„~)Ю 1 — Р ~(уЯ -1+х О -г) = = хп(Р -гЯ 1 — Р -Я -г) = — хпР -1. ° Лемма В,2. Пусть цепная дробь задана равенством (6.4).
Предположим, что последовательности полнномов Рп и Я„определены, как указано в лемме 6.1. Тогда цря каждом и имеем равенство Гл. 11. Теория рядов 296 Отсюда по индукции заключаем, что Ра ( 1) хиха-1... хзР1 = ( — 1) х1х2... ха. Лемма доказана. ° Следствие 1. Пусть дана цепная дребь Х1 Х2 ха Уо+— У1 + У2 + + У» Пусть (Ва)„е»1 есть последовательность ее подходящих дробей, Р„ Л„= —, где Ра и Я„определяются равенствами (6.10а) и (6.10Ь).
п Тогда при каждом п Е Х имеют место равенства ( — 1) 1хзхз...х д й ( 1)п-2 х1х2 .. ° ха — 1У» 'и'пЯп -2 (6.13) (6.14) Доказательство. Имеем Ра Ра 1 РЯ„1 — Р„Я„ К ~-~ ОЮ-~ ( 1) х1х2 ° ° ° хи Па 11» — 1 (-1)а 2Х1Х2...Ха ~а-1 ~и-2— Ю.-А»-2 Складывал эти равенства почленно, будем иметь Пи па-2 ( 1) Х1Х2 ° ° ° Хп-1 ~ .ъ,-, + 'Еи<Еп-1 а-1 и-21 Ą— Х„ч'„2 = ( — 1) х1Х2. ха — 1 Равенство (6.13), очевидным образом, следует отсюда в силу равенства леммы 6.2. Теперь докажем равенство (6.14).
Применяя равенство (6.13), получим, что при каждом п > 2 имеем 'З 6. Цепные дроби 297 Воспользуемся равенством ч'„= У„Я„г+х„Я„г. Подставляя это выражение в числитель последней дроби, после очевидных преобразований получим 1)и-г хгхг .. х -гУп что и требовалось доказать. ч Следствие 2.
Предположим, что цепная дробь хг х„ Уо+— Уг+Уг+ +Уч такова, что х„> 0 для всех п н у„) 0 для любого и ) 1. Пусть (В„)„ен есть последовательность ее подходящих дробей. Тогда подпоследовательность (Вг„)„ен является строго возрастающей, последовательность (Вг„г)„ен — строго убывающей и при каждом и справедливо неравенство Вг„< Вг„ Доказательство.
Пусть выполнены все условия следствия. Р„ Пусть В„= —. Из равенств (6.10а) и (6.10Ь) следует, что знаменатели Д„подходящих дробей положительны для всех п > 1. В силу равенства (6.14) имеем при п > 2 х1хг... х„|у„ Числитель и знаменатель дроби, стоящей в этом равенстве, положительны.
Отсюда вытекает, что при п четном разность „— В„г положительна и, значит, последовательность (Вг„)„ен является возрастающей. При п нечетном (-1)" г = — 1, и мы получаем, что в этом случае В„> В„г. Этим доказано, что последовательность (Вг„г)„ен является убывающей. Из равенства (6.13) следует, что при и четном выполняется  — В„г < О, т. е. мы получаем, что Вг„< Вг„1 при каждом и. Следствие доказано. 298 Гл. 11. Теория рядов 6.2. ПРизнак Зкй кля схо имости килой коки Здесь мы установим некоторое достаточное условие сходимости бесконечной цепной дроби. Ограничимся случаем, когда все частные числители цепной дроби равны единице, а частные знаменатели положительны.
При этих предположениях мы установим условие сходи- мости цепной дроби, являющееся одновременно необходимым и достаточным. Отметим, что всяк ю епн ю обь можно п ев атить в обь все частные числители кото ой анны ини е. Действительно, пусть дана цепная дробь Х1 Х2 Хя Уо +— У1+ Уг+ +Уи Ее можно представить в виде Х1 Уо+ хг. У1 +— Я Разделив числитель и знаменатель дроби, являющейся вторым слагаемым в этом выражении, на Х1, получим выражение следующего вида: 1 Х1+ х~/х~ У1/х1 +— г В результате получим цепную дробь 1 Х21 Х1 хя Уо+ У1/Х1 + Уг + + Уя Последовательность подходяцих дробей для полученной цепной дроби совпадает с последовательностью подходящих дробей исходной цепной дроби.
Аналогично, делением числителя и знаменателя на хг/х1 можно обратить в единицу второй частный числитель и т. д. Ограничение, связанное с требованием положительности частных знаменателей, более существенно. Отметим, что для ряда важных примеров оно соблюдается. ° Теорема 6.1 (признак Зейделя сходимости бесконечной цепной дроби). Пусть дана бесконечная цепная дробь 1 1 1 Уо+— (6.15) У1 + У2 + + Уп Тогда если у„> 0 для всех и > 1, то для того, чтобы эта дробь была сходягцейся, необходимо и достаточно, чтобы ряд (6.16) У1 + У2 + ''' + Уя + ° ° был расходящимся.
З б. Цепные дроби 299 Доказательство. Пусть дана цепная дробь (6.15), причем выРп полнено условие теоремы: дп > 0 для всех и > 1. Пусть Я„= —, и и = 1, 2,..., есть последовательность подходящих дробей цепной дроби (6.15). В силу равенств (6.10а) и (6.10Ь) из п. 6.1 при каждом п имеем Рп = дпРп + Рп И ~„= д„~„1+д„ Далее, следствие 1 леммы 6.2 позволяет заключить, что при каждом и > 1 имеет место равенство ( 1)п-1 ߄— В„1 —— При каждом и имеет место равенство Лп =(Цп Л -1)+(о -1 —  — г)+ +(Ц1 — Ло)+ оп = и = Ле + „«,(А — А-1) Мы видим, что последовательность (В„) будет иметь конечный предел в том и только в том случае, если сходится ряд 1 Положим ап пп . Из определения подходящих дробей, оче~п~п 1 видно, следует, что для данной цепной дроби Ц„> О, а значит, также и ап > 0 при любом и > О.
Докажем сначала д о с т а т о ч н о с т ь условия теоремы. Предположим, что ряд (д„)„ен является расходящимся. Требуется доказать, что в этом случае цепная дробь (6.15) является сходящейся. Как следует из сказанного выше, достаточно установить, что сходится ряд [( 1) Оп]пЕГ1 Покажем,что для этого ряда выполняются все условия признака Лейбница сходимости ряда (следствие 2 теоремы 3.1 этой главы), т.
е. последовательность (ап)пеи убывающая и имеет предел, равный нулю. При каждом «г имеем п1п — дп«пп-1 + «пп-2 > п«п-2 ° Гл. 11. Теория рядов Отсюда, по индукции, получаем, что если п нечетно, то а при п четном получим, аналогично, что Положим б = щ1п11, у1). Очевидно, б > О, и из доказанного следует, что Я„> б для всех и. Из равенства 9„= У„Я„1+Я„2 следует, что >и'п>п'а — 1 = Уа>йп — 1 + 0а-1>п'а-2 ) Уаб + >и'а-1>п'а-2 ) >и'п-1>п'а — 2> откуда вытекает, что последовательность (оа)„ен является убываю- щей. Индукцией по и отсюда заключаем, что при каждом п >яа>еа-1 ) б (Уа + Уп-1 + ' ' ' + У2) + 9190 Так как ряд (6.16) является расходящимся, то правая часть последнего неравенства стремится к оо при и -+ оо и, значит, в рассматриваемом случае Я„Ц„1 -> оо и 1 оа О >и а>пи-1 при п — > оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
