1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Мы видим, что если ряд [у„]„ен расходится, то ряд [( 1) оа]аек удовлетворяет всем условиям признака Леббннца сходи, ности ряда и, значит, является сходящимся. И последовательность подходящих дробей цепной дроби (6.15) имеет, таким образом, конечный предел, т.
е. даниэл цепная дробь является сходящейся. Достаточность условия Уп = оо для сходимости цепной дроби (6.15), таким образом, установлена. Теперь докажем н е о б х о д и м о с т ь этого условия. Для этого достаточно показать, что если это условие не Выполнено, т. е. если З б. Цепные дроби 301 ряд (6.16) сходящийся, то цепная дробь (6.15) является расходящейся. Имеем Яо — — 1 и 91 —— У1 < у1 + 1. Далее, 9г = УА1 + Юо < Уг(У1+ 1) + 1 < Уг(У1+ 1) + (У1 + 1) = (1+ У1)(1+ Уз) Докажем, что при всяком п п ~- < П(1+") я=1 (6.17) Предположим, что для некоторого т Е М при любом п < т выполня- ется неравенство (6.17).
Имеем 9ж+1 = Уяь+19яь + Юаз-1 ° В силу предположения индукции отсюда получаем ~-+ < -+ П('+")+ П('+ ) аа = (У-+ ( + -)+ Ц П ( + ) < 1=1 й~-1 та+1 < (У-+ ( + -)+ + -) П ( + ) = П ( +") По индукции, неравенство (6.17) доказано. Так как ряд [у„)„ен сходящийся и все его члены неотрицательны, то согласно теореме 5.2 бесконечное произведение П(+ и) а=1 является сходящимся.
Это означает, что последовательность его ча- стичных произведений и П(1+") 1=1 а П('+") - '' 1=1 имеет конечный предел и, следовательно, является ограниченной, т. е. существует число Ь < оо такое, что Гл. П. Теория рядов 302 при любом и Е г1. Отсюда в силу (6.16) следует, что Я„< Ь для всех и Е Ы и, значит, 1 1 ) — В 1(= >с= —,>О. ~и~и-1 Это позволяет заключить, что для последовательности (В„)„ен не выполнен критерий Коши — Больиано сходимости ряда (следствие 1 1 теоремы 3.2 главы 2). Действительно, для е = — нельзя указать номер б такой, что для любых п1 > б и пз > б выполняется неравенство ~В„, — Ви, ~ < е. В самом деле, для всякого и, как мы показали, ~„— В„+1~ > е.
Отсюда следует, что последовательность (В„)„ен не имеет конечного предела и, значит, рассматриваемая бесконечная цепная дробь (6.15) не является сходящейся. Теорема доказана. ° ° Теорема 6.2. Пусть бесконечная цепная дробь 1 1 1 Уо+— У1+Уз+ +Уа такова, что уи > 0 прн и > 1. Пусть (В„)„ен есть последовательность Ри подходящих дробей рассматриваемой цепной дроби, Ви пп —.
Предп положим, что данная цепная дробь является сходятцейся и В = йщ В„ есть значение данной цепной дроби. Тогда прн каждом и, и > 2, имеют место неравенства ) — В ! <, ) — В„! < . (6.18) 1 1 и п-1 пйп и а+1 Доказательство. В силу следствия 2 леммы 6.2 последовательность (Вз„)„ен строго возрастающая, а последовательность (Вз„1)„ен строго убывающая. Имеем В = 1пп Взи = Ьщ Вги В силу теоремы о пределе монотонной последовательности (глава 2) имеем Взи < В < Взи 1 пРи каждом п. Из чисел п и и — 1 одно четко, другое нечетно. Отсюда следует, что В лежит между числами В„ И Ви 1 Прн КаждОМ П И, ЗНаЧИт, ) — В„! < )„— В„1) = 1 ~и~и-1 Аналогично устанавливается неравенство 1 ) — В„~ < ~„— В„+1( = Ч 9+1 Теорема доказана.
° З 6. Цепные дроби зоз 6.3. ПРИМЕРЫ ЕННЫХ РОБЕЙ 6.3.1. Пусть дано произвольное число а б К. Покажем, как можно построить разложение числа а в цепную дробь. Найдем целое число уо такое, что уо < а < уо + 1. Если а = уо, то последнее равенство и есть искомое разложение а в цепную дробь. Предположим, что а не является целым числом. В этом случае 1 уо < а. Положим ео = а — уо Тогда имеем О < ео < 1.
Пусть а1 —— —. ео Очевидно, а1 ) 1. Имеем 1 о = уо+ —. а1 (6.19) Если а1 есть целое число, то равенство (6.19) и будет представлением числа а в виде цепной дроби. Предположим, что а1 не является целым числом. Тогда найдется целое число у1 такое, что у1 < а1 < у1 + 1. Полагаем е1 — — а1 — у1. 1 Пусть аз — — —. Имеем е1 1 1 о =уо+ = Уо+ У1+ е1 У1 +— оз Если число аз является целым, то последнее выражение и будет представлением числа о в виде цепной дроби. Это построение можно продолжить дальше. В результате при каждом и будут определены числа у„и а„. При этом у б г) и у„< и„< у„+ 1. Если для какого-то п окажется, что у„= а„, то построение заканчивается.
В этом случае мы получаем некоторую конечную цепную дробь, значение которой равно данному числу а. Если число а иррационально, то, продолжая процесс далее, получим бесконечную цепную дробь, равную данному числу а. Справедливость этого следует из того, что последовательность подходящих дробей (В„)„ен в силу теоремы 6.1 имеет предел. С другой стороны, из построения данной цепной дроби непосредственно видно, что а при каждом и лежит между числами й„1 и Л„и потому а = 1пп Я„. Таким образом, мы получаем, что всякое иррациональное число является значением некоторой бесконечной цепной дроби. Формально описанную конструкцию разложения числа в цепную дробь можно представить как некоторый индуктивный процесс, используя две простые функции, употребляемые в теории чисел. ЗО4 Гл.
11. Теория рядов Пусть х б Е. Тогда найдется целое число у такое, что у < х < < у+ 1. Это у называется целой часпгью числа х и обозначается символом Епг(х). Величина Гг(х) = х — ЕЫ(х) называется дробной частью числа х. Очевидно, что всегда О < Рг(х) < 1.
При этом Рг(х) = О в том и только в том случае, если число х целое. Пусть а Е К. Тогда последовательность частных знаменателей в разложении а в цепную дробь может быть определена следующим построением. Числа уо, уг и аз определяются следующим образом: 1 уо = ЕпЦа), гг(а) и у~ — — Епь(аг). Если для некоторого и определено а„) 1, то полагаем у„= Еп$(а„). Если а„целое, то у„= а„и построение на этом заканчивается.
Конечная цепная дробь 1 1 1 Уо+— Уг + Уг + + Ук и есть разложение данного числа а в цепную дробь. В случае, когда а„не есть целое число, то полагаем 1 а„+г — —... у„+г — — Епе(а„+г). Гг1а„) По индукции, построение определено полностью. Предоставляем читателю доказательство того факта, что если число а является рациональным, то приведенная конструкция всегда заканчивается через конечное число шагов. Отметим, что имеется связь между этой конструкцией и известным из алгебры алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Лля случая а = з/2 построение, данное в начале п. 6.1, совпадает с тем, которое описано здесь в общем случае. Следовательно, мы получаем, что справедливо следующее разложение числа ~/2 в бесконечную непрерывную дробь: ~/2 = 1+— 1 1 1 2+2+ +2 6.3.2. Бесконечная цепная дробь называется правильной, если она имеет вид: 1 1 1 Уо+— Уг + Уг + + Уп з 6.
Цепные дроби 305 причем числа у„целые и у„> 0 при и > 1. Пример Х. Рассмотрим цепную дробь 1 1 1 1+1+ +1 (6.20) все частные знаменатели которой равны единице. В силу теоремы 6.1 эта дробь является сходящейся. Пусть х есть значение этой дроби, й„— последовательность ее подходящих дробей.
При каждом п, оче- 1 видно, имеем Я„= . Переходя в этом равенстве к пределу при 1+ и-1 1 п оо, получим х = . Отсюда хз+ х — 1 = 0 и, значит, 1+х -1~ Л х= 2 Л-1 Так как очевидно, х > О, то х = 7 2 Пример 2. Цепная дробь (6.20) примера 1 связана с одной замечательной последовательностью натуральных чисел.
Пусть (Г„)„ещ, есть последовательность, определенная следующими условиями: Го — — О, Г1 — — 1 и Г„= Г„1 + Г„з при каждом и >, 2. Эта последовательность называется последовательностью чисел Фибоначчи. Используя формулы (6.10а) и (6.10Ь) из п. 6.1, получим, что подходящие дроби для цепной дроби (6.20) выражаются формулой Укажем явное выражение для числа Г„при произвольном и й Ы. Пусть х1 и хз есть корни уравнения хз = х + 1. Если х есть решение этого уравнения, то х" = х" ~ + х" з при каждом и.
Полагая и„= х~, и„= х", мы получим две последовательности (и„)„>о и (ое) >о> для каждой из которых выполняется соотношение, посредством которого определена последоеательность Фибоначчи. Зададим произвольно числа Л и р и положим ю„= Ли„+ ри„— Г„. Тогда, очевидно, ю„= ю„з + ю„з при каждом п > О. Подберем значения Л и р так, чтобы выполнялись равенства юо — — 0 и ю1 — — О. Тогда и„= 0 для всех п и, значит, Г„= Ли„+ до„= Лх" + рх". 306 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
