1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 55
Текст из файла (страница 55)
° Теорема 4.18. Пусть [и„, „, ]«>>о,«,>о,...,«>о есть т-кратный ряд в балахоном пространстве Х. Если функция и: о = (пы пз,... ...>п,„) е >«о > и„, „,, „суммнруема ло множеству )З)о, то данный т-кратный ряд сходится и сумма функции и„, о е )'>о" > по множеству 1»>о есть сумма этого ряда. Доказательство теоремы 4.13 мы опускаем, поскольку оно аналогично доказательству теоремы 4.12. ° Гл. 11.
Теория рядов 280 5 5. Бесконечные произведения Понятие бесконечного произведения возникает, если в определении того, что есть ряд, заменить операпию сложения умножением. В этом параграфе приводятся необходимые определения, устанавливаются условия сходимости или расходимости бесконечных произведений, рассматриваются некоторые примеры.
Исследование вопроса о сход имое ти или р всходи мости бесконечного произведения, как показано здесь, сводится к аналогичной залаче для числовых рядов. 5.1. ОПРЕ ЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОИЗВЕ ЕНИЯ 5.1.1. Пусть дана произвольная числовая последовательность (х„)„> где х„е з, Бесконечным произведением называется выражение вида П" (5.1) Числа х„при этом называются сомножителями бесконечного произведения (5.1).
По последовательности (х„)„> построим новую последовательность (Р„)„>, полагая Р = х, Р +1 —— х х +~ — — Р х +м т. е. при каждом п > т + - П (5.2) Числа Р„называются частичными произведениями бесконечного произведения (5.1). Предел йп Р„, если таковой существует, называется значением п ое бесконечного произведения (5.1). Если все члены последовательности (х„)„> есть вещественные числа, то числа Р„также являются вещественными и в этом случае предел Р„может принимать значения ~ос. Предположим, что х„ф 0 для всех значений и > т. В этом случае бесконечное произведение (5.1) называется сходящимся, если его значение Р определено и конечно, причем Р ~ О, т. е.
предел Р„существует, конечен и отличен от нуля. Пусть дано бесконечное произведение П х„, причем х„~ 0 для всех п > т. Зададим произвольно з 5. Бесконечные произведения 281 У > т и для п > Л положим Ра оа П хь, Ра оа П хь. Тогда я=та я=м будем иметь Ра ао Рн 1Ра. Отсюда следует, что если существует конечный предел 1пп Ра = Р, причем предел этот отличен от нуля, то а со существует также и предел йпз Ра ао Рн 1Р. Этот предел отличен от а — ~ оо нуля, так как Рн 1 ф О и Р ф О. Верно и обратное: если предел 1пп Ра существует, конечен а оо и не равен нулю, тогда то же самое в е р н о и в отношении предела 1пп Ра. ' Если последовательность (х„)„> такова, что ха оа О для некоторых значений и, то бесконечное произведение (5.1) мы будем называть сходящимся, если можно указать номер Л > т такой, что х„ф О при и > У, и бесконечное произведение П ха, в котором все множители ха а=И отличны от нуля, является сходящимся.
Если бесконечное произведение не является сходящимся, то оно называется расходящимся. ф Предложение 5.1. Если бесконечное произведение П ха является сходящимся, то х„-+ 1 лри п ~ оо. Доказательство. Действительно, не умаляя общности, можно считать, что х„~ О при каждом п > оз. Пусть Ра определено при каждом и равенством (5.2). При всяком и > т имеем Ра = Ра-1ха.
Согласно определению сходящегося бесконечного произведения существует конечный предел 1пп Ра оа Р. При этом Р ~ О. Имеем а-~со Ра ха оо —. При п — оо имеем Є— ~ Р и Ра 1 — ~ Р. Так как Р ф О, Р„ ,' Р отсюда следует, что ха - — = 1 при и — оо, что и требовалось доказать. е 5.1.2. Из доказанного, в частности, вытекает, что если бесконечное произведение П ха сходится, то, начинал с некоторого номера Л, имеет место неравенство ха > О.
282 Гл. 11. Теория рядов 5.2. ПРИЗНАКИ СХО ИМОСТИ И РАСХО ИМОСТИ БЕСКОНЕЧНОГО ~НРОНЗНЕ ЕННЕ ° Теорема 5.1. Пусть дано бесконечное произведение П ха (5.3) Предположим, что х„б К для всех и, причем х„> О. Тогда для того, чтобы бесконечное произведение (5.3) было сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 1п х„. (5.4) а а Доказательство.
Положим Р„= П хь, Я„= 1; 1пхь. Очей=за «нзза видно, имеем Я„= 1пР„, Р„= ез" при каждом'и > т. Если бесконечное произведение (5.3) является сходящимся, то существует предел Бт Р„= Р. Более того, 0 < Р < оо. Отсюда следует, что предел а -Р 00 Бт Я„= Бгп 1п Р„существует и равен 1п Р. В частности, этот преа ООО а ОО дел конечен, и мы получаем, что в данном случае ряд (5.4) сходится. Итак, сходимость бесконечного произведения (5.3) влечет сходимость ряда (5.4).
Предположим, что ряд (5.4) является сходящимся. Это означает, что предел Бт Я„= Я существует и конечен. Отсюда следует, что существует предел 1пп Р„. Его значение, очевидно, равно Р = е, 3 «~00 и, значит, 0 < Р < оо. Мы получаем, таким образом, что бесконечное произведение (5.3) является сходящимся. Теорема доказана. ° 5.2.2.
Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие сходимости бесконечного произведения, удовлетворяющего некоторому дополнительному условию. Определим функцию а: ( — 1, оо)-Р Е, полагая 1п(1 + 1) 1 ~ О а(1) = 1 при 1=0. (5.5) 5.2.1. Следующая теорема позволяет свести вопрос о сходимости или расходимости бесконечного произведения с вещественными сомножителями к вопросу о сходимости или расходимости некоторого ряда. В теореме речь идет о бесконечных произведениях, все сомножители которых положительны.
Как мы видели в предыдущем пункте, это ограничение является несущественным. з 5. Бесконечные произведения 283 Далее используется утверждение, что функция а непрерывна в точке ~ = О. Справедливость этого утверждения вытекает из равенств 1пп а(1) = 1пп = 1 = а(0). 1п(1 + 1) Заметим еще, что а($) > 0 и 1п(1+1) = о(1)1 для всех 1 > — 1. ° Теорема 5.2. Пусть дано бесконечное произведение (5.6) причем числа ~„либо все неотрицательны, либо все неположительны, причем в последнем случае 1+1„> 0 для всех и > гв.
Тогда бесконечное произведение (5.6) будет сходящимся в том и только в том случае, если сходится ряд (5.7) Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда ~„> 0 для всех п. Предположим, что бесконечное произведение (5.6) сходится. Тогда сходящимся является ряд Е 1П(1+1 ). (5.8) Как показано выше, верно и обратное: если сходится ряд (5.8), то схо- дится и бесконечное произведение (5.6). При каждом и > т имеем 1п(1 + 1„) а(1„) или, что то же самое, 1п(1+ 1„) = 1„а(1„), где функция а определена равенством (5.5). Если хотя бы один из рядов (5.7) и (5.8) является сходящимся, то, как нетрудно видеть, 1„-~ 0 при п -+ оо и, значит, а(1„) — ~ 1 при п — оо. Применим первую тпеорему сравнения (теорему 2.3 этой главы).
Напомним, что эта теорема утверждает: если числовые ряды [з„]„йь 284 Гл. 11. Теория рядов и [а„]„> с неотрицательными членами таковы, что ряд [а„]„> сходится и х„= 0(а„) при и ~ оо, то сходится также и ряд [х„]„>ь. Если хотя бы один из рядов (5.7) и (5.8) сходится, то, как следует из доказанного, 1„= 0(1п(1+1„)) и 1п(1+1„) = 0(1„) при и оо. В силу теоремы 2.3 отсюда вытекает, что если хотя бы один из рядов (5.7) и (5.8) является сходящимся, то сходится также и другой. В силу теоремы 5.1 сходимость ряда (5.8) равносильна сходимости бесконечного произведения (5.6).
Утверждение теоремы, относящееся к случаю, когда 1„> 0 для всех и > т, доказано. Теперь рассмотрим случай, когда 1„< 0 для всех и. Согласно условию доказываемой теоремы 1 + 1„> 0 для всех и > т. Положим 1„= — и„. Тогда, очевидно, и„> 0 для всех п и сходимость ряда [1„]„> равносильна сходимости ряда [и„]„> . Очевидно, 1+ 1„= 1 — и„. Рассмотрим ряд (5.9) Имеем 1П = — 1П(1 + 1„), 1 1 — и„ откуда ясно, что сходимость ряда (5.9) равносильна сходимости беско- нечного произведения (5.6). Имеем ( 1 1п = и„а( — и„). ~1 — и„/ (5.10) 1п =0(и ), и„=0 1п На основании первой теоремы сравнения из доказанного вытекает, что сходимость одного из рядов (5.7) или (5.9) влечет сходимость другого. На основании теоремы 5.1 отсюда вытекает, что и в рассматриваемом случае бесконечное произведение (5.6) является сходящимся в том и только в том случае, если сходится ряд (5.7).
Теорема доказана. ° 1 Если ряд (5.9) сходится, то — ~ 1 и, значит, и„-+ О, а 1 — и„ а( — и„) — 1 при п -+ оо. Равенство (5.10) позволяет заключить, что если один из рядов (5.9) или (5.7) является сходящимся, то при и -~ оо справедливы соотношения з 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
