1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Сумма значений функций на бесконечном множестве 261 1 В частности, для всякого г ф Е„имеем Ои1(~ < —. Положим Множество Е не более чем счетно. Пусть 1 ф Е. Тогда 1 ф Е„при каждом и б г1 и, значит, ОиД < 1/а для всех и Е М. Отсюда вытекает, что ()и1О = О и, значит, и~ —— О. Таким образом, построено не более чем счетное множество Е С Т такое, что и1 —— О для всякого 1 ф Е.
Следствие 2 доказано. я Следствие 3. Если для функции и: Т вЂ” ~ Х вещественная функция 1 б Т ~ )(и1Й является суммнруемой ло Т, то функция и также суммируема но множеству Т. Показательство. Предположим, что функция 1 ~ ОиД суммируема по множеству Т. Зададим произвольно а > О. В силу теоремы 4.4 найдется такое конечное множество Е С Т, что для всякого конечного множества А С Т, не имеющего общих элементов с множеством Е, выполняется неравенство ~'Ои~~! < е. 3еА Для всякого конечного множества А имеем, очевидно, Отсюда следует, что если А П Е = Я, А й .Ж(Т), то Для функции и, таким образом, выполняется иригоерий суммируемосози функции по множеству (теорема 4.4).
Следствие 3 доказано. 262 Гл. 11. Теория рядов 4.3. СУММИРОВАНИЕ ВЕ ЕСТВЕННЪ|Х ФУНК Ий 4.3.1. Рассмотрим специально случай, когда банахово пространство Х совпадает с множеством всех вещественных чисел К. ° Теорема 4.3, Если функция и: Т вЂ” К суммируема по множеству Т, го также и функция | + ~и|~ суммируема по множеству Т. Доказательство. Предположим, что функция и: Т -+ К сумми- Я руема по множеству Т. Зададим произвольно е > О. Положим е| — — —.
2 Согласно теореме 4.4 найдется такое конечное множество Е, что для всякого конечного множества А С Т, не содержа|цего элементов множества Е, выполняется неравенство и| < ез. |еА Зададим произвольно множество А Е .Ж'(Т) такое, что А й Е = Я. Пусть А+ есть множество тех | б А, для которых и„> О, и А совокупность тех | е А, для которых и, < О. Множества А+ и А не пересекаются, и их объединение совпадает с множеством А. В силу выбора множества А ясно, что множества А+ и А также не пересекаются с множеством Е и, значит, имеют место неравенства Так как и| > 0 для всех 1 Е А+ и и| < 0 для всех 1 Е А, то и| —— ~~| ~и| (, 2 из — — ~~| (и| (. |я А+ |еА+ |еА Следовательно, мы получаем, что )и|! < ез, ~ )и4 < е| |еА+ Отсюда вытекает, что (и|( = ~~| (и|) = ~ ~и„(+ ~~| )и|( < 2ез = е. |еА |еА зеА+ |еА Поскольку е > 0 было произвольно и от множества А требовалось лишь, чтобы оно не содержало элементов множества Е, то мы получаем, что для функции $ ~-~ ~и|~ выполняется критерий суммируемости фрикции ио миолсеству, содержащийся в теореме 4.4.
Теорема доказана. ° ° Теорема 4.6. Если функция и: Т -+ К неотрнцательна и суммируема по Т, то сумма ее значений на множестве Т неотрнцательна. з 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 263 Яоказательство. Предположим,что функция и: Т ~ К неотрицательна и суммируема по Т. Пусть р=~ ио 1ЕТ Для всякого и е М найдется множество А„е Х(Т) такое, что ! 1 р — ~~ и1 < -. ФеА Для всякого а имеем 1 и <р+-. 1ЕА Сумма слева неотрицательна, и мы получаем, следовательно, что для 1 всякого и е Х имеет место неравенство р+ — > О. Переходя в этом неравенстве к пределу при и -~ оо, получим р > О.
Теорема доказана, ° ~~) и~ — ~~~ и~ — — ~~~ (ит — ис). $ет ~ет $ет (4.7) Из условия следует, что е~ — и~ > 0 для всех 1 е Т и, значит, согласно теореме 4.6 правая часть равенства (4.7) неотрицательна. Отсюда вытекает утверждение следствия 1. Т Следствие 2, Если функция и: Т -> К неотридательна и суммируема по множеству Т, то она суммнруема на всяком множестве Я С Т, причем имеет место неравенство,» и1 < 2 ио 4ЕН 1ЕТ Доказательство.
Предположим, что функция и: Т -~ И неотрицательна и суммируема по множеству Т. Зададим произвольно множество В С Т и положим Я = Т 1 Л. Следствие 1 теоремы 4.4 позволяет Следствие 1. Пусть функции и: Т вЂ” И и и: Т -+ И суммируемы на множестве Т и таковы, что прн каждом 1 е Т выполняется неравенство и~ < иь Тогда ~, и~ < 2 иь ~ет мет Доказательство. Действительно, если функции и и и суммируемы по множеству Т, то, как следует из теоремы 4.2, также их разность суммируема по Т. При этом имеет место равенство 264 Гл. 11. Теория рядов заключить, что функция и1 суммируема по каждому.из множеств В и Я.
Согласно теореме 4.3 имеем и, = ~~1 и1+ ~ и1. 1ЕТ 1ЕЯ 1ЕЯ Как следует из теоремы 4.6, величина 2 и1 неотрицательна. От1Е5 сюда получаем, что 2 и1 < 2, 'и1. Следствие2 доказано. 1ЕЯ 1ЕТ ° Теорема 4Л. Если функция и: Т вЂ” К неотрнцательна, то для того, чтобы она была суммируема ло Т, необходимо и достаточно, чтобы существовало число Ь < оо такое, что для всякого конечного множества А С Т выполняется неравенство 2; и1 < Ь. В этом случае 1ЕА 2, и1 —— впР 2, и1. 1ЕТ АЕ.Х'Щ1ЕА Локазательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Зададим произвольно множество А е ..е (Т).
В силу следствия 2 теоремы 4.6 выполняется неравенство ,'~ и1 < ~~1 в1 < оо.. 1ЕА 1ЕТ (4.8) и1 < ,'~ и1. 1ЕА 1ЕВ Зададим произвольно е > О. В силу признака 1почкой верхней границы, установленного в главе 1, найдется множество Е е Х(Т) такое,что имеет место неравенство Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена: в качестве требуемого Х, < оо можно взять число р = 2,' и1. 1ЕТ Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия. Предположим, что функция и: Т ~ И неотрицательна и точная верхняя граница р сумм 2, и1 на совокупности Х(Т) всех конечных подмножеств Т конечна.
1ЕА Докажем, что р = 2; и1. Пусть А и  — произвольные конечные 1ЕТ подмножества Т. Тогда если А С В, то, полагая в неравенстве (4.8) Т = В, получим з 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 265 Пусть множество А Е Х('Т) содержит в себе множество Е.
Тогда имеем ~> и(> ~> и(>р — е. А Е Имеем также 2 и( < р. Из полученных неравенств следует, что для А любого множества А ( Е выполняется неравенство ! ~ы( р <е. А Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что функция и: Т -~ И суммируема по Т и р = 2, и,. Теорема (ет доказана. ° Следствие.
Предположим, что Т = Х. Функция н: (з — ~ И суммвруема по г( в том н только в том случае, если ряд (иа~„еи является абсолютно сходящимся. Доказательство. Если функция и суммируема по множеству ((, то по теореме 4.6 функция ~и~ также суммируема по ("('. В силу теоремы 4.7 множество сумм (Е( „((аеа(а() аЕА является ограниченным сверху. Отсюда вытекает, что последователь- ность частных сумм ряда (4.9) (((ца ~)а ЕХ является ограниченной и, значит, этот ряд сходится. Обратно, предположим, что ряд (4.9) является сходящимся. Зададим произвольно конечное множество А С г(.
Пусть й есть наибольший элемент множества А. Тогда, как очевидно, будем иметь )и„~ < ~~~ ~ць~ < ,'~ (иь) < оо. аЕА в=1 к=1 Мы получаем, таким образом, что существует конечная постоянная такая, что для всякого множества А Е .Ж'(Х) сумма 2 ~и„~ не превос- аЕА ходит этой постоянной. Отсюда вытекает, что функция п + ~и„~ суммируема по ("('. Следствие 3 теоремы 4.4 позволяет теперь заключить, 266 Гл. 11. Теория рядов 3 а м е ч а н и е. Предположим, что Х есть произвольное банахово пространство.
Тогда из суммируемости по М функции и: М вЂ” Х, вообще говоРЯ, не следУет сходимость РЯда 0)и„)(]„е)ч. 4.3.2. Результат теоремы 4.7 указывает путь для распространения понятия суммы значений функции по бесконечному множеству на некоторые случаи, когда функция не является суммируемой. А именно, понятие суммы может быть определено для произвольной неотрицательной вещественной функции. Пусть даны множество Т и функция и: Т Й такая, что и, > 0 для любого 1 б Т. Допускаются значения из — — +со. Если и, = +со хотя бы для одного 1 Е Т, то сумму значений функции ц~ считаем равной +со, т. е.
в этом случае полагаем " , 'и, = +ос. зет Если же из конечно для всех 1 Е Т, то сумму функции из по множеству Т считаем равной точной верхней границе сумм этой функции на конечных подмножествах Т. Иначе говоря, в данном случае мы по- лагаем ',~в= -Р '„)ц ~ет еех(т) зек (4.10) Указанная в равенстве (4.10) точная верхняя граница может быть равна +со, так что и в этом случае сумма функции и~ по множеству Т может быть равна +со. Если правая часть равенства (4.10) конечна, то согласно теореме 4.7 данная функция 1 -~ и~ суммируема по множеству Т, в смысле определения п.
4.1, и правая часть равенства (4.10) равна ее сумме. Таким образом, мы видим, что для неотрицательной функции ио 1 Е Т, суммируемой по Т, данное сейчас определение суммы значений функции равносильно определению, данному в п. 4.1. Указанное здесь распространение суммы на случай произвольных неотрицательных функций полезно в следующем отношении. Суммируемость той или иной функции часто может быть установлена лишь посредством некоторых преобразований. Чтобы такие преобразования можно было осуществлять, важно, чтобы для неотрицательной функции сумма ее значений на множестве была определена независимо от того, суммируема функция на этом множестве или нет.
что функция и и„также является суммируемой по М. Следствие доказано. Т З 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 267 4.4. СУММИРУЕМОСТЬ ФУНК Ий И ПОНЯТИЕ КОММУТАТИННО СХО Я ЕГОСЯ РЯ А 4.4.1. Рассмотрим специально случай, когда множество индексов Т является счетным. Будем считать, что Т = М. Общий случай сводится к этому нумерацией элементов множества Т. Далее Х, как и ранее, означает произвольное банахово пространство. Перестановкой множества Гз называется биективное отображение т: М-+ г1. Пусть дан ряд [г„]„ен. Всякий ряд [г,<„~]„ен, где т есть перестановка М, называется нереспзаноеной ряда [з„]„ен. Ряд [х„Н Х]„ен называется номмутпатоиено сход~ицимся, если любая его перестановка представляет сходящийся ряц.
° Теорема 4.8. Для того чтобы функция кс и б Х + и„Н Х была суммируема по множеству М, необходимо и достаточно, чтобы ряд [и„]„ен был коммутативно сходящимся. Сумма любой перестановки этого ряда равна 2 и„. н Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что функция кс Х -+ Х суммируема по множеству Х. Положим р = 2„и„. н Пусть дана произвольная перестановка т множества Я.
Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему конечное множество Е С Х такое, что для всякого А Н,Ж'(М), содержащего Е, выполняется неравенство ~не — р < е. А Пусть п1 < нз « и„, — все те значения и, для которых т(п) Е Е. Для н Н Хпусть|„, как обычно, означает отрезок [1,2,...,н) множества всех натуральных чисел Х. Положим А„= т(я„). Для всякого и > п множество А„содержит в себе множество Е, и, значит, для любого п > н справедливы соотношения В силу произвольности е > 0 тем самым доказано, что ряд [и ~ь>]„ен сходится и сумма его равна р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
