1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(4.15) 4енв зеТ В случае, когда функция и~ суммируема по множеству Т, это верно в силу следствия 2 теоремы 4.6, а если и~ не суммируема по Т, то Е = оо и, значит, в этом случае неравенство (4.15) также верно. Конечное множество Е С Я было выбрано произвольно, и мы, таким образом, получаем, что для всякого множества Е Е М'(Я) выполняется неравенство Отсюда вытекает, что М= зир ~У, < Ь.
еех(в) вен (4.16) Зададим произвольно число К < Х. Согласно критерию суммируемости неотрицательной вещественной функции (теорема 4.7) имеем Ь= зир ~ и„ АЕХ'(Т) 1ЕА Е =Е(Е")=Е вен вен 4ен, 4ЕНя Множество Лн, очевидно, содержит в себе множество А, и потому в силу неотрицательности функции и~ имеет место неравенство ~) и~> ,'~ и~>К. МЕНв ФЕА и, значит, найдется А б Х(Т) такое, что 2 и~ > К.
зЕА Пусть Е есть совокупность всех з б Я, для которых пересечение Я, г) А непусто. Так как, по условию, А конечно, то множество Е также является конечным. Пусть Ян есть объединение всех множеств Я„для которых з б Е. Применяя теорему 4.3, получим Гл. 11. Теория рядов 274 В результате получаем, что М=~ П,>~ и,= ) и >К. вев вЕЕ 4ЕНЕ Число К < А было выбрано произвольно. Таким образом, если К < Т,, то К < М. Отсюда вытекает, что Ь= ~ и,<М=~ У,.
1ЕТ Принимая во внимание (4.16), получаем 2; и~ — — 2', У,. Теорема ФЕТ вЕБ доказана. ° Следствие. Пусть дано семейство множеств (В,),ез такое, что они попарно не пересекаются, н пусть Т = и Л,. Предположим, что вез функция и: Т вЂ” К неотрнцательна н суммнруема по каждому нз множеств Я,. Пусть У, = 2 ио Тогда если функция з в У, суммнруема 1ел. по множеству Я, то функция ив суммируема по множеству Т. Действительно, согласно теореме 4.11 имеем Если функция з в У, суммируема, то сумма справа конечна и, значит, конечна также и сумма 1ет что и требовалось доказать.
В качестве п р и м е р а на применение теоремы 4.11 исследуем на суммируемость некоторые функции, определенные на множестве Х х Х = г1з. Рассмотрим вопрос: при каких значениях а > О, 11 > О и 7 > О функция 1 (о1а + пя)т (тп,п) н суммируема на множестве Т = вз' х И = г1з? Для произвольного з Е М обозначим через Л, множество всех пар (гп, п) Е г1з, у которых первая компонента та равна з. Множества Ю, попарно не пересекаются, З 4. Сужма значений функций на бесконечном множестве 275 и их объединение совпадает с 1»з.
Согласно теореме 4.11 справедливо равенство ОО Ряд ,'[ — сходится при Л > 1 и расходится при Л < 1. Имеем при а=1 и и-+ оо 1 1 па» 1 -+ 1 (та + пй)» пд» (та + пр)» (1+ то/па)» О0 Это позволяет заключить, что сумма ~„й равна оо при а=1 т +и ,97 < 1 и конечна при 117 > 1. Отсюда следует, что функция (та + пя)» не является суммируемой по Хз при 137 < 1.
Будем далее предполагать, что 11 1 > 1. В этом случае величина Ф(т) = 1 Е (гпп + пя)» иж1 Требуется установить, п и каких значениях конечна при любом т а и схо ится я пьж1 Исследуем поведение функции Ф(т) при т -+ оо. Для этого воспользуемся неравенством, установленным в п. 2.4 этой главы. Пусть |:[О,оо) — ~ К есть неотрицательная невозрастающая функция, интегрируемая по промежутку [О, оо). Тогда /я)й) ~п.) ) /пой.
о в=1 1 1 Полагая Дх) = , получим следующую о ц е н к у: (та + хв)» | ах ( Ых >Ф( )> ( (т'*+ хй)» —,/ (т'*+ хй)» о 1 276 Х'л. П, Теория рядов В каждом из интегралов, стоящих в этих неравенствах, произведем замену переменной интегрирования, полагая я = т /Я1. В результате получим 1 Г й 1 Х ог — ( — > Ф(т) > та»-а/Р Х (1 + гР)» — та»-о/д (1 + 15)» о т- /Ф Интеграл, стоящий здесь слева, обозначим символом Х(0). Пусть Х(т /Я) есть интеграл справа. При т ~ оо, очевидно, Х(т /Я)— -+ Х(0).
При каждом т имеем Х(0) > ф( ) — Х( /д). 1 1 Отсюда ясно, что отношение ф(т): — при т — ~ оо стремится та»-а/ф к конечному пределу, отличному от нуля. (Предел этот, очевидно, равен Х(0).) Это позволяет заключить, что ряд ~; Ф(т) сходится, тажз если а ау — — )1, Р и расходится, если а ау — — < 1. Р После некоторых простых преобразований из доказанного получаем,что функция 1 (та+ пя)» суммируема по Мз, если выполняется неравенство 1 1 у) + а /3' и не является суммируемой, если 1 1 у < — + —.
а з 4. Сумма значений функций на бесконечном множестве 277 4.6. КРАТНЫЕ РЯ Ы Пусть Х есть произвольное банахово пространство. Предположим, что для любых двух целых чисел т > 0 и ~ > 0 определен некоторый вектор и „й Х. Иначе говоря, пусть задано отображение и: (т, н) б 1"(о х г)о ~ и,„й Х. В этом случае будем говорить, что задана двойная последовательность (и „б Х) ено „ено. Для обозначения этой двойной последовательности мы будем использовать также выражение (и „б Х) >о а>о. Величины и,а при этом называются членами данной двойной последовательности.
По двойной последовательности (и„, а)аен, таз~о определим некоторую другую двойную последовательность (з „)„~~,, ен„полагая для т б Мо и и Е г)о т а вт,а ао,~ ~ игд ° )то 1=0 Определенная таким образом пара двойных последовательностей (и,~)тен„аен, и (зт,а)тен„аен, называется двойным рядом. Для произвольных целых т > 0 и н > 0 обозначим символом Е совокупность всех целых г, у' таких, что 0 < г < т и 0 < у < п. Тогда, очевидно, имеем в „= ,'~ и; Пд)ее Для произвольных целых чисел т >' 0 и т > 0 положим г(т, п) = = щ)п(т, п). Зададим произвольно значение К < оо.
Найдутся целые числа т > 0 и и > О такие, что т > К и и > К. Для любой такой пары (т, и), очевидно, г(т, и) > К. Отсюда следует, что для любой окрестности У точки +со в Й можно указать пару (т, н) б Мо~, для которой г(т, и) б У. Из сказанного следует, что г(т, н) можно взять в качестве оценочной функции с предельным значением +ос на множестве Я = г)о х Мо.
Предел 1)щ з,а, если таковой существует, называется суммой Н т,а) — оо двойного РЯда 1и „]„>о >о и обозначаетсЯ символом 2 ~, и п1=0 а=о ° Теорема 4.13. Если функция и: Хоз — Х, где Х есть произвольное банахово пространство, суммнруема по множеству Р)оз, то двойной ряд (и а]а>о >о является сходящимся и его сумма равна сумме функции и по множеству )з1оз, т. е. 2 2 и „= 2, и пто тто (т,а)еьф 278 Гл.
11. Теория рядов Доказательство. Пусть двойная последовательность (Птп,п)п>0, пт>0 как функция на множестве т)0 является суммируемой в смысле определения, данного в п. 4.1. Пусть в Е Х есть значение суммы функции (тт И) и„,,п ПО МНОжЕСтВу р)0З.
Зададим произвольно г > О. Согласно определению суммы (п. 4.1) по нему найдется конечное множество Ев С Хвз такое, что для любого конечного множества Е т Ев выполняется неравенство и,„— в <г. Е 1тп,п) ЕЕ Пусть М есть наибольшее из значений т, соответствующих парам (т,п) б Ев, Ф вЂ” наибольшее из значений и, отвечающих таким парам.
Пусть Л = шах(М,)У). Величина Я конечна. Предположим, Чта Г(т, И) > В. ТОГДа ИМЕЕТ МЕСТО ВКЛЮЧЕНИЕ Ев С Е,п. ДЕйетВИ- тельно, если (1,1) б Ев, то 1 < М < В < г(т,п) < т и, аналогично, 1 < У < Я < г(т, п) < п. Отсюда следует, что (1,1) е Е Итак, если г(т, и) > В, то Е,„З Ев и, значит, и;д — в < г, Е (тд)ЕЕ т. е. О⠄— вО < г для любых т, п б Ыо таких, что г(т, п) > В.
В силу произвольности г > О тем самым установлено, что в= Бш в„,п. т1 тп,п) ттт Теорема доказана. ° По аналогии с понятием двойного ряда можно определить понятия тройного ряда и вообще понятие т-кратного ряда для любого т е 1з. П иве ем оп е еленке тк атного я а ип итомс аз ля п оизвольного т. Пусть Мв есть совокупность всевозможных последовательностей из т неотрицательных целых чисел (иы из,..., п ). Для и = (пы пз,..., и ) б тзв полагаем г(и) = г(пы пз,..., и ) = шах1тпы из,..., п 4. С мма значений нкций на бесконечном множестве 279 Определенная так функция г на множестве Мо является оценочной у>ункцией с предельным значением +оо.
Для р = (пз, пз,..., п ) будем обозначать символом Е„= Е„„„„„,,„множество всех последовательностей 1= (гз>ез»...1,„) Е Мо таких, что е~ < пы зг < пз>. >$,„< и,„. Предположим, что всякой последовательности о = (пыпю...,п, ) е «1о сопоставлен некоторый элемент и„= и„, „„„, „банахова пространства Х. В этом случае будем говорить, что задана т-кратная последовательность (и«)>»ен«(и«>,«2,...,«)«>йо,««>о,...,«>о Полагаем з> з«> «« .
° «) и>' ык, Пара т-кратных последовательностей (и„) е«> и (г„)„е~~, определенная описанным образом, называется т-кратным рядом и обозначается одним из выражений: [и„]„е1~~» или [и«> ~~ „,,«]«>>О «г>0 «>о. При этом величины и„Е Х, и Е Мо, называются членами данного т-кРатного РЯда; а величины г„б Х, о е )З)о™, — его частаными сУммами. Предел 1пп е„= з, если таковой существует, называется суммой «(>»)-»ео т-кратного ряда [и ]„яэла и обозначается следующим образом: и«>,«п...,« Е («>,««,...,«)ен«« Далее т-кратный ряд называется сходящимся, если он имеет определенную сумму. По аналогии с теоремой 4.12 доказывается следующее д о с т ат о ч н о е условие сходимости т-кратного ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
