1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 59
Текст из файла (страница 59)
П. Теория рядов 1 1 Л па —, р= Л' зЛ' Таким образом, мы приходим к следующему соотношению: Г„= — + ( — 1)а Пусть а > 0 — произвольное иррациональное число, 1 1 1 о =Уо+в У1 + Уг + + У ~6.21) есть разложение а в правильную цепную дробь, построенное, как укар зано в п. 6.3.1.
Пусть В„= — ", п = 1,2,..., есть последовательность Яп подходящих дробей цепной дроби (6.21). При каждом п > 1, в соответствии с равенствами (6.10а) и (6.10Ъ) и. 6.1, имеем Я„= у„~„1+Я„г. Отсюда получаем 9„> 9„1+(~„г. Имеем 9о > 0 = Го, Щ = У, > 1 = Р1. По индУкции, отсюда полУ- чаем, что при каждом п имеет место неравенство Я„> Р„, где Є— п-е число Фибоначчи.
Это приводит к следующей оценке: 'ааЮа+1 > и'ап'а+1 ° Для всякого п > 1 согласно теореме 6.2 справедлива оценка 1 1 (а — Л„! < < ча9а+1 Гап'а+1 Данное неравенство дает оценку екороеоги сходимоеии последовательности подходящих дробей к данному иррациональному числу а— верную, каково бы ни было а.
6.3.3. Бесконечная цепная дробь хг ха Уо+— У1+Уг+ +Уа з/5 + 1 1/5 — 1 Имеем х1 = 2 ' 2 , хг = — . Из условий юо = 0 и ге1 = 0 получаем систему линейных уравнений, из которой числа Л и р легко находятся. Будем иметь З б. Цепные дроби 307 называется периодической, если существуют номер пз и число Й б Ы такие, что при каждом п > пз выполняются равенства к„+ь = я„, у .ьь = у„. Это означает, что начиная с номера и = т дробь может быть разбита на блоки длины Й, устроенные одинаково.
Построенная в начале п. 6.1 цепная дробь, представляющая число ч'2, а также дробь, все частные числители и частные знаменатели которой равны единице, дают примеры периодических бесконечных цепных дробей. Число я 6 К называется квадратичной иррациональностью, если оно может быть представлено в виде а+ Ьз(г с+ д~/г где числа а, Ь, с, Ы и г целые, причем з > 0 не является квадратом целого числа. Приведем без доказательства следующее утверждение. ° Теорема 6.3. Если число к 6 К является квадратичной иррациональностью, то его разложение в правильную бесконечную цепную дробь есть периодическая цепная дробь.
Обратно, если правильная бесконечная цепная дробь является периодической, то ее значение представляет собой квадратичную иррациональность. ° 6.3.4. П ив ем без оказательства азложение в бесконечн ю еп- н ю обь числа е. Имеем 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ 2+ 1+ 1+ 4+ + 2п — 2+ 1+ 1+ 2п Мы получили дробь вида (6.21), где уо = 2, у1 = 1, уз —— 2 н начиная с уз частные знаменатели этой цепной дроби подчиняются простой закономерности: узь = 1, узь+з = 1~ узь+з = 2й + 2. Укажем е е г ю епн ю обь связаны ю с числом е. Имеет место равенство е — 1 1 1 1 1 2 1+6+10+ +4п — 2 6.3.5.
П нв ем без оказательства азл жение в бесконечн ю еп- н ю обь числа я. Используя построения, описанные в п. 6.3.1, можно получить представление числа т в виде правильной бесконечной цепной 308 Гл. П. Тео ия ядов дроби. Не известно никакой простой закономерности, которой подчиняются частичные знаменатели в этом представлении. Если рассматривать цепные дроби общего вида, то представления, в которых частичные числители и знаменатели подчиняются достаточно простой закономерности, могут быть указаны. Например, справедливо равенство 4 )з 21 пз 1+ 3+ 5+ +2п+1 которое дает пример такого представления х в виде бесконечной цепной дроби.
Эта цепная дробь не является правильной. Задачи 11.1. Исследовать, при каких а сходится ряд ] ] );-х — ] и=3,4,... 11.2. Даи ряд [аи]и=з,4,. > где аи = . При каких о этот ряд схо- 1 ] [) и х) хх дится и при каких расходится? 11.3. Дан ряд ]( фп — 1) а]иен. При каких а этот ряд сходится и при каких расходится? 11.4. Исследовать сходимость ряда ~; -„-~~-„.)]у, где А[а) — число цифр чи- 1 сла о, р > О.
11.5. Исследоватьсходимостьряда ~„— ~ — и, где я~[о) =1 +2 + ° +пи, [хи[и)) а > О. и=1 11.6. Дан числовой ряд ]аи]„еи, где аи > 0 для всех и и аи = о [ -(г~) при 1 п и — оо, где А > 1. Положим Ьи хх 2 а . Доказать, что 2 -„ф сходитсЯ Ь при Л + )х > 1. 11.Т. Пусть аи хх 1+ ~У+ ° ° ° + 1. При каких а сходится ряд ~ — 1а1 ? й' ~" "1 ия)Ч 11.8. Пусть аи хх 1+ за + ° ° ° + „1, где 0 < а < 1. Выяснить, при каких А сходится ряд ~ят1 1 ийГ4 11,9.
Пусты „= 1+ -4 + ° ° + — 1- — 21/й. Доказать, что последовательность [ги) иеи сходится. 11.10. Пусть ряд [аи]иен, где аи > 0 для всех л, сходится. Доказать, что и ~х »' * и! (п Р-1 и 1и[и+1)) Задачи 309 11.11. Пусть О < а < 1. Доказать, что ряд [л аа ]аан сходится при любом о Е (О, 1) и любом й > О. 11.12. Доказать, что если для всех п > по справедливо неравенство !па 1/[аа] < 1 — о —, где а > 1, то ряд [аа]„ан сходится; если справедливо неравенство 1пп ~~/]аа] > 1 — о —, где о < 1, то ряд [[аа[]аа«1 расходится.
12«и! ~ 1 11.13. Исследовать, при каких о ряд [( „+ "а! ] сходится и при ка- «Е1Ч ких о расходится. 11.14. При каких о сходится ряд [[сй уа) ) ? 11.16. Определить, при каких х > О сходится ряд [х а "]ае1ч. 11.16. Пусть ха — положительный корень уравнения х — х — и = О, где х > О, и > 1, х и и целые. Доказать, что ряд —, + — + ° ° + —, + ...
расходится. 11.17. Пусть ряд [ха]«Е1ч, где ха > 0 для всех и, сходится. Положим га = — хю Доказать, что если ~ пха < оо, то ряд [га]аан сходится. «=«+1 «=1 11.18. Пусть (ха)аян есть возрастающая последовательность такая, что ха > 0 при всех и и ха — «оо при и — оо. Доказать, что тогда ряд ~" "] — расходится.
«+ 1 «ЕМ 11.19. Пусть [аа]аии — сходящийся ряд такой, что аа > 0 при всех п, и последовательность (аа) ааи убывающая. Положим аа = а1 + аЗ + ° ° ° + аа — Паа = (а1 — аа) + (аг — аа) + ° ° + (аа — аа). Доказать что 1пп аа = ~ аа. а-~со «=1 11.20. Пустыр(1) — монотонная убывающая функция такая, что 1р(1) — 0 при 1 — оо.
Доказать следующий признак сходимости и расходимости ряда (признак В. П. Ермахоеа): если существует постоянная С < 1 такая, что -'Й'-'— гни < С Прн 1 > 1О, та ряд [1а(п)]а-,„,,~+1,... СХОдИтСя; ЕСЛИ ~ ' ' > 1, ТО РЯД [~Я(П)]а — ра ~«+1 раСХОДИтек 11.21. Дана функция ?: К вЂ” К такал, что )'(0) = 0 и ?' дифференцируема в точке О, причем 1 (0) ~ О. Доказать, что ряд []у [-„) ~ ) сходится при а > 1 и расходится при о < 1.
11.22. функция ?': [ — 1, Ц К принадлежит классу С~, где гл Е Х, причем 1(0) = 1~(О) = ° = у( 11(0) = 0 ?1~1 ~ О. При каких о > 0 сходится ряд [х [ —.'-)] „,„' 31О Гл. 11. Тео ия ядов 11.23. Локазать, что ряд е+ — е + ° ° + -1 +... сходится для всякого е 6 С 1 % 72 "' 'гй такого, что ]е[ < 1, з ф 1.
11.24. Ряд [ан]„еы, где ан > О для всех и, расходится. Доказать, что тогда и ряд [ф~~-] расходится. +ьв не1Ч 11.25. Пусть [а„)„61ч есть убывающая числовая последовательность, все члены которой неотрицательны. Показать, что если ряд [ан]неы сходится, то на„- О при п — со. 11.26. Дан ряд [а„]неьь а„> О для всех и. Доказать, что если для некоторого 1 6 Х справедливо неравенство Пщ — а— ~-' — "- < О, то ряд [а„]„е1ч сходится, н-+со ь+1 если же для некоторого 1 6 М справедливо неравенство 1пп -а~1 — "'- > О, то +1 РЯД [ан]„Е1Ч РаСХОДИтСЯ. 11.27. Доказать, что если ряд [ан]не1ч, где а„> О для любого и, сходится, та СХОЛИтея И ряд [ /ана„.< 1]ня1Ч.
ДОКаэатЬ, Чта ЕСЛИ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ [ан)нен убывает, то сходимость ряда [ /ана„~з]нян влечет сходимость ряда [ан]„яп. Верно ли последнее утверждение, если последовательность [ан)н61Ч не является убывающейр 11.28. Лап числовойрял [хн]не1ч, гле хо > О при всех и и ~, хн = оо. Пусть н=1 Ян = х1 + хз + ° + х„. Показать, что ряд [~~1 расходится. [Указание: ~'нб1Ч РассмотРеть Разность 1п Ян — )п Я„1.) 11.29. Дан числовой ряд [хн]ня1ч, гле хн > О при всех н и ) х„= оо.
ПуСтЬ Ян ее Х1 + ХЗ + ° + Х„. ЛОКаватЬ, Чта ряд [ — хель 1 СХОдИтСя Прн ~ Зь 1 нЕ1Ч всех а > О. [Указание: рассмотреть разность ߄— Я„1.) 11.30. Пусть [ан]не1ч — сходящийся ряд такой, что а„> О при всех и, Ян ее а1+ах+ ° +а„. Положим Я = ~ ан, гн — — Я-Ян, Ь1 = Я вЂ” ф 1,..., Ьн —— н=1 =,/г -1 — /тн при и > 1. показать, что ряд [Ьн]нем сходится к Я медленнее, чем рял [ан]„ЕМ. 11.31. Пусть числовой ряд [ан]не1ч таков, что ан > О при всех и и ~ , 'а„= оо. Положим н=1 Ян = а1+аз+ ° ° +а„, 61 — — ~/81, 6„= 1/он — 1/3„ при и > 1.
Показать, что [ьн]нсы расходится медленнее, чем ряд [ан]н61ч 11.32. ПУсть РЯЛ [ан]не1Ч, где а„> О и а„> ан.Ь1 пРи всех и, сходитсЯ. Показать, что существует такая возрастающая последовательность (Ьн)„явь что Ь„> О при всех п, 6н - оо при и — оо и ряд [анЬн]н61ч сходится. 11.33. Пусть [1„)не1ч есть такая убывающая последовательность, что 1„> О для всех п, 1н — ~ О при и — ~ со и ~ гн = оо. Показать, что тогда сущее=1 Задачи ствует такая подпоследовательность (1и )ьян, что 1а < 1/а для любого Й И ~,,1из =Ос.
1=1 11,34. Пусть (ии)ияи1 — убывающая последовательность такая, что ии > О при всех и. Доказать, что если существует такое целое х > 2, что йияи > иа НаЧИНая С НЕКОтОрОГО И = ИО Прн ВСЕХ И, та ряд (иа]ия1Ч раСХОднтея. 11.35. ПУсть из > 1 — натУРальное число. ДлЯ и Е Ы положим аи(ги) = 1, если и не делится на ги, и аа(из) = -(из — 1), если и делится на ги. Доказать, что ряд [ — и( — Ц~ сходится, причем ~, ~в~~~ = )п ги. 1 ай)Ч а=1 11.36. Пусть (хи]ипи — числовой ряд такой, что хи > О при всех и, хи - Р при и — оо и ~, хи = со.
Доказать, что для любого числа 2 Е (О, оо) из по- и=1 СЛЕдаеатЕЛЬНОСтн (Хи)„яи МОЖНО ИЗВЛЕЧЬ ПадПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Хи„)яя1Ч, и1 < из « ° ° тц, < ..., такую, что 1 = 2 хая. й=1 11.37. Исследовать сходимость РЯда [хип], где а > О, аЕ1Ч' и/2 хи = (ейп х)а ах. о 1 11.38. Исследовать сходимость ряда (ха]ия)ч, где хи = ] 7+ — с(х. При каких о а > О сходится ряд [х~~ ? Исследовать на сходимость следующие двойные ряды: 11.39.
,') ), ( — +„7я. аи1 та=1 пп й> и=1 пь=1 11.41. ~ ~ -„я+1,. аа1 ши1 11.42. 1 РтипаГа Р' и=1 пи=1 11.43. 1 и=1 та=1 (и+за) !и(а)Р+(1ипъ)г+11 11.44. Исследовать на сходимость следующие из-кратные ряды: и1=1 аза1 и,ии1 Гл. П. Тео ия ядов 312 '1п1 + п2 + ' ' ' + ппз) ела=1 е1 =1 е2=1 гдер> О,/с> О. 11.45. Пусть 1с целое, большее единицы. Доказать, что й., п1пг ° ° ° пй(п1 + пг + ' ' ' + пй) где суммирование ведется по множеству всех таких систем из Й натуральных чисел п1, иг,..., т1ы которые не имеют общего целого делителя, отличного от Ы. 11.46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
