1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пусть дана функция ~: А х Т вЂ” М, т. е. каждой паре (х,1), где х б А, 1 Е Т, сопоставлена некоторая точка 7(х, г) пространства М. Предположим, что для всякого х б А существует предел 328 Гл. 12. Функциональные ряды н интегралы Пределы йчп ( 1ип Дх,1)) = 1пп [~р(х)], вЮ ч )цч) е аЮ-+ч 1ип ( 1пп Дх,1)) = 1ип [ч))(й)], л(ч)-~а а(ч) ч Л(ч)-~а (1.12) (1.13) Пример. Пусть А = Т = Х, а метрическое пространство М совпадает с множеством всех вещественных чисел К. Для произвольных и, т Е Х положим п + (-1)" т п — т Дп,т) =, д(п,т) = и+т и+т При всяком п 1пп Дп,т) = ( — 1)" и при любом т 1ип Дп,т)=1. ПЪ ОО и-~со Отсюда ясно, что предел 1ип ( 1ип Дп,т)) не существует.
В то же в-~00 И 00 время предел 1ип ( 1ип ~(п,т)) существует. Его значение, очевидно, равно 1, Для функции д при каждом и 1ип д(п,т) = — 1 и при любом т 1ип д(п, т) = 1. Отсюда следует, что повторные пределы йщ ( 1пп д(п,т)), йщ ( 1пп д(п,т)) оба определены. Первый из них равен -1, второй равен 1, так что значения этих пределов различны. Установим остаточное словце ля совпа ния повто ных п е- делов, Пусть дана функция ~: А х Т -~ М. Предположим, что для всякого х Е А существует предел 1ип )'(х,1) = у(х).
Будем говорить, л<ч) я что )(х,е) сходится к ~р(х) равномерно при Л(1) -+ р и р(х) д, если для всякого е > 0 можно указать окрестность ч) точки р Е Й и окрестность г'" точки д в множестве Й так, что для любых х Е А и 1 Е Т, если таковые существуют, называются повторными пределами функции )(х,1), когда р(х) — ~ д и Л(ч) -~ р. Величины (1.12) и (1.13) получаются из Дх, 1) в результате двух последовательных предельных переходов — сначала по одной из переменных х и ~, а затем по другой. Если функция ~ произвольна, то из существования одного из повторных пределов (1.12) и (1.13), вообще говоря, не следует существования другого, а если они оба существуют, то их значения могут и не совпадать. з 1.
Понятие равномерной сходимости дпя семейства функций 329 удовлетворяющих условиям (з(х) е У и Л(г) е П, выполняется неравен- ство р[((х,(), ~р(х)] < е. 11ш ( 1пп ((х,Х)), и(.) р Л(з) р 1пп ( 1пп ((х,Х)) А(О- р и(*) з существуют и равны между собой. Доказательство. Предположим, что выполнены все условия теоремы.
Сначала докажем существование предела Пгп у(х). р(*) з В силу полноты пространства (М, р) для этого достаточно установить, что функция ~р удовлетворяет условиям признака Коши — Больцано существования предела при д(х) -~ д (см. з 5 главы 6). Зададим произвольно е > О, и пусть окрестность П точки р и окрестность У точки д таковы, что если д(х) Е У и Л(8) Е П, то выполняется неравенство р[((х,г),(р(х)] < †. Такие окрестности П и У существуют в силу того, что ((х, () -~ <р(х) равномерно при р(х) -~ д и Л(() -+ р. Фиксируем произвольно ( такое, что Л(() Е П. Пля всякого х е А, удовлетворяющего условию р(х) Е У, выполняется неравенство р[~(х,(),(а(х)] < —.
(1.14) В силу условия теоремы существует предел 1пп ('(х,() = ф(() и, знаи(*)- з чит, найдется окрестность У„' точки д такая, что если д(х) Е У,', то 4 (1.15) Пусть У есть окрестность предельного значения д оценочной функции )з, содержащаяся в каждом из множеств 1' и У„'. Пусть х таково, ж Теорема 1,3. Пусть даны множества А и Т, причем на множестве А задана оценочная функция д с предельным значением д, а на Т задана оценочная функция Л с предельным значением р. Пусть (М, р) есть полное метрическое пространство и функция 1: А х Т -+ М удовлетворяет следующим условиям: 1) при каждом х б А существует предел 1пп ((х,() = (а(х), а при всяком ( Е Т существует предел Л(О р йш Дх,() = ф((); 2) функция ) (х,() сходится к (р(х) равномерно при и(*) р Л(() -+ р и р(х) — 9.
Тогда повторные пределы Гп. 12. Функциональные ряды и интегралы ЗЗО что д(х) Е Уо Так как К С У, то д(х) е У и, значит, для этого х выполняется неравенство (1.14). Так как У С У,, то )л(х) Е У,' и, значит, для данного х Е А имеет место неравенство (1.15). Из неравенств (1.14) и (1.15) следует, что р[~р(х),4)(~)] < р[~р(х), Дх,1)] + рфх,1), Ф(1)] < — + — = —. (1.16) Мы получаем, таким образом, что если д(х) Е У, то р[у(х), у)(1)] < —. Возьмем произвольно х1 Е А и хз Е А такие, что )л(х1) Е Ъ~ н ,и(хз) Е Уо Тогда получим р[р(х1),~р(хз)! < Р[Р(х1)лФ(1)]+ р[ф(1)~зз(хз)] < — + — = е. Так как е > О было взято произвольно, то мы, таким образом, доказали, что для функции у выполнены условия признана Корив Больцано существования предела (теорема 4.9 главы 6).
Так как пространство (М,р) является полным, отсюда следует, что существует предел 1пп ~р(х) = я. я1ж) з Докажем, что г = 1пп 4($). Так как я = 1пп ср(х), то найдется лСО я(х) з окрестность Уе предельного значения д метрической функции д такая, Е что если д(х) Е Уе, то р[~р(х), г] < —. Пусть х Е М таково, что д(х) Е У~ и одновременно д(х) Е Ув. Такое х существует. Для данного х имеем р[~р(х), я] < — и одновременно р[у(х), Ф(1)] < —. Отсюда следует, что 2 2 Заметим, что 1 Е Т такое, что Л(л) Е У, было выбрано произвольно.
Таким образом, мы получаем, что для всякого е > О можно указать окрестность У точки р такую, что если Л(8) Е У, то р[)р($), я] < е. По определению, это и означает, что я = Вгп у)(1) = ю Теорема доказана. ° л(О я 3 1. Понятие равномерной сходимости дл» семейства функций 331 1.5. Сле стнин теОРемы О пОВтОРных пРе елАх. Докажем здесь некоторые важные свойства равномерно сходящихся семейств функций, являющиеся следствием теоремы 1.3 п. 1.4. Далее Х означает произвольное банахово пространство.
И ТеоРема 1.4. ПУсть (Л: М вЂ” Х)9ят есть семейство фУнкций, определенных на множестве М. Предположим, что в Т задана оценочная функция Л с предельным значением р Е Й, а в М определена оценочная функция р и д Е Й вЂ” ее предельное значение. Предположим, что при Л(9) — р функции (9 равномерно сходятся к функции 1: М вЂ” Х. Тогда если при каждом 1 б Т существует предел 1пп Ях) = а9, то р(к) '9 функция | имеет предел )1щ У(х).
При этом выполняется равенство и(*)'- 9 Бт ('(х) = 1пп ао р(*) 9 л(9) р Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что при всяком х е М существует предел Бт (9(х) = ((х). Зададим произвольно Л(9) р е > О. Так как функции (9 при Л(|) — р сходятся равномерно к функции 1, то найдется окрестность У точки р такая, что если 1 Е Т и Л(|) б У, то выполняется неравенство Пусть ( б Т, причем Л(|) 6 У.
Тогда для всех х б М выполняется неравенство )Ях) — ((х)~ < ~)~, —,('Пь (м) < е. (1.17) Пусть 1г есть какая-либо окрестность точки д б Й вЂ” предельного значения р(х). Мы получаем, в частности, что неравенство (1.17) выполняется для любых х и | таких, что Л(1) б У, а р(х) б 1г. Таким образом для любого е > 0 можно указать окрестность У точки р и окрестность 1Г числа 97 такие, что если р(х) Е 'р' и Л($) Е У, то П79(х) — У(х)П < е.
Следовательно, мы получаем, что Ях) — 7(х) равномерно при Л(|) р и р(х) — д. При всяком 1 б Т существует предел Бт Ях) = ао Из сказанного следует, что для функции Г: (х, () б и() 9 Е М х Т ~ (,(х) Е К выполнены все условия теоремы 1.3 и, значит, повторные пределы 1пп ( 1пп Ях)) = 1пп 7(х), р(х) 9 Л(9)-~р р(к) 9 1пп ( 1пп Ях)) = йпъ а9 л(9) р р(к) 9 л(0 р 332 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы существуют и равны между собой. Теорема доказана. ° Следующая теорема показывает, что свойство функций быть непрерывными сохраняется при равномерной сходимости. ° Теорема 1.5. Пусть (Д: М -+ Х)зет есть семейство функций, определенных на метрическом пространстве (М, р). Предположим, что в множестве Т задана оценочная функция Л с предельным значением р и при Л(1) -+ р функции 1~ равномерно сходятся к функции ): М вЂ” Х. Тогда если лри каждом 1 Е Т функция ~~ непрерывна в точке хо метрического пространства (М, р), то предельная функция 1 также непрерывна в этой точке. Доказательство.
Пусть выполнены все условия теоремы. Если хо Е М есть изолированная точка пространства М, то теорема верна, так как в этом случае любая функция, определенная на М, является непрерывной в точке хо. Предположим, что хо есть предельная точка М.
Тогда на множестве М ) 1хо) определена оценочная функция р: х Е М + р(х,хо) сходимости к точке хо. При каждом ~ Е Т существует предел йш Л(х) = Л(хо). Значит, на основании теоремы 1.4 существует предел 1пп ~(х) = йщ Яхо) = )1хо). ж хо л(з)-+р Тем самым непрерывность функции ) в точке хо установлена. Теорема доказана. ° ° Теорема 1.6. Пусть (У„: М вЂ” Х)„еп есть произвольная последовательность функций, равномерно сходящаяся при и — оо к функции 1: М -+ Х. Предположим, что на множестве М задана оценочная функция р с предельным значением д н при всяком и е ))) существует предел Бт 1„(х) = а„. Тогда функция 1" также имеет предел я(х)-~з Бпз 1„(х) = а. При этом а = 1пп а„.
Если на множестве М задана я(*) я и и произвольным образом метрика р и каждая из функций данной последовательности непрерывна в точке хо метрического пространства (М, р), то функция 1 также непрерывна в этой точке. Доказательство. Теорема содержит два утверждения. П е р в о е есть частный случай теоремы 1.4, получаемый, если взять Т = М и положить Л(и) = и, р = оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
