1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 65
Текст из файла (страница 65)
а=о Теорема доказана. ° 338 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 32. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Функциональным рядом называется всякий ряд вида 1»+1»+»+. +~„+ +..., где ~„, н = Й, Й+1,..., есть числовые функции, определенные на некотором множестве М. Если ~» + 1»+» + ° ° + ~„+... — функциональный ряд, члены которого представляют собой функции, заданные на множестве М, то для всякого х Е М определен числовой ряд э»(х)+У»+»(х)+' ' '+1а(х)+ ° ° Предположим, что этот числовой ряд сходится для всякого х Е М и Г(х) есть сумма этого ряда в точке к.
Таким образом, на множестве М определена функция Г, которую будем называть суммой данного функционального ряда. Наша цель — указать некоторые средства, позволяющие установйть свойства суммы ряда, зная свойства отдельных его членов. Например, если мы знаем, что все члены ряда есть дифференцируемые функции, то, естественно, возникает вопрос: будет лн его сумма дифференцируемой функцией и можно ли получить производную суммы, почленно дифференцируя данный ряд и вычисляя затем сумму полученного ряда? (Предполагается, что множество М есть промежуток в К.) Легко построить примеры, показывающие, что, вообще говоря, этого делать нельзя.
Используя результаты ~ 1 этой главы, мы сможем здесь указать условия, выполнение которых позволяет устанавливать непрерывность суммы ряда, все члены которого есть непрерывные функции. Здесь же будут указаны условия, при выполнении которых производная суммы ряда равна сумме производных его членов. Здесь определяется понятие равномерно сходящегося ряда и доказываются теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. При этом мы существенно опираемся на результаты, полученные в В 1. 2.1.
ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНО СХО Я ЕГОСЯ РЯ А У» + У»+з + " + У + " = ,"», У . а=» (2.1) 2.1.1. Зададим произвольно пепустое множество М. Предположим, что для всякого номера п > Й, где Й вЂ” целое число, задана функция ~„: М вЂ” К. Для каждого и > и определим функцию Г„: М вЂ” К, полагая Г» = 1» и Г„+1 — — Г„+ ~„+» для всякого н. Говорят, что (Г„)„>» есть последовапзельность частичных сумм функционального ряда з 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 339 функциональный ряд будем обозначать также одним из следующих выражений: [1„]„>ы [1„(т)]„>ь или [1„: М -~ К]„>ы Символ п > /с, используемый во всех этих обозначениях вместо индекса, может заменяться выражением и Е Хы Будем говорить, что функциональный ряд (2.1) является равномерно сходящимся на множестве А С М, если последовательность его частичных сумм (Г„)„>ь равномерно сходится на множестве А.
Для всякого множества М определено банахово пространство Л (М). Последовательность ограниченных вещественных функций (~р„) >ь, определенных на множестве М, является равномерно сходящейся на М в том и только в том случае, если она представляет собой сходящуюся последовательность элементов банахова пространства Х (М). В силу этого результаты главы 11 относительно рядов в произвольном банаховом пространстве могут быть применены к изучению свойств равномерно сходящихся рядов.
Из теоремы 1.1 главы 11 вытекает следующий необходимый признак равномерной сходимости функционального ряда. я Предложение 2.1. Если ряд [1„: М вЂ” К]„>ь равномерно сходится на множестве М, то [Яь <м~ -+ 0 при п — оо. Справедливость данного утверждения устанавливается простым сопоставлением определений. а Предложение 2.2. Пусть дана последовательность вещественных функций (~„)„>ы определенных на множестве М. Предположим, что каждая из функций ~„является ограниченной. Для того чтобы функциональный ряд [~„]„>ь был равномерно сходящимся на множестве М, необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 существовало значение т > Й такое, что для любого 1 Е М имеет место неравенство 1п а=ай+1 ь ~щ Это есть частный случай теоремы 1.5 главы 11, получаемый, если в ее формулировке в качестве банахова пространства Х взять пространство Ь [М).
Ф я Предложение 2.2. Пусть дан функциональный ряц [1"„: М -+ К]„>ы Тогда если числовой ряд [][Я[ь ~м~]„>ь является сходящимся, то ряд [~„]„>ь равномерно сходится на множестве М. 340 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы Условие предложения означает, что [Я„>ь есть абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве Ь (М]. Отсюда согласно теореме 1.6 главы 11 следует, что этот ряд является сходящимся в пространстве Ь (М).
Осталось заметить, что сходимость ряда [~„]„>ь в пространстве Л (М) есть то же самое, что и равномерная сходимость данного ряда на множестве М. е е Предложение 2.4 (критерий Вейерштрасса равномерной сходи- мости). Пусть дан функциональный ряд [1„: М вЂ” К]„>ы Тогда если существует сходящийся числовой ряд [а„]„>ь такой, что ]1„(в)] < а„ при каждом и > Й, то функциональный ряд [Я„>ь равномерно сходится на множестве М. Действительно, пусть ряд [г„]„»в удовлетворяет условию следствия. Тогда при каждом п > и выполняется неравенство ]]Х.]] ~~~ < ' Значит, согласно теореме 2.3 главы 11 ряд []]1„]]ь 1м1]„>ь является сходящимся. Отсюда в силу предложения 2.3 вытекает, что ряд [Я„>ь равномерно сходящийся.
Предложение доказано. ф ф Предложение 2.5. Пусть М есть метрическое пространство и [1„]„йь — ряд, члены которого есть ограниченные непрерывные вещественные функции, определенные в пространстве М. Тогда если данный ряд является равномерно сходящимся, то его сумма есть ограниченная непрерывная функция в М. Яоказательство. Из условий данного предложения вытекает, что частичные суммы Г„данного ряда есть ограниченные непрерывные функции, определенные на пространстве М.
При и — оо функции Г„сходятся равномерно к некоторой функции Г. Согласно теореме 1.6 данной главы предельная функция Г является ограниченной и непрерывной. Функция Г есть сумма функционального ряда [1„]„>ь, и справедливость данного предложения, таким образом, установлена. Предложение доказано. ф 2.1.2. Пусть (~„)„> и (и„)„> есть последовательности вещественных функций, определенных на множестве М. Будем говорить, что функциональный ряд [и„]„> мажорируеш функциональный ряд [(„]„>, если каждая из функций и„неотрицательна и для всякого и > т для всех х Е М выполняется неравенство [Ят)] < и„(т). В этом случае говорят также, что ряд [и„] есть мажоранта ряда [1„]. ° Теорема 2.1. Пусть (1„)„> и (и„)„> есть последовательности ограниченных вещественных функций, определенных на множестве М.
Предположим, что функциональный ряд [и„]„>ь мажорирует ряц [Я„>ы Тогда если ряд [и„]„>ь равномерно сходится на множестве М, то также и ряд [Я„>ь является равномерно сходящимся на М. З 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 341 Доказательстве. Теорема устанавливается применением предложения 2.2. Предположим, что ряд [ип]п>ь мажорирует ряд [У„]„>ь и является равномерно сходящимся на множестве М. Зададим произвольно е > О. Тогда в силу предложения 2.2 найдется номер т > х такой, что для любого 1 б 1з выполняется неравенство оп+1 ип <Е.
а=т+1 ь 1м1 При всяком х б М имеем Г"„(Х) < ~~1 [~„(Х)[ < ~~1 и„(Х) < ~1 ип п=пь+1 а='"+' Ь 1М1 а=п1+1 2.2. ПРИЗНАКИ ИРИХЛЕ И АБЕЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СХО ИМОСТИ ФУНК ИОНАЛЬНОГО РЯ А 2.2.1, Докажем здесь признаки равномерной сходимости ряда, получаемые соответствующей модификацией признаков Абеля и Дирихле сходимости ряда, доказанных в главе 11. ПуСтъ даНЫ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ (ип)пЕ1Ч, И (Оп)пни,. Дпя о > О положим У„= 2 иь. Тогда, как было доказано в главе 11 (см. я=О теорему 3.1), если последовательность (П„)„енп является ограниченной, а ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (О„Е И)„ЕЗЬ МОНОтОННа, ПРИЧЕМ йн1 Оп пп О, тО а-~со ЧИСЛОВОЙ ряд [ипоп]пЕН, яВЛяЕтСя СХОдящИМСя. Прн ЭТОМ ИМЕЕТ МЕСТО равенство ) ипип = ~~1 Па(еа — Оп+1). а=о п=о (2.2) ° Теорема 2.2 (признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда).
Пусть М есть произвольное множество, (1„)„> н (зп)п> — последовательности вещественных функций, определена ных на множестве М. Для произвольного и > ти положим Я„= 2, гь. я=за Так как х было выбрано произвольно, то мы получаем, таким образом, что для функционального ряда [Я„>ь выполнено условие предложения 2.2 и, значит, этот ряд является равномерно сходящимся на множестве М.
Теорема доказана. ° 342 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы Предположим, что последовательность функций (У„)„> является ограниченной в Ь (М), а 1„(х) ':з 0 при и — оо на множестве М, причем последовательность (~„(х))„> является монотонной для любого х Е М. Тогда функциональный ряд [г„1„]„> равномерно сходится на множестве М. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда при каждом х Е М выполнены все условия теоремы 3.1 главы 11 и, следовательно, числовой ряд [яа(х)г"„(х))„> является сходящимся для всех х Е М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
