1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Действительно, если т = О, [х — с[ то у = оо и ]г — с].у = оо > 1. Если же т > О, то [х — с[у = > 1. т П и/с-+со Р ]г — с[ "Ф/]а „] — ]г — с[.у > 1. Отсюда следует, что при достаточно больших к выполняется неравенство ]х — с[ Д]а„,] > 1, а значит, также и ]а„„(х — с)"'] > 1.
Для данного ряда поэтому нельзя утверждать, что и-й член ряда стремится к нулю при и — оо. Таким образом, для ряда [а„(х — с)" ]„е~, при ]х — с[ > т не выполняется необходимое условие сходимостн н, значит, в этом случае данный ряд является расходящимся. Теорема доказана.
° Число т б [О, оо], указанное в теореме 3.1, называется радиусом сха- 1 димостаи степепиого ряда (3.1). Если условиться считать, что — = оо 0 1 и — = О, то выражение для радиуса сходимости ряда можно записать едйной формулой так: т= 1 (3.4) 11ш„,~ Уут]а„] Равенство (3.4) называется формулой Коши — Адамара. Вычисление радиуса сходимостпи стпепеппого ряда непосредственно по формуле Коши — Адамара (3.4) может быть делом достаточно трудным.
Часто оказывается, что проще найти радиус сходимости степенного ряда, используя другие известные нам признаки сходимости. Например, для этой цели иногда может служить признак Даламбера сходимости ряда (см. з 2 главы 10). Из теоремы 3.1 вытекает следующее предложение. Следствие. Пусть даны степенной ряд [а„(х — с)"]„ез~, и точка хо б С. Пусть т есть радиус сходнмости ряда. Тогда: а) если ряд [аа(хо с) ]вел (3 5) сходится, то т > ]хо — с[; б) если ряд (3.5) расходится, то т < ]хо — с].
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы Локазательстно. Действительно, предположим, что ряд (3.5) сходится. Тогда неравенство т < ~го — с~ не может иметь места, ибо в противном случае ряд был бы расходящимся для г = го. Следовательно, т > ~го — с~. Аналогично, заключаем, что если ряд (3.5) расходится, то неравенство т > )хо — с! невозможно, и потому т < ~го — с!.
Следствие доказано. У К(с, т) С ЯУ С К(с, т). (3.6) Круг К(с, т), где т есть радиус сходимости степенного ряда (3.1), называется кругом сходимостпи этого ряда. (В случае т = оо кругом сходимостои ряда считаем всю плоскость. В случае т = О кругом сходимости ряда считаем пустое множество.) 3.1.2. Рассмотрим примеры на применение теоремы 3.1 и ее следствия. Пример 1. Рассмотрим ряд (и!г"~„ен. Применим признак Яааамбера сходимости ряда. Получим )(п+ 1)!х": и!г"! = (п+ 1Щ. Если х ф О, то (и+1)~г~ — со при п — оо и, значит, ряд расходится для любого г ф О. В силу следствия теоремы 3.1 это позволяет заключить, что радиус т сходимости данного ряда равен нулю.
Теорема 3.1 позволяет получить определенную информацию о строении множества сходимости степенного ряда. Именно, пусть .гг есть область сходимости ряда (3.1) и т — его радиус сходимости. Если т = О, то ряд сходится в единственной точке — в точке х = с. В этом случае гг = (с). Если т = оо, то ряд сходится для любого г и, значит, .яу = С. Пусть О < т < оо. Обозначим через К(с, т) множество всех г Е С таких, что ~г — с~ < т. Пусть К(с, т) есть совокупность всех г Е С, для которых (г — с( < т. Будем называть К(с, т) открытым кругом, а К(с, т) — замкнутым кругом с центром с и радиусом т.
Если г ф К(с, т), то ~г — с~ > т и, значит, ряд (3.1) для этого г расходится, т. е. г ф гг. Отсюда вытекает, что все значения г, для которых ряд сходится, принадлежат кругу К(с, т), т. е. имеет место включение гг С К(с, т). Для всякого х Е К(с,т) имеем ~г — с~ < т, и, значит, согласно теореме 3.1 ряд (3.1) сходится для всех г Е К(с, т), т.
е. К(с, т) С .гг. Таким образом, мы получаем, что для области сходимости .гг' степенного ряда (3.1) имеют место включения з 3. Степенные ряды 307 Пример 2. Применяя признак Даламбера сходимости ряда к ряду с гп1 —, получим, что данный ряд сходится для всех г, т. е. его п Еко радиус сходимости равен оо. В силу теоремы 3.1 этот ряд абсолютно сходится для всех г е С.
п1 Пример 3. Пусть 0 < т < оо. Ряд ~ — ~ имеет радиус сходии ЕМо мости, в точности равный данному числу т. Заметим, что теорема 3.1 не дает никакой информации о сходимости или расходимости ряда, имеющего радиус сходимости, равный т, где 0 < т < со, в точках, лежащих на границе его круга сходимости, т.
е. для значений г таких, что ~г — с~ = т. Следующие примеры показывают, что для таких г возможны различные ситуации. Пример 4. Ряд ~г"]„енп — геоиетрическая прогрессия со знаменателем г — имеет радиус сходимости, равный 1. Он является расходящимся для всех г таких, что ф = 1, так как в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда: и-й член ряда, в случае ~г~ = 1, не стремится к нулю при и — оо. Пример б. Применяя признак Даламбера сходимости ряда, не~я" 1 трудно показать, что ряд ~ — ~ имеет радиус сходимости, равный 1. иЕН п При ~г~ = 1 имеем — < —. Как было показано ранее (см.
п. 2.4 пз пз ~1 главы 10), ряд ~ — является сходящимся. Отсюда в силу при- пЕН знака сравнения (теорема 2.3 главы 10) вытекает, что в данном случае ряд сходится, и притом абсолютно, для всех граничных точек круга сход имости. ~г" 1 ХХрнмер 6. Ряд ~ — ~ сходится при г = -1 и расходится при и "пЕМ ~(-1)" 1 г = 1. (В первом случае мы получаем ряд ~ — ~, во втором слуи пЕМ ~11 чге — гармонический ряд д .) Отсюда вытекает, что радиус схо- ~п~иЕН димости данного ряда равен 1.
Таким образом, мы видим, что рассма- триваемый ряд в одних точках границы круга сходи. ности сходится, а в других — расходится. 358 Гл. 12. Функциональные ряды н интегралы 3.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННЪ|Е РЯ Ы ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК ИЙ 3.2.1. Для некоторых из элементарных функций построим представления в виде сумм степенных рядов. Основным средством для построения таких представлений является формула Тейлора. Пусть дана функция |: (а,6) — С. Предположим, что | имеет в (а, Ь) производную порядка и для любого и.
Тогда для всякой точки хо Е (а, 6) и любого х б (а, Ь) определен ряд У~ »(хо)( Данный ряд называется рядом Тейлора функции |" в точке хо. Его п-я частная сумма есть полипом Тейлора порядка и функции |" в точке хо. При каждом п имеем |(х) = ~»~ , (х — хо) + т„(х). ,|'"»(хо) я=о Как было показано ранее, т„(х) = о((х — хо~" при х — хо. Предположим, что функция | удовлетворяет условиям, при которых ее ряд Тейлора может быть определен в каждой точке хо интервала, в котором рассматривается данная функция. Этот ряд, очевидно, сходится при х = хо, и сумма его при этом равна |(хо). Естественно предположить, что этот ряд будет сходящимся хотя бы в некоторой окрестности точки хо, и для каждого х, для которого ряд Тейлора функции | сходится, сумма его равна |(х).
Существуют примеры функций |', имеющих производные любого порядка, для которых ни одно из этих предположений не выполняется. 3.2.2. Для некоторых функций оказывается, что ряд Тейлора функции сходится к ней в окрестности точки, в которой этот ряд вычисляется. Доказательство этого требует каждый раз специального исследования.
Здесь мы рассмотрим представления некоторых конкретных функций как сумм их рядов Тейлора. 1. Рассмотрим функцию г е С + е'. Построим разложение этой функции в ряд по степеням х. Для этого рассмотрим функцию вещественной переменной у(1) = е" и построим ее ряд Тейлора в точке | = О. Имеем яке|я з 3. Степенные ряды 359 при любом п.
Отсюда следует, что полинам Тейлора порядка п функ- ции у в точке ~ = 0 имеет вид 2 п 1+ — 2+ — 1 + + — 1". 1! 2! и! Пусть ги(~) есть остаточный член формулы Тейлора порядка и функции ~р(1) в точке 1 = О. Имеем в*= р(~)=1+ — 1+ — 12+.. + — 1 + (1), 1! 2! и! Отсюда, полагая ~ = 1, получим 22 г" е' = 1+ — + — + . + — + г„(1). 1! 2! и! Из интегрального представления остаточного члена формулы Тейлора (см. п. 2.7 главы 5) следует г„(1) = —, / г"+ е~'(1 — $)" ~й.
и+1 1и о 1 Мф "+1 Г „М!г) "+' М1)! <, /'(1-~).д = о где настоянная М равна ен", если Кег > О, и М = 1, если Вез < О. Г г" 1 Как было показано выше (пример 2 п. 3.1), ряд ~ —,~ сходится игпи и при любом г. Отсюда следует, что, каково бы ни было г б С, — — 0 и! при и -~ оо. Это позволяет заключить, что г„(1) О при и — со и, следовательно, г гз г" е* = 1+ — + — + ° ° ° + — -!- 1! 2! п! (3.7) для любого г Е С. Имеем !е" ~ = е"к'*. Если Пег > О, отсюда следует, что для всех ! б (0,1) верна оценка !е'*! < ен".
В случае, когда Пег < 0 при 1 й (0,1), верно неравенство !е" ~ < 1. Окончательно получаем 360 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 2. Равенство (3.7) позволяет получить разложения в етпепенные ряды функций сов х и в!и х. По формуле Эйлера (см. главу 3) имеем Е'х = СОВ Х + 1 В!П Х. В равенстве (3.7) положим г = гх, где х — вещественное число. Пусть п — целое число. Если п четно, и = 2т, т > О, т 6 Е, то 1а = ( — 1) . Если и нечетко, п = 2т+ 1, где т > 0 целое, то га = ( — 1) 1.
Принимая во внимание сказанное, получим 2 .4 .В ~1 ~' ех= 1 — — + — — — +...)+г~х — — + — — — +... 2! 4! 6! ) ~, 3! 5! 7! Отсюда заключаем, что для всякого х Е К сов х = В.ее'х = 1— вш х = 1гп е'х = х— 3. Имеем равенства верные для любого х такого, что !х~ ( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
