1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть р таково, что 0 < р < Л. Покажем, что ряд [Д(х)1 равномерно сходится в промежутке [Ь вЂ” р, Ь+ р]. Согласно лемме 3.1 существует постоянная М < оо такая, что ]а„[ < — для всех и. Для всякого х Е [Ь вЂ” р, Ь+ р] имеем Мп" [Д(х)] = п]а„[[х — Ь]" 1 < — —. Осталось заметить, что, как устанавливается применением признака Даламбера, если 0 < о < 1, то ряд [по"]„>, является сходящимся. Полагая о = —, получим, что для ряда [Д(х)] > (отсчет членов Р ряда мы начинаем с и = 1, поскольку Д = 0) выполняется критерий Вейериппрасса равномерной сходимости на промежутке [Ь вЂ” р,Ь+ р] (см.
предложение 2.4 из п. 2.1 этой главы). Из доказанного, очевидно, следует, что ряд [Д(х)] > сходится локально равномерно в интервале (Ь вЂ”,Ь+ т). Условие 1 теоремы 2.4, таким образом, выполняется. Условие 2: ряд [1„]„>в должен сходиться по крайней мере в одной точке интервала (Ь вЂ” т, Ь+ т) — здесь выполнено тривиальным образом. Все условия теоремы 2.4, таким образом, выполнены. Следовательно, мы получаем, что функция Г дифференцируема в каждой точке х Е (Ь вЂ” т, Ь+ т) и Г'(х) = ~ па„(х — Ь)" Меняя обозначение для индекса суммирования, получим второе представление для производной функции Г(х), указанное в формулировке теоремы.
Теорема доказана. ° Следствие. Предположим, что радиус сходимости т степенного ряда [а„(х — Ь)"]„ен, отличен от нуля. Пусть Г(х) есть сумма этого ряда. Функция Г принадлежит классу С в интервале (а, Ь) для всякого /с > 1. При этом Г~~1(х) = ~> (и+ й)(п+ й — 1)... (п+ 1)а„+ь(х — Ь)" в=в для всех х Е (Ь вЂ” т, Ь + т). 373 3 3. Степенные ряды Локазательство. Будем доказывать следствие индукцией по Ь.
Для Ь = 1 утверждение следствия верно. Предположим, что для некоторого Ь следствие верно, так что функция Г принадлежит классу С», причем (х) = ~ Аа(х Ь) (1~о > О Ап = ап+» П(т" + у)) п=о для всех х Е (Ь вЂ” т, Ь+ т). Ряд, представляющий функцию Г~»~, сходится в промежутке (Ь вЂ” т, Ь+ т). Согласно теореме 3.4 отсюда следует, что функция Ф = Г<~> дифференцируема в каждой точке промежутка (Ь вЂ” т,Ь+ т) и Ф'(х) = ~~(п+ 1)А.+ (х - Б)" а=о Полученный ряд сходится в интервале (Ь вЂ” т, Ь+ т). Имеем Ф'(х) = гз»+ц(х) для всех х Е (Ь вЂ” т,Ь+ т).
Преобразуя выражение для Ф'(х), получим ,'гз»+11(~) = ~) (и+ 1)(о+ 1+ lс)(п+ й)... (и+ 2)а„+»+з(х — Ь)". п=о По индукции, следствие доказано. 3.4.2. Пусть 1 = (а, Ь) есть произвольный интервал в множестве К. Функция 1: (а, Ь) — К называется аналитпической, если 1 Е С ((а, Ь)], каково бы ни было та > О, и в каждой точке хо Е (а, Ь) ряд Тейлора фУнкции 1 в точке хо ЯвлиетсЯ сходЯщимсЯ в некотоРом интеРвале (хо — е,хо+ е), причем у(п)( . ) У(х) = ~ , (х — хо) п=о для всех точек х Е (хо — е, хо + е). ° Теорема 3,6. Предположим, что радиус сходнмостн т степенного ряда (а„(х — Ь)")„еп, = ао + а1(х — Б) + аз(х — Ь) + ° ° + ап(х — Б)п + ..
отличен от нуля. Пусть Дх) = ~, 'ап(х — Б)". Функция Дх), опреп=о деленная хаким образом, является аналитической в промежутке (Ь вЂ”,Ь+ т). Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 374 Доказательство, Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно точку хо Е (Ь вЂ” г, Ь+ т). Положим г = хо — Ь. Пусть е > 0 таково, что )я)+ е < т. Пусть х Е К таково, что (х — хо! < е.
Тогда (х — Ь| < (хо — Ь|+ )х — хо! < ф+ е < т. Положим х — хо — — Ь. Рассмотрим двойные последовательности Жь,~)ь>о,~>о и (иь,~)ь>о,~>о> где Уь,~ = ~аь+~~Сь+~Ц~~Ь~~ и иь ~ = аь+~Сь+~з~Ь~. Способ построения этих рядов демонстрирует рис. 1. и, и, и" ... ил, л Рис. 1 При каждом 1 имеем Уь ~ = ~иь ~~. Покажем сначала, что функция (Ь,1) ~ Уь ~ суммируема на множестве Я = Хо х Хо. Отсюда согласно следствию 3 теоремы 4.4 главы 10 будет следовать суммируемость функции пь ь Требуемый результат мы цолучим, вычисляя разными способами сумму функции иьз. Пусть Р„есть множество всех пар (х,1) неотрицательных целых чисел таких, что Ь + 1 = п.
Множества Р„попарно не пересекаются, и их объединение, очевидно, совпадает с Моз. Очевидно, 1; Уьн = (ь,бепо = (ао). При п > 1 имеем Уь р = ~~~ )а„(С~)г~~(Ь!" ~ = )а„фя(+ )Ь~)". (ь,беп. 1=0 Отсюда получаем, что о~,~=~( ~ о~,~) =~) „/() )<-)ЬО". (3.22) ~ь,бено =о 1ь,бед„о=о я~ иы л лиьо Фы лиьо л Рзд иы иоа ~л Ъл из„ 375 з 3.
Степенные ряды РадиУс сходимости Рида Ца„(М")„>о Равен г. Так как )е(+ )Ь! < 1, то ряд, стоящий в правой части равенства (3.22), сходится и, значит, функция Уь 1 суммируема по множеству Мо~. Отсюда следует, что также и функция иь,1 суммируема по этому множеству. Сумму функции иь1 определим, сначала выполняя суммирование по диагоиалямй„множества Мз~.
Получим 2 иь1 = ао и при Ь > 1 (ь,1)е1э. имеем 2; иь1= а„(г+ и)" = а„(х — Ь)". Отсюда заключаем,'что (ь,1)ег1 иь1= ~ ~) иь1= ~~) а„(х — Ь)" = Дх). (ь,1) яви =о (ь,1) оп. =о Теперь в ы ч и с л и м сумму функции ()с,() ~ иь н суммируя элементы строк бесконечной матрицы, в виде которой изображается функция иь1 (см. рис. 1). В силу гпеоремы вб ассоииагаивноегпи суммирования (глава 11, теорема 4.10) получаем, что (3.23) Имеем иь1= ~~1 а1,+1Сь+1г и Е 1 Ь я=о я=о — Ь1~'(~+~)~~+ 1)" +1) Ь" — ~ ~")Ь' 11 П1 я=о Подставляя это выражение в правую часть (3.23) и принимая во внимание, что Ь = х — хо, получим, что для данного х выполняется равенство У( )(хо) П (ь,1)его 1=0 Сравнивая различные выражения для суммы функции иь,1, мы получаем, что у(в)(х ) 1'(х) = ~ , (х — хо)".
п=о Так как от х требовалось лишь, чтобы выполнялось неравенство ~х — хо~ < е, то, таким образом, нами доказано, что ряд Тейлора функции Г" в некоторой окрестности точки хо сходится и сумма его в этой окрестности совпадает с Дх). Теорема доказана. ° 376 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 5 4. Критерии интегрируемости функции в замкнутом промежутке Изучаемые в этом параграфе вопросы составляют содержание того, что обычно называют теорией несобственных интегралов. Формально, определение интеграла, данное в главе 5, делает понятие несобственного интеграла излишним.
Часто встречается такал ситуация, когда известно, что данная функция ннтегрнруема на некотором открытом интервале, н речь идет о том, будет лн она ннтегрнрусма на замкнутом промежутке, получаемом нз данного интервала присоединением его концов. Исходя нэ определения интеграла н использу» известные нам общие свойства пределов, во многих случаях можно получить простые, но в то жс время достаточно эффективные средства, позволяющие дать ответ на этот вопрос. Здесь будут приведены некоторые результаты такого рода. 4.1.
Признлк Коши — Боль лно схо имости интнгрллл Предположим, что функция ~ определена в промежутке (а, Ь) и интегрируема по одному из полуинтервалов [а, Ь) или (а, 6]. Задача, которая будет изучаться здесь, состоит в том, чтобы казать какие-либо ополнительные словня, выполнение которых г а р а н т и р у е т интегрируемость функции г по замкнутому промежутку [а, Ь]. Мы не стремимся к тому, чтобы получить результаты, наиболее общие в математическом отношении, и ограничимся такими, которые, охватывая некоторые основные случаи, важные для приложений теории интеграла, в то же время устанавливаются достаточно просто. Согласно теореме 2.4 главы 5 числовая функция ~, интегрируемая по промежутку [а,Ь), будет интегрируема по замкнутому промежутку [а,6] в том и только в том случае, если существует конечный предел х йш ] Дь) аь'.
Значение этого предела, если он существует и конечен, ь, Ь и есть ] Дх) ах. Аналогично, если функция 7" интегрируема по проа межутку (а, Ь], то в силу теоремы 2.4 главы 5 ~ интегрируема по промежутку [а, Ь] в том и только в том случае, если существует конечный ь предел йгп [ Дь) й. Значение этого предела в случае, если он сущех-га Ь ствует и конечен, и есть интеграл ] Дх) ах. 3 4. Критерии интегрируемости функции 377 Из теоремы 2.4 главы 5 вытекает следующее предложение.
° Теорема 4.1. Предположим, что функция У интегрируема по промежутку (а, 6). Пусть Г есть ее первообразная на (а, 6). Тогда если пределы Бпь Г(х) =, К, Бгп Г(х) = з. существуют и конечны, то функция у интегрируема по промежутку [а, 6], причем имеет место равенство ь У(х) Нх = Ь вЂ” К. х Доказательство, Пусть функция У удовлетворяет всем условиям следствия. Зададим произвольно точку с Е (а, 6). Функция У интегрируема по каждому нз отрезков (а, с] и [с, 6).
При х Е (а, с] имеем | с У(ь) й = Г(с) — Г(х). Если х Е [с, б), то У(4) й = Г(х) — Г(с). х Из условий теоремы вытекает, что существуют и конечны пределы с х Бт У(1) й = Г(с) — К, Бгп У(Ь) й = У, — Г(с). х а+02 х-ь-о ь х с В силу теоремы 2.4 главы 5 отсюда следует, что У интегрируема по каждому из отрезков [а, с] и [с, 6].
При этом Теорема 1.4 главы 5 позволяет заключить, что функция У интегрируема по промежутку [а, Ь]. Согласно теореме 2.3 главы 5 с ь 378 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы что и требовалось доказать. ° Предположим, что функция 1: (а, 6) ~ К интегрируема по промежутку (а, 6). Тогда если она будет интегрируемой по замкнутому ь справа отрезку (а,6~1, то говорят, что интеграл ) Дх) Нх сходится а в точке Ь. Если функция г", интегрируемая по интервалу (а, 6), не является интегрируемой в точке Ь, то говорят, что указанный интеграл расходится или является расходящимся в точке 6. Точно так же в случае, если функция ь интегрируема по замкнуь тому слева промежутку 1а, Ь), говорят, что интеграл ) Дх) Нх сходится а в точке а, а если функция 7", интегрируемая на открытом промежутке (а,6), не является интегрируемой по замкнутому слева промежутку 1а, Ь), то интеграл называется расходящимся в точке а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
