1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Положим ~а за =,1 Аа+»+1 Имеем за = з +а+1 — за. В силУ выбоРа п бУдем иметь [з„[ < — длЯ 2 всех и Е Х, так что последовательность [з„) > является ограниченной. Как следует из теоремы 3.1 главы 11, для всякого 1 Е (О, 1) имеет место равенство Л„(~) = ~ з™(1 +"+' — 1 +а+1) =1"+'(1 — 1) ~ за1 . (3.20) Отсюда получаем, что если 1 Е [О, 1), то имеет место неравенство [Я„(~)[<1-+1(1-1)~~-[.„-[1- <(1-1)'~~'1.
=(1-~)' 2 21 — 1 2 а=о а=о Имеем у(1) = Ып1 у„(М) для всех Ф Е [О, Ц. Каждая из функций ~р„ определена и непрерывна на промежутке [О, 1). Докажем, что ~ра:Ф у в промежутке [0,1] при п -+ оо. Положим ОО а з = ~; А„, за = 2 А». Тогда з = 1пп за. При каждом и имеем за = =О »=О а-ОО = ~р„(1). Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему номер й е 1з' такой, что для любых п1 > п и пз > й выполняется неравенство Гл. 12.
Функциональные ряды н интегралы Это позволяет заключить, что при каждом и > й для любого 1 б [О, 1) имеет место неравенство ]у(х) — р„(х)! = ]Я„(х)! < †. ]]У у ]]ь ПонВ < 2 для любого п > б. Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым доказано, что функции 1е„при и -~ оо сходятся к функции у равномерно на промежутке [О, Ц.
Каждая из функций х„непрерывна в точке 1 = 1. Отсюда вытекает, что также и функция у непрерывна в этой точке. В частности, мы получаем, что р(1) = йпп ~р(1). з-о Имеем Если х б (р — г, р + г), то 1 = — принадлежит промежутку (-1, 1). х — р с — р При этом ~ — ~ 1 при х -+ с. В силу гпеоремы о замене переменной под знаком предела из доказанного вытекает, что Бпз Дх) = ~ а„(с — р)".
е=о Заметим епге, что п-й полипом Тейлора функции Г" будет При и — оо, как было доказано, ~р„-л ~р(х) на промежутке [О, 1]. Отсюда, очевидно; следует, что ~„~ Г" на отрезке 1, где л = [с, р] в случае с < р и 1 = [р, с] в случае с > р. Теорема доказана. ° В качестве примера на приложение теоремы 3.2 рассмотрим равен- ство г з хе 1п(1+х) = х — — + — —. +(-1)" ' — + .. 2 3 и (3.21) Данное неравенство, очевидно, выполняется также и для г = 1. Следо- вательно, мы получаем, что З 3. Степенные ряды 369 ,,=.
( 1)-- п а=в Теорема 3.2 позволяет также понять, какими свойствами функции !п(1+ х) обусловлен тот факт, что ее ряд Тейаора не сходится в точке х = — 1. При х — — 1 имеем 1п(1+ х) — оо. Если бы ряд Тейлора функции 1п(1 + х) был сходящимся для х = -1, то предел 1пп 1п(1 + х) а -»+О был бы конечен.
Рассмотрим построенное в п. 3.2 разложение функции (1+х) в степенной ряд о(о 1) 2 (1+х) =1+ох+ х + 2! о(о — 1)... (о — и+ 1) + х" + .. и! В п. 3.2 было показано, что в случае о > 0 данный ряд сходится в точке х = 1. В силу теоремы 3.2 отсюда следует, что при о > 0 рассматриваемый ряд сходится равномерно в промежутке ]О, Ц. Полный ответ на вопрос, какими свойствами той или иной нкии оп еляется и с схо имости ее а Тейло а может быть дан только средствами теории функций комплексной переменной, и мы не будем здесь его касаться. Следующая теорема дает пример применения второй теоремы Абеля для степенных рядов (теоремы 3.2).
° Теорема О.З. Пусть ]а„]„ен, и [б„]„ен, — сходящиеся числовые ряды. Пусть А = ~', а„, В = ~ б„. Для произвольного п б МО лолоа=о а=о жнм с„= 2 , 'аьб„ь. Тогда если ряд ]с„] ен, является сходящимся, то в=О его сумма равна произведению АВ. Доказательство. Положим Дх) = ~, а„х", д(х) = ~; б„х". а=в а=о Каждый из этих степенных рядов в силу первой теоремы Абеля сходится, и притом абсолютно, во всякой точке х такой, что ]х] ( 1. Из Ранее было показано, что это равенство верно для всех х из промежутка (-1,1]. В силу теоремы 3.2 справедливость равенства (3.21) для всех таких х следует из того, что равенство (3.21) верно для всех х Е ( — 1,1), непрерывности функции х а 1п(1+ х) в точке х = 1 и сходимости ряда 370 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы условий теоремы вытекает, что данные ряды сходятся также и для х = 1. Отсюда согласно теореме 3.2 следует, что А = Бт 1'(х) |-о и В = 1пп д(х). Применяя гиеоремд о произведении рядов (теорема 1.8 этой главы), получим, что ряд [о„(х)]„ек„где о„(х) = ~абаях Ь„ьх = с„х, ь и-я а а=о сходится для всякого х, удовлетворяющего условию ]х] < 1. Для всех х б ( — 1,1) сумма этого ряда равна Г(х)д(х). Так как ряд [с„х"]„еи, согласно условию теоремы сходится для х = 1, то с„= 1пп Дх)д(х) = АВ.
Теорема доказана. ° 3.4. ФУнк НОПАльные сВОЙстВА ОУммы степеннОГО РЯ А 3.4.1. Исследуем более детально свойства функций, которые являются суммами сходящихся степенных рядов. Предварительно докажем следующее утверждение. ° Лемма 3.1. Предположим, что стеленной рял [а„(х — Ь)" ]„ен, имеет радиус сходимости т > О. Пусть В таково, что 0 < В < г. Тогда М найдется постоянная М < оо такая, что ]а„] < — для всех и > О. Доказательство. Положим у = Ь+ В.
Точка у принадлежит интервалу (Ь вЂ” г, Ь+ г), и, значит, согласно теореме 3.1 степенной ряд [а„(х — Ь)"]„еи, сходится, и притом абсолютно, для х = д. Отсюда на основании необходимого признака сходимости ряда (см. главу 11, теорема 1.1) вытекает, что ]а„]В" = [а„(у — Ь)" ] стремится к нулю при и — ~ оо. Последовательность (]а„]В")„>о, таким образом, имеет конечный предел, и, следовательно, она ограничена. Пусть М < оо таково, что ]а„]В" < М для всех и > О.
Тогда М [а„] < — и постоянная М, таким образом, и есть искомая. Лемма доказана. ° 371 з 3. Степенные ряды ° Теорема 3.4. Если радиус сходимости т степенного ряда [а„(х — 6)"]„ен, отличен от нуля, то во всяком промежутке [Ь вЂ” р, 6+ р], где О < р < т, ряд сходится равномерно. Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы. Зададим произвольно р такое, что О < р < т. Пусть Я таково, что р<Л< т. Тогда согласно лемме 3.1 найдется постоянная М < оо такая, что М [а„[ < — „.
Для всякого х б [6 — р, 6+ р] имеем я [а„(х — Ь)" [ = ]а„[]х — Ь[" < — ]х — 6[" < М вЂ”. Ряд '[М ~ — ~] является сходящимся так как О < о = — < 1 (см. I р '11" р ~лЛ Ф л главу 11, п. 1.2, пример 4). В силу признака Вейерштпрасса равномерной сходимоспзи (предложение 2.3, з2) отсюда вытекает равномерная сходимость данного ряда в промежутке [Ь вЂ” р, Ь + р].
Теорема доказана. ° Показанная теорема позволяет установить следующий важный результат о сумме степенного ряда. Т Следствие. Если радиус сходимостя т степенного ряда [а„(х — Ь)"]„ен, отличен от нуля и 7[х) есть его сумма, то функция 7 непрерывна в интервале [6 — т, Ь + т).
Доказательство. Пусть Дх) = ~, а„(х — 6)". Возьмем произв=с вольно точку хе б (Ь вЂ” т, Ь+ т). Имеем [хо — Ь[ < т. Пусть р таково, что [хо — 6[ < р < т. Согласно теореме 3.3 ряд [а„(х-Ь)" ]„ен, равномерно сходится в промежутке [Ь вЂ” р, Ь+р]. Каждый член этого ряда представляет собой функцию, определенную и непрерывную на всем множестве Е. В силу предложения 2.4 из з 2 отсюда следует, что функция г" непрерывна на промежутке [Ь вЂ” р, Ь + р]. В частности, мы видим, что ограничение функции ~ на некоторую окрестность точки хо есть непрерывная функция.
Отсюда следует непрерывность функции г" в точке хо. Так как точка хс б (Ь вЂ” т,Ь+ т) выбрана произвольно, то тем самым теорема доказана. ° ° Теорема 3.б, Предположим, что радиус сходнмости т стеленного ряда [а„(х — Ь)"]„еи отличен от нуля. Пусть Г(х) есть сумма этого ряда в интервале (6 — т, Ь+ т). Определенная таким образом функция Г днфферепцируема в каждой точке х б (6 — т, Ь + т), и ее производная выражается формулой Г'(х) = ~~~~ па„(х — 6)" ~ = ~~) (и+ 1)а„+з(х — Ь)". ияц 372 Гл.
12. Функпиональные ряды и интегралы Локвэательстно. Воспользуемся результатом теоремы 2.4 этой главы. Положим ~„(х) = а„(х — Ь)". Функция („, очевидно, дифференцируема в каждой точке х интервала (Ь вЂ” т, Ь+ т). Имеем Д = О, а при и > 0 имеем Д(х) = па„(х — Ь)" Докажем, что ряд [1„'(х)] сходится локально равномерно в промежутке (Ь вЂ” т, Ь+ т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
