1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 73
Текст из файла (страница 73)
У 4.3. ПРИЗНАК ИРИХЛЕ СХОЛИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ° Теорема 4,б (признак Дирихле сходимости интеграла). Пусть функция д: (а, Ь) — К иптегрируема по промежутку [а, 6), а функция |: (а, Ь) — К монотонна. Предположим, что функции ]д[ и 1д ннтегрируемы по промежутку [а,Ь). Пусть 0 есть первообразная функции д па [а, Ь). Тогда если Г"(х) — О при х — Ь, а 0(х) = 0(1) при х — Ь, то функция 1д иптегрнруема по [а, Ь]. Доказательство. Так как 6(х) = 0(1) при х — 6, то найдутся числа Ь' б (а, Ь) и Г < оо такие, что [0(х)[ < Г для всех х б (Ь',Ь). Зададим произвольно е > О. Так как 1(х) — ~ О при х — Ь, то найдется Ьп б (а, Ь) такое, что для любого х Е (6",Ь) выполняется неравенство 4Г,+1 Пусть,б есть наибольшее из чисел Ь' и Ь". Возьмем произвольно точки х1 и хз из [а, 6) такие, что 13 < хз < 6 и,9 < хз < 6.
Покажем, что вг Дх)д(х) 4х Х1 Будем считать, что х1 < хз. (Случай хз < хы очевидно, сводится к этому.) Применяя вторую тпеорему о среднем значении (теорему 5.2 главы 5), получим, что найдется с б [хм хз] такое, что | Ях)д(х) 4х = ~(хз) д(х) Ых + ((хз) д(х) 4х = Х1 в1 = Пхз)[0Ы) — 0(х1)] + Лхг)[0(хг) — 0Ы)!. 385 з 4. Критерии интегрнруемостн функции Отсюда Дх)д(х) йх < ]Дхг)[[[0(С)] + [б(хг)[]+ + [У(хг)[[]6(хг)]+ ]6Я)]] < — 2Ь+ 2Ь = — < е. 4Ь + 1 4Ь + 1 4Х + 1 Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что для функции |д выполняется критерий сходимости интпеграла [а,Ь], содержащийся в теореме 4.2. Теорема доказана. ° Иример.
Применим теорему 4.5 к исследованию вопроса о сходи- мости интеграла (4.2) о П одын тегр аль кое выражение здесь представляет собой функцию, определенную всюду и непрерывную в промежутке (О,со). Предел з1п х 1пп — = 1. Отсюда, очевидно, следует сходимость данного интео х грела в точке О. Исследованию, таким образом, подлежит вопрос о сходимости ин- 1 теграла в точке оо.
Полагаем д(х) = з1п х, Дх) = —. Функция д в данном случае интегрируема по промежутку [О, оо). Ее первообразной является функция С: х соя х. Функция С ограничена, функция у монотонна и Дх) — О при х — оо. Мы видим, что все условия теоремы 4.5 выполнены и, следовательно, интеграл (4.2) является сходягцимся. Позднее мы сможем показать, что имеет место равенство | з1пх к — ~Ь =— х 2 о (см. КМА, часть П, книга 2, глава 14). Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы 386 5 5. Функции, представимые интегралами, зависзпцими от параметра 5.1. ОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНК ИИ ПР СТАВИМОЙ ИНТЕГРАЛОМ ЗАВИСЯ ИМ ОТ ПАРАМЕТРА Пусть даны промежуток [а,6] С К, произвольное множество М и функция Г": (х,1) й [а,Ь] х М ~ Г"(х,1). Предположим, что при всяком1 й М функция ~~. х + 1(х,з) интегрируемапо промежутку [а,6]. Для произвольных у, г Е [а, 6] положим Г(~, у, г) = 1(х, 1) йх.
(5.1) Интегралы вида, указанного в равенстве (5.1), называются интегралами, зависящими от параметра. Говорят, что функция Г з а д а н а интегралом, зависящим от параметра 1 Е М. Функции, допускающие представление вида (5.1), часто встречаются в различных вопросах математического анализа. Здесь будут установлены некоторые простейшие сведения относительно таких функций. ° Теорема 5.1. Пусть дано произвольное множество М и Л есть оценочная функция на М с предельным значением р. Предположим, что при всяком 1 Е М определена функция 1~. 'х е (а,Ь) ~ 1(х,1), ограниченная и интегрируемая по промежутку [а, Б] такому, что — оо < а < Ь < оо.
Для х Е [а,Ь] и 1 й М положим х Г~(х) = 1(у,1) ау. е (5.2) Тогда если при Л(з) - р функдии ~~ сходятся равномерно на отрезке [а, 6] к некоторой функции 1, то функция 1' интегрируема по [а,Ь] и при В этом параграфе будут доказаны общие теоремы о дифференцировании и интегрировании функций, представленных интегралами, зависящими от параметра. Такого рода представления широко используются в различных приложениях дифференциального и интегрального исчислений. Здесь устанавливаются результаты, которые можно получить, применяя понятие равномерной сходимости.
з 5. Функции, представимые интегралами 387 Л(1) — 0 функции Г~ сходятся равномерно на промежутке [а, Б] к функ- ции Г,определенной равенством х Г(х) = 7(у) Ну. а Доказательство. Пусть (1„)„ен есть произвольная последовательность значений параметра $ такая, что Пп Л(8„) = р. Функции н-+со ~„(х) = Дх, г„) образуют последовательность, равномерно сходящуюся к функции |' при и -~ со. Каждая из функций ('„ограничена и ннтегрируема на замкнутом промежутке [а, 6]. В силу теоремы 2.3 этой главы отсюда вытекает, что предельная функция Дх) интегрируема по промежутку [а,6], причем выполняется равенство Теорема доказана.
° я Следствие 1. Пусть М есть компактное метрическое пространство с метрикой р, 1: М х [а,Ь] -~ К вЂ” непрерывная функция. Для х Е М и и Е [а, 6] положим Г(х, и) = ('(х,1) ~й. а Определенная так функция Г непрерывна на множестве М х [а, 6]. Доказательство. Согласно теореме 2.2 главы 9 декартово произведение М' = М х [а, 6] является компактным метрическим пространством. По условию, функция Дх,1) непрерывна на этом пространстве. Значит, согласно теореме 6.5 главы 6 (см. также главу 9, теорема 1.24) функция 1 является ограниченной. В силу теоремы 6.7 главы 6 (см. также главу 9, теорема 1.25) функция 1' равномерно непрерывна на множестве М' = М х [а, Ь]. Пусть Е = ][Дь 1мО, а ы: [0,5) — К есть модуль непрерывности функции У (см.
главу 9, з 1) на пространстве М'. Зададим произвольно Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 388 точку (хо, ио) Е М'. Для всякого х Е М и любого М Е [а, Ь] имеет место неравенство ]1(х, о) — Дхо, г)] < ы[р(х, хо)]. Имеем и ио и Г(х,и) = Дх,1)й = |'(х,г)й+ Дх,1)й, о а ио ио Г(хо, ио) = Дхо, $) й. а Отсюда получаем + и г"(х,~) й о | ио [|(х, 1) — У(хо, 1)] й [Г(х,и) — Г(хо,ио)] < (5 3) О еним с мм в п аной части не авенства 5.3 . При каждом х Е Е М для любого 1 Е [а, Ь] расстояние между точками (х,$) и (х,$о) в пространстве М' = М х [а, Ь] равно р(х, хо).
Отсюда следует, что [Дхо, й) — Дх, й)] < о4р(х, хо)]. Видим, что первый интеграл в правой части (5.3) не превосходит (ио — а)ш[р(х, хо)] < (Ь вЂ” а)ы[р(х, хо)] ]Г(х, и) — Г(хо, ио)] < (Ъ вЂ” а)ы[р(х, хо)] + Ци — ио]. При х -о хо и и — ио правая часть последнего неравенства стремится к нулю. Тем самым непрерывность функции Г на пространстве М' = = М х [а, Ь] установлена. Следствие 1 доказано.
я Следствие 2, Пусть даны открытое множество 0 в пространстве К" и интервал (а, Ь) С К в множестве К. Предположим, что функция |: (х, о) Е (а, Ь) х 0 ~ Дх,1) непрерывна. Тогда функция Г, определенная на множестве (а, Ь) х С равенством Г(х,1) = Ду,1)Иу, р где р Е (а, Ь), непрерывна на множестве (а, Ь) х 6. Второй интеграл не превосходит А[и-ио[. Таким образом, мы получаем следующую о ц е н к у: 389 з 5. Функции, представимые интегралами Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Ситуация, на первый взгляд, противоположна той, которая рассмотрена в следствии 1 теоремы 5.1, поскольку множество 0 здесь не является компактным. Тем не менее требуемый результат мы получим с помощью именно этого следствия.
Возьмем произвольно точку 1о Е 6 и точку хо Е (а,Ь). Так как множество 0 является открытым в К", то найдется 6 > 0 такое, что б шар В(ьо,6) с С. Положим и = —. Тогда замкнутый шар В(ьо, ц) С С В(ьо,6). Пусть [п,с] С (а,Ь) есть замкнутый отрезок такой, что р е [и, с] и и < хо < ю. Шар В(ьо, Н) представляет собой компактное множество в пространстве К". Применяя утверждение следствия 1 к случаю, когда М = В(ьо, ц), получим, что ограничение функции Р на произведении [и, с] х В(ьр, ц) есть непрерывная на этом множестве функция. Отсюда следует, что ограничение Р на множестве (и, о) х В(ьо, ц) есть функция, непрерывная в точке (хо,ьо) Множество (и,с) х В(ьо,ц) является открытым в К"+ь.
В силу свобспьва лоиалькосгли понятия непрерывной функции и произвольности хо Е (а, Ь) и ьо Н 0 (см. главу 9, следствие 2'теоремы 1.4) отсюда вытекает, что функция Р непрерывна на множестве (а, Ь) х 6. Следствие 2 доказано. Ъ' 5.2. ТеОРемы О иФФеРен иРОВАнии и интеГРиРОВАнии ФУНК Ий РЕ СТАВИМЫХ ИНТЕГРАЛАМИ Сначала мы докажем некоторую простейшую теорему о дифференцировании функции, представленной интегралом. Справедливо следующее утверждение.
° Теорема 5.2 (правило Лейбница дифференцирования интеграла, зависящего от параметра). Пусть ~ есть вещественная функция переменных х с К и 1 Е К, определенная и непрерывная на прямоугольнике Р = [а,Ь] х (с,Ы). Предположим, что для всякого х б [а,Ь] н любого дУ 1 Е (с, И) определена частная производная — (х,ь), причем эта производная непрерывка на множестве Р. Тогда функция Г, определень ная равенством г'(ь) = [ Ь'(х,ь) дх, днфференцируема в каждой точке ь' б (с, П). Прн этом имеет место равенство 390 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
