1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Так как предельная функция непрерывна на промежутке(О,оо), то 2* 1си(1) ~ 2* 1е ' на всяком промежутке [б,В], где 0 < б < Гс. Последовательность функций (~* ~си(~))ион мажорируется функцией 1* 'е ', интегрируемой на промежутке [О, оо]. Следовательно, интегралы 411 з 5. Функции, представимые интегралами 1 /1 1'1 Полагая в последнем интеграле е = у = —, получим В ~-, — „ 2 1,2 Ц Отсюда с учетом (5.24) я = à — |Г(1). Так как Г(1) = 1, то мы получим, что (5.30) О. Произведя в интеграле | 1* 1е 'й о замену переменной интегрирования по формуле 1 = и, после простых 1/* преобразований получим 1 В частности полагал т = — приходим к равенству ) 2' Ф' е'й= —.
2 о (5.31) Замечаем, что ОО о е'й= е1й. Таким образом, мы получаем, что (5.32) Применяя равенство (5.30) и представление гамма-функции в виде предела равенством (5.28), можно получить новое оказательство о- ~~В ч,( 11, .5.3,р * о.16д,д щй рш* ние числа к в виде некоторого предела.
Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 412 Й 6. Метод Лапласа построения асимптотических представлений. Формула Стирлинга В этом параграфе мы выведем некоторую общую формулу об асимптотическом поведении функции, представленной интегралом, зависящим от параметра, для больших значений параметра. В приложениях математического анализа часто возникают функции, допускающие представление вида где фЯ > 0 для всех 1 Е (а, Ь). Явное выражение этого интеграла может быть получено лишь в исключительных случаях, и, как правило, из него трудно извлечь информацию качественного характера о строении функции Г (х). Между тем при изучении функции Г'(х) ее основные качественные особенности есть именно то, что в первую очередь требуется узнать.
Решение различных задач, связанных с данной функцией, часто оказывается невозможным без знания этих особенностей. Здесь исследуется вопрос о поведении функции Г'(х) при х -+ оо. Основная идея метала, применяемого для этой дели, принадлежит Лапласу. В качестве приложения общей формулы устанавливается формула Стирлинга об асимптотическом поведении функции Г(х) при х -1 оо. 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АСИМЛТОТИЧЕСКОИ О ЕНКЕ ИНТЕГРАЛА г'(х) = ~р(1)е* ОО ат. а (6.1) Предположим, что выполнены следующие условия: а) существует число р е К такое, что для любого х > р функция ~рфе*ьГО интегрируема по промежутку [а, Ь]; б) функция Ь принимает в промежутке (а, Ь) свое наибольшее значение в некоторой точке т В (а,Ь). При этом для любого отрезка ° Теорема 6.1 (теорема Лапласа об асимптотической оценке интеграла).
Пусть у и л есть функции, определенные на промежутке (а, Ь). Для х б К положим 413 з б. Метод Лапласа. Формула Стирлинга [р, д] С [а, б], не содержащего точки т, точная верхняя граница функции Ь на этом отрезке меньше Ь(т); в) существует б > 0 такое, что а < т — 6, т + б < б, функция Ь и! принадлежит классу Сз в интервале (т — б, т + б), причем Ь (т) ~ О. Функция !р непрерывна в точке т, причем р(т) ~ О. При этих условиях справедливо асимптотическое равенство Йх) = !р(т)е*бб ! — (1+ о(1)) при х — ! оо. (6.2) хЬ"(т) Доказательство.
Пусть выполнены все условия теоремы. Сначала приведем некоторые «наводящие» соображения. По определению, ь т'(х) = !р(б)ех 00 аб а Преобразуем интеграл, вынося за знак интеграла множитель !р(т)е*"б'1. Положим д(б) = —, д(б) = Ь(б) — Ь(т). Тогда получим Ф) у>(т) Г(х) = !р(т)е* б'~Го(х)! где Го(х) = д(1)е*б!'УсЫ. В силу равенства (6.3) доказательство теоремы сводится к исследованию поведения функции Уо(х) при х -~ со. В силу условий, налагаемых на функцию Ь, имеем д(т) = О, д(б) < 0 при б ~ т.
Отсюда следует, что ехр[хд(т)] = 1. П и х -+ оо имеем ехр[хд(б)] — 0 для всякого б ~ т. Это наводит рих-+ на мысль,что «главный вклад»'в асимптотику функции Ео(х) дается интегралом по некоторому малому промежутку (т — б,т + б). Пусть дано б > О. Имеем Го(х) = Цх) + М(х) + Я(х), где т+б т-б М(х) = д(б)е*б10 !11, Х(х) = д(б)е*бОО й, т-б ь Я(х) = д(б)е*б10 й. т+б Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 414 Палее, имеем д(т) = О, д'(т) = Ь'(т) = О и да(т) = 1ба(т) < О. Положим Ь'(т) = -2хз. Применяя формулу Тейлора е остатаочным членом а форме Пеано (глава 4), мы можем написать: д() =(-й'+ (1)Н1 — )' т+б М(х) и ехр~-хй ($ — т) ] Й.
т-б В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования по формуле и = (8 — т)Ь,/х. Положим 1 ~2 Л=Л()= — = ~ Усз/х ~ хлеба(т) (6.5) /11 Очевидно, Л(х) = 0 ~ — ) при х — оо и, в частности, Л(х) — ~ О ~, з/х) при х -~ оо. В результате получим б/А М(х) в Л(х) е " Ни. (6.6) -б/А При х -+ оо интеграл в правой части (6.6) стремится к пределу, равному е " Ии=з/х, откуда следует,что М(х) = (1+ о(1)) при х -+ оо.
х аа(т) где о(б) — О при 1 -~ т. Отсюда следует, что если 6 достаточно мало, то д(1) ж -аз(б — т)з для 8 Е (т — 6, т+ б). Функция д непрерывна, причем д(т) = 1, и, следовательно, будем иметь Гхйа(т) д(1)е*е<О ж ехр ~ ' (1 — т) 2 Это позволяет предположить, что з 6.
Метод Лапласа. Формула Стирлинга В силу условий, которым удовлетворяет функция Й, имеем е*г® < < е *7 при $ ф (т — 6, т + 6) для х > О, где у > О. Это дает основание' считать, что каждый из интегралов, определяющих Цх) и гь(х), есть величина поряцка 0(е *') = о(1/;/х) при х -+ оо. Отсюда имеем Хо(х) = Цх)+М(х)+Л(х) = „(1+о(1)) при х — оо, откуда, очевидно, следует (6.1). П о елаем ополнительные асс ж ения необхо имые ля того чтобы пол чуть точное оказательство тео емы 6.1. Далее используются обозначения, введенные выше. Сначала выберем 6 > О.
По формуле (6.1) имеем д(Х)е*а10 = д(1) ехр( — хИ (Ь вЂ” т) + ха(г)(г — т)~). При Х вЂ” 0 имеем а(Х) — 0 и д(г) — 1. Выберем 6 > 0 из условия: хг ~д(8)) < 2 и (а(8)! < — при (г — т! < 6. Тогда при ~8 — т~ < 6 и х > 0 2 будем иметь хдЯ < -хх (г — т) + — (1 — т) = — — (г — т) . г г *" г 2 2 Отсюда получаем, что если р — т~ < 6 и х > О, то )д(8)е*з1"1( < 2ехр — — (г — т) 2 Докажем, что при х — оо М(х) — — (1 + о(1)).
В интеграле, которым выражается М(х), произведем замену переменной интегрирования по формуле 1 — т = Ли, где Л определено ГГ равенством (6.5), Л = ~( —. В результате получим Ч~* з/л М(х) = Л д(т+ Ли) ехр[хд(т+ Ли)1 йи. -Ю/Л 416 Гл. 12. Функциональные ряды н интегралы Подынтегральную функцию обозначим символом 1г(х, »»). Доопрееделимм В ее, полагая ~'(х, и) = О при [»»] > —. В Пусть ]»»] < — и 1 = т +Ли. Тогда ]» — т] < д и Л х 2 / 2', [Ъ'(х,»»)[ = [ВЯе*УОО[ < 2ехр — — Л2 и2) = 2ехр ~ — ~ . (6.7) В Это неравенство, очевидно, выполняется также и при ]и[ > —.
Имеем, очевидно, для любого»» Е»а Бт $"(х,и) = е " . (6.8) Функция 2 ехр — интегрируема по промежутку [-со, оо]. 2 / Покажем, что из того, что для 1г(х, и) выполняются условия (6.7) и (6.8), уже следует, что Бт У(х,и)Н»»= е " »1»». (6.9) Чтобы установить равенство (6.9), используя средства, имеющиеся 2 в нашем распоряжении, мы должны показать, что Ъ'(х,и) -+ е " равномерно на всяком промежутке [-Х, Х].
Зададим произвольно е > О. Пусть и > О таково, что если [» — т[ < и, то [В(») — В(т)] < —, [ехр[Х2а(2)] — Ц < —. 2' 2 При х -~ оо имеем Л(х) -~ О. Пусть с > О таково, что Х,Л(х) < ц при х > С. Пля таких х для всякого»» Е [ — Х,, Ь], очевидно, будем иметь [В(»)с~у(») е ха»» т1 ] < [В(») 1[с~у(») + ]ежу»») е хь»» т)» [В(~) ц ху(») + -ум»»-т) [ за(»)(»-~) [у( ) -а [ [В(у) ху1»» -хь»»-т1 ] уу(») + -ай~( -т» 2 2 где, как обычно, 2 = т + Л»». При х > С и [»»] < Х имеем [» — т[ <»1 и, значит, ]В(») — Ц < —, а ]е* »'»»»» — Ц < —.
Мы получаем, таким образом, что при х > с выполняется неравенство з 6. Метод Лапласа. Формула Стирлинга 417 т-б | д(() е*б(') й а ]б (х)] = т-б | е(* ")б(')ет'(')6(1) й а < е-(х-Р)» Рд(м)]а(б)] й а откуда следует, что Щх)] < С1 е *» при каждом х > р, где С1 < оо— постоянная, т-б С1 — — ег» ебб(')]0(1)] й. а Аналогично устанавливается, что ]В(х)] < Сзе *» при х > р, где Сз < < оо — постоянная. Полученные неравенства доказывают, что Цх) = 0[е *»] и бс(х) = = 0(е *"] при х — оо.
Теорема доказана. ° 6.2. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА ЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ Г х 1 -ФУНК ИИ ПРИ БОЛЬШ Х ЗНАЧЕНИЯХ АРГУМЕНТА Согласно определению гамма-функции имеем Г(х+1) = $*е 'й = ехр(х1пб — б)й. о о Интеграл справа преобразуем так, чтобы получить интеграл, к кото- рому можно было бы применить теорему 6.1. Имеем (*е ' = ехр(х1п( — 1). х Производная функции х 1п( — 1 равна — — 1. Нетрудно видеть что эта производная положительна при ( < х, обращается в нуль при б = х и отрицательна при 1 < х.
Отсюда следует, что 1 = х есть тпочка максимума функции б х 1п ( — (. Докажем, что Цх) = 0(е *"] и бс(х) = 0(е *»] при х -+ оо для некоторого 7 > О. В силу условий, налагаемых на функцию Ь, существует» > О такое, что если ]( — т] > б, то д(() < — 7. Покажем, что это 7 и есть искомое. В предположении, что х > О, получаем 418 Гл. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
