1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Функциональные ряды н интегралы Произведем сначала замену переменной 1 — т = и с тем, чтобы после замены переменной точка максимума функции, стоящей в рассматриваемом интеграле под знаком ехр, сместилась в точку О. Получим Г(т + 1) = (и + х)*е " * Ни. В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования по формуле и = 1ж.
Получим Г(х + 1) = т ж*(1 + 1)*е "™ й = '|[1<-~[' "й=*(-) [* р[ [1 [1~-~[ — фй. [6.10[ е -1 -1 К внутреннему интегралу применим теорему 6.1, полагая в ней [р(1) = 1 и Ь(1) = 1п(1 + 1) — ~. Будем иметь Интеграл в правой части равенства (6.10) сходится при любом х > О, так что условие а) теоремы 6.1 в данном случае выполняется. Функция Ь является строго возрастающей на промежутке ( — 1,0) и строго убывающей на промежутке (О, оо). Отсюда ясно, что 0 есть томка максимума функции Ь и на всяком промежутке [о, [9] С (-1, оо), не содержащем точку т = О, точная верхняя граница функции Ь будет м е н ь ш е, чем Ь(0) = — 1.
Это означает, что условие б) теоремы 6.1 в нашем случае также выполнено. Пусть б таково, что 0 < б < 1. В интервале ( — б,б) функция Ь принадлежит классу С . Мы видим, таким образом, что условие в) теоремы 6.1 также выполняется. Полагая в формуле (6.2) [р = 1 и Ь(г) = 1п(1+ 1) — 1 и принимая во внимание, что в данном случае [р(т) = 1, а Ь(т) = Ь(0) = О, получим, что справедливо следующее асимптотическое соотношение: 12л ехр(х(1п(1+1) — 1]) й = ~| — (1+ о(1)) при я — оо. 419 З 7. Теоремы о приближении функций полиномами Отсюда Г[х+1) = (-1 з/2зх[1+ о(1)) при х - оо.
ег Если т = п Е г[, то Г(х + 1) = и!. Следовательно, мы получаем соотношение п! = ( — 1 зl2~гп[1+ о[1)) при и -+ оо. (6.11) е~ Формула (6.11) носит название формулы Сширлинга. Она позволяет приближенно вычислить функцию Г[х+1) при больших значениях аргумента. 9 Т. Теоремы о приближении функций полиномами ПУ вЂ” РПь ([.и[) = Т И). Такой поливом — единственный. П. Л. Чебышевым были указаны также необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять полипом, чтобы для него выполнялось последнее равенство. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция для того, чтобы величина Т„( [) стремилась к нулю при и -~ оо? Нли иначе: какова должна быть функция З, чтобы сугдествовала последовательность полнномов, равномерно сходящаяся к ней на промежутке [а, О]? Во многих вопросах математического анализа и его приложений возникает необходимость'в указании способа для вычисления значений той нли иной конкретной функции с заданной степенью точности.
Один из путей достижения этой цели состоит в построения функций, более удобных с точки зрения вычислений и таких, что их значения мало отличаются от значений данной функции. В качестве таких функций, более удобных для вычислений, можно брать, например, обычные полиномы. Постановка задачи о приближении функции полиномами принадлежит российскому математику П.
Л. Чебышеву. Пусть ? есть непрерывная функция одной переменной, определенная на промежутке [а, Ь) множества К. Пусть Р есть произвольный полипом степени не выше и. Обозначим через ТаЦ) точную нижнюю границу величины )),? — Р[[ь ([„й][ на множестве всех полиномов степени не выше и. Как было показано П. Л. Чебышевым, среди полнномов степени не выше п существует такой, для которого Гл. 12.
Функциональные ряды и интегралы 420 Так как всякий полином есть непрерывная функция, то предел равномерно сходящейся последовательности полиномов есть непрерывная функция. Таким образом, мы получаем необходимое условие для того, чтобы функция ) была пределом равномерно сходящейся к ней последовательности многочленов: она олжна быть неп ывной Как показал К. Вейерштрасс, это условие также и достпаточное: ля всякой неп ывной нк ии а Ь вЂ” ~ И с еств ет после овательность полиномов ввноме но сх яНазванные результаты были получены в середине Х1Х века.
Они дали начало новому направлению математического анализа, которое имеет как теоретическое, так и прикладное значение. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций полиномами имеет различные аналоги и обобщения. Здесь мы докажем некоторую общую теорему, частным случаем которой являются теорема Вейерштрасса, а также и другие результаты.
7.1. ТеОРемА СтсунА — ВейегштРАссА О нРинлижении эг изяий Пусть (М, р) есть произвольное метрическое пространство и Г— некоторое множество вещественных функций, определенных на М. Будем говорить, что множество функций Я отделяет точки пространства М, если для любых двух различных точек хм хз пространства М можно указать функцию 1 б г' такую, что Дхз) ~ Дхз). ° Теорема 7.1 (теорема Стоуна — Вейерштрасса о приближении функций). Пусть (М,р) есть компактное метрическое пространство, Я вЂ” некоторое множество непрерывных вещественных функций, определенных на М.
Пусть Я удовлетворяет следующим условиям: 1) сумма и произведение любых двух функций, принадлежащих Я, есть функция из Я; 2) функции, постоянные на М, являются элементами Я; 3) множество функций Я отделяет точки пространства М. Тогда для всякой непрерывной функции 1': М вЂ” И, для любого с > 0 можно указать функцию р б Я такую, что (~1 — Я~а 1м1 ( с. Локазательство. Пусть выполнены все условия этой теоремы.
Показательство осуществляется в несколько шагов. А. Совокупность всех функций 1: М К, каждая из которых является пределом равномерно сходящейся последовательности функ- ций из Я, обозначим символом э . Требуетсядоказать, что~и'(М) = Я. Очевидно, Я С Я и линейная комбинация любого конечного числа функций из Я также является элементом,У. З 7. Теоремы о приближении функций лолиномами 421 Произведение двух функций из Я есть функция, принадлежащая У. Предел всякой равномерно сходящейся последовательности функций из .У принадлежит множеству функций,У. Действительно, пусть 7" такова, что для нее существует последовательность (~„)„ен функций из Я, равномерно сходящаяся к 7".
Согласно определению функций из Я при каждом п 6 р! найдется функция ~р„Е я такая, что 1 ]]~р„— Я]ь 1м1 < —. Тогда и 1 [У вЂ” 'раЬ (м) ]]У вЂ” И]ь (м)+]]Ха — М~[ь (м1 < ]]У Я]ь (м)+— и, значит, ]]7 — ~р„[[ь <м1 -+ О при и ~ со, откуда следует, что 7 Е,У. В, Докажем, что для всякой функции У Е Я функция Щ принадлежит Х Пусть 7" е Я. Так как пространство М компактно, то в силу теоремы Вейерштрасса (глава 9, теорема 1.24) функция 7" ограничена. Пусть | = ]Щ]с1 р Для всякого у Е [ — 1,1] имеем Как показано выше (см.
п. 3.2.3 этой главы), для всех М Е [ — 1,1] имеет место равенство 1 3...[2п-3) . 224246246...2п В силу второй теоремы Абеля для степенного ряда (теорема 3.2 данной главы) сходимость при этом равномерна в промежутке [0,1]. Обозначим через Р„п-ю частную сумму ряда (7.1). Пусть Л„= зир ]з/1- ~ — Р„(~)!. о«<з При и — ~ оо имеем Л„- О. При каждом и для всех х 6 М имеет место равенство (7.2) Функция 422 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы принадлежит множеству дг.
Из неравенства (7.2) следует, что при и со функции Ф„сходятся равномерно к функции Щ. Тем самь1м доказано, что функция Щ принадлежит Я. С. Покажем, что для любых двух функций 1, д Е Я также и функции и и и, определенные условиями и(х) = пйп(Дх),д(х)), о(х) = = птах(У(х),д(х)), принадлежат яг. Это следует из того, что имеют место равенства 1 ппп~Дх), д(х)) = — (1(х) + д(х) — !Дх) — д1х)!), 1 гпах( 1(х), д(х)) = -®х) + д(х) + ~У(х) — д(х) ~).
В силу доказанного в п. В функция ~Д вЂ” д~ б,У. Отсюда в силу п. А заключаем, что и, о Е .У. Р. Для любых двух различных точек хы хз 6 М и любой пары вещественных чисел а и В найдется функция 1 Е Я такая, что Дх1) = о, а Дхз) = В. Действительно, пусть х1'Е М и хз б М, причем х1 ф хз. Тогда согласно условию теоремы найдется функция д б Я такая, что д(х1) ~ д(хз).
Множество Я, по условию, содержит функции, тождественно постоянные на М. Отсюда вытекает, что функция 1'(х) = а+ [д(х) — д(х1)] д(хз) — д(хз) принадлежит Я. Эта функция, как нетрудно видеть, и есть искомая. Е. Для всякой непрерывной функции 1, определенной на пространстве М, для всякой точки хо по любому г > О можно указать функцию 1о с Я такую, что у(хо) = Дхо) и ~р(х) < Дх) + г для всех х б М. Действительно, зададим произвольно е > О. Для всякой точки х б М найдется функция Ь, Е Я такая, что Ь,(хо) = Дхо) и Ь,(х) = Дг). Существование такой функции очевидным образом следует из доказанного в п.
Р. Так как функция Ь, непрерывна, то найдется 6, > О такое, что если р(х,х) < б„то Ь,(х) — 11х) < е. Положим Цг) = В(х,б,). Для всех х б Ъ'(х)выполняется неравенство Ь(х) < 11х) + с. Имеем г Е Ъ'(х), и, значит, множества Цх) образуют открытое покрытие пространства М. По гпеореме Бореля (теорема 2.4 главы 9) найдется такая конечная система точек гы гз,..., г, что множества Цг;) покрывают пространство М.
Функция <р = пз1п1Ь„, Ь„,..., Ь,„) в силу доказанного в п. С принадлежит классу Я. Действительно, для всякого 1 = 1, 2,..., т имеем 423 З 7. Теоремы о приближении функций полиномами Ь,,(хо) = 7(хо), откуда следует, что ~р(хо) = Дх). Пусть х б М произ- вольно.
Тогда найдется г такое, что х б 1'(г;). Имеем у(х) < Ь,. (х) < 7'(х) + е, так что функция у и есть искомая. Р. Для всякой точки у е М найдется функция у„б,У такая, что Уз(у) = ЛУ) и уз(х) < У(х) + е для всех х б М. Существование такой функции у„вытекает из доказанного в п. Е. Пусть 77(у) есть окрестность точки у такал, что для всех х Е У(у) выполняется неравенство ~р„(х) — 7" (х) > -е, т.
е. <р„(х) > 7"(х) — е для всех х б Цу). Имеем у б У(у), так что семейство открытых множеств У(у), у б М, образует открытое покрытие пространства М. Применяя теорему Бореля (теорема 2.4 главы 9), получим,,что найдется конечнал система множеств У(у ), у = 1, 2,..., /с, которая покрывает пространство М. Получим ф(х) = щах(~р„,(х),р Ях),...,~рз,(х). В силу доказанного в п. С функция Ф принадлежит классу функций .У. Возьмем произвольно точку х б М.
Имеем у„,. (х) < Дх) + е при каждом ю' = 1, 2,..., и, откуда следует, что ф(х) < Дх) + е для любого х е М. Так как множества У(у ) покрывают пространство М, то найдется точка у такал, что х е У(у ). Тогда будем иметь ф(х) > р„,. (х) > 7"(х) — е. Таким образом, нами построена функция ф е Я такал, что 7"(х) — е < ф(х) < 7"(х) + е для всех х Е М. В силу произвольности е > 0 из доказанного следует, что существует последовательность функций из Я, равномерно сходящаяся к функции7'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
