1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В силу утверждения и, А доказательства отсюда следует, что 7" е Я. Теорема доказана. ° 424 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы 7.2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ СТОУНА — ВЕЙЕРШТРАООА Приведем некоторые следствия теоремы Спзоуиа — Вейерштрасса. Пусть зз есть совокупность всех полиномов одной переменной, определенных на произвольном отрезке [а, Ь] множества И. Промежуток [а, 6], рассматриваемый как надпространство И, представляет компактное метрическое пространство. Функция, тождественно постоянная на [а,6], есть полино.а нулевой степени. Для любых двух различных точек х,у б [а,6] существует функция ~р Е .'яг такая, что ~р(х) ~ ~р(у), а именно, функция <р(х) = х удовлетворяет этому условию.
Линейная комбинация двух полиномов также есть полинам. Произведение двух полнномов является полиномом. Таким образом, мы видим, что для множества функций зг в рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы 7.1. Это позволяет заключить, что справедливо следующее утверждение. ° Теорема 7.2 (классическая теорема Вейерштрасса о приближении полиномами для функций одной переменной).
Пусть дан отрезок [а, 6] С К и 1: [а, Ь] -~ К есть непрерывная функция. Тогда для всякого е > 0 существует полинам Р такой, что для всех х Е [а,6] выполняется неравенство [1[х) — Р(х)[ < е. Доказательство. Положим М = [а,Ь], и пусть зя есть класс функций, каждая из которых есть ограничение на отрезке [а,Ь] некоторого полинома. Как показано выше, при таком выборе М и т все условия теоремы 7.1 выполняются. Отсюда, очевидно, и вытекает утверждение доказываемой теоремы. ° ° Теорема 7.3 (теорема Вейерштрасса о приближении полиномами функций многих переменных). Пусть А есть произвольное компактное множество в пространстве К" и ~: А -~ К вЂ” непрерывная функция. Тогда для всякого е > 0 существует полинам п переменных Р такой, что справедливо неравенство ][1 — Р][Ь ~А1 < Е.
Доказательство. Данное утверждение есть следствие теоремы 7.1. В качестве компактного пространства возьмем множество А, рассматриваемое как подпространство К". Пусть зя — множество всех функций, каждая из которых есть ограничение на множестве А некоторого полинома а переменных. Множество функций яг в рассматриваемом случае удовлетворяет всем условиям теоремы 7.1. Действительно, произведение двух полиномов и переменных также является полиномом, откуда следует, что условие 1 теоремы 7.1 в данном случае выполнено. З 7.
Теоремы о приближении функций полиномами 425 Функция, тождественно постоянная в К", есть полипом, откуда вытекает, что и условие 2 теоремы 7.1 в данном случае выполняется. Пусть Р = (Рырг, Рп) и 7 = (В,г7з,...,г7е) — две различные точки множества А. Так как эти точки различны, то найдется номер г такой, что координаты с номером г точек р и д различны, р; ~ г7;. Функция х г х;является полиномом и, как очевидно, разделяет точки Р и г7, т.
е. принимает в этих точках различные значения. Таким образом, установлено, что и условие 3 теоремы 7.1 в рассматриваемом случае выполняется. Теорема доказана. ° Напомним, что функция Г': К -+ И называется периодичесног1, если существует число Т ~ 0 такое, что для всякого х Е К выполняется равенство Г"1х+Т) = 7'1х). Например, функции х г гйп их и х соя пх являются периодическими с периодом 2я.
Функция Т: К вЂ” К называется тригономегпричесним полиномом степени не выше и, если она может быть представлена в виде а Т(х) = — + ~~г (а ь соз 'гех + бь з1п гех), 2 я=1 где аь и бь, к = 1, 2,..., п, — постоянные. Если а~ + б~ ф О, то говорят, что степень полинома Т равна и. Всякий тригонометрический полипом представляет собой периодическую функцию с периодом, равным 2я. Периодические функции оказывается удобным приближать тригонометрическими полиномами. А н а л о г теоремы Вейерштрасса для периодических функций также может быть получен с помощью теоремы Стоуна — Вейер- штрасса. ° Теорема 7.4.
Пусть г': К -+ К есть непрерывная 2к-периодическая функция. Для всякого е > 0 найдется тригонометрический полипом Р такой, что [[1 — Р[[ь П В < е. Доказательство. Чтобы применить теорему Стоуна — Вейерштрасса, в качестве пространства М, очевидно, следует взять отрезок [ — гг, я[. В качестве г» следует взять совокупность всех тригонометрических полиномов. При этом, однако, возникает трудность, связанная с тем обстоятельством, что всякий тригонометрический полинам в точках -я и я принимает различные значения и, следовательно, множество тригонометрических полиномов не разделяет эти точки.
П о елаем некото ые пост оения позволяю е обойти возникаю- Рассмотрим отображение г,: 1 б ( — я,гг[ г-+ (соз1,згп~). Образ отрезка ( — к, гг) относительно отображения г," есть окружность Б=((х,у)бИ [х +у =Ц. Гл. 12. Ф нкциональные яды и ннтег алы 426 Пусть Бо есть множество, получаемое из Б исключением точки Ь = = ~(я) = (-1,0). Отображение у: (Г, т) Е ( — я, я) х (О, оо) ~ (т соз 1, т вша) есть диффеоморфизм. (Это есть полярная система координат на плоскости.) Следовательно, обратное ему отображение ~р ~ непрерывно. Ограничение отображения у ~ на множестве Бо, очевидно, совпадает с отображением ~ ~.
Отображение у ~ непрерывно, так как у есть диффеоморфизм и, значит, ~ ~ непрерывно на множестве Бо. Предположим, что 7': К вЂ” К есть непрерывная 2я-периодическая функция. Тогда имеем 7(-х) = 7(я). Построим по 7" функцию Р: Б — ~ -~ К, полагая Р(Ь) = Д вЂ” х) = 7(я) и Р(х) = ~[~ (х)] для х г- Ь. Полученная так функция Р непрерывна в каждой точке х Е Бо. Легко проверяется, что она непрерывна также и в точке Ь = ( — 1,0). Ввиду элементарности проверку этого мы предоставляем читателю. Таким образом, на окружности Б определена непрерывная вешественная функция Р. Из определения непосредственно следует, что для всякого 1 Е [ — я,х] выполняется равенство У(1) = Р[Д1)].
Множество Б компактно, и, значит, согласно теореме 7.3 для всякого е > 0 найдется полипом Р(х, д) от двух переменных х и у такой, что У(х б Б) ]Р(х) — Р(х)] < е. (7.3) Зададим произвольное е > 0 и найдем по нему полипом Р такой, что для него выполняется условие (7.3). Полагая х = Д1), где 1 Е Е [ — х, л], получим, что для всех 1 Е [ — х, л] выполняется неравенство Щ1) — Р(соз |, зш1)[ = [Р[Д~)] — Р[Д~)]] < е. (7.4) Функция Р(зш1,соя~) является тригонометрическим полиномом. Для этого достаточно заметить, что произведение вида зш 1соз~ г, где гл > 0 и й > 0 — целые числа, может быть представлено как сумма выражений вида а соз у 1+ Ь.
зш 71. Такое представление можно получить, е'*+ е '* . е'* — е используя формулы Эйлера соз ж =, зш в = 2 ' 21 Так как функция ]Ц- Р[ непрерывна на отрезке [ — ~г, х], то согласно теореме Вейерштрасса она принимает в некоторой точке 1о Е [-я,я] свое наибольшее значение. Для всех 1 Е [-я, я] выполняется неравенство ] 7(Г) — Р(1)[ < Я~о) — Р(1о)]. В силу 2х-периодичности функций ~ и Р это неравенство выполняется для всех 1 Е К, и мы, следовательно, получаем, что ]]7" — Р[]с рц < [Д~о) — Р(8о)[ < е. Так как е > 0 произвольно, то теорема доказана.
° 427 Задачи Задачи 12.1. Пусть даны множество М и функция )': М ~ К, и пусть (Е1)1Ет— семейство подмножеств М, Е = ! ] Еь Доказать, что имеет место равенство 1ЕТ ]]У!]6„(л) = р]]Л]о (л,). 1ЕТ хг" 12.2. Для е Е К положим /«(я) = — * — ~.
Доказать, что при всяком е Е К существует предел 1пп ?«(я) =?о(х). Определить функцию?о. Доказать, « — +се что 1« -.1 ?о на всяком сегменте ~а,б] С К, не содержащем точек -1 и 1. Будет ли равномерной сходимость у«(я) к Яе) на всем множестве И? «« -«« 12.3. Для е Е И и п Е Х пусть ~~(е) = $Ь не = ';~-„"— *- — — '„',. Доказать, что 1пп ?«(х) = вял е при всяком я Е К. Доказать, что, каково бы ни было б > О,?«(х) ~ вкпя на множестве Кв = (-оо, -б] О [б, оо).
Будет ли последовательность (?«), и = 1,2,..., сходиться к функции е вял х равномерно на всем множестве К? г«г 12.4. При каких а > 0 и )? > 0 сходится ряд [„( ". 1 ? 12.5. степенной ряд [с«в"]«е1ч имеет радиус сходимости л = 1, и с1 > сг > » °" с«> ..., Нш с« = О.,Показать, что тогда рял ]с«я«]„еи сходится «со в каждой точке в Е В: такой, что ]з! = 1, кроме, может быть, точки в = 1.
12.6. Определить радиус сходимости ряда [(вш — ""1 в" 1, где р > 2— простое число. 12.7. Найти радиус сходимости ряда [((й †" ~1 в" 11 , где р > 2— простое число. 12.8. Дан ряд [ — 11 — 1 . При каких значениях е > 0 этот ряд сходится? 1 «Е1Ч Указать, для каких сегментов этот ряд сходится равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
