1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Лля х Е М положим п ОО Я„(х) = ~> яь(х)Ях), Л„(х) = ~~1 яь(х)Ях). ь=пз я=а+1 Теорема будет доказана, если мы покажем, что Я„(х):з 0 на множестве М. Воспользуемся равенством (2.2). Имеем В (Х) = ~~ ХЬ+ +1(Х)Б+и+1(Х). Ыао Я„(х) = ') г„'(х)[У,„„„(х) — У„„„( )]. ЫаО (2.3) Пусть Ь < оо таково, что [[Я„[[ь ~м1 < Ь для всех п > пз. Тогда [[У~[[ь 1м1 < 2Ь. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему номер и такой, что для всякого и > б выполняется неравенство е 21+1 Тогда, применяя равенство (2.3), получим, что для всякого и > п для любого х Е М справедлива оценка [Л„(х)[ < ~ [г.'(х)[[Ь+.+ ( ) - Уь+.+з(х)[-< а=о < 2Х ,'1 [~а+„+1(х) — ~ь» „+з(х)[.
(2.4) а=о ь Положим Яь = 2, г . Имеем Яь = Яь — У„. Изменим в равенз=а+1 стае (2.2) обозначение для индекса суммирования, поставив на место символа п букву х. Полагая оь = гь+„+1 и еь = 11+„+1, получим, что для всякого х Е М имеет место равенство 343 з 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Согласно условию теоремы при каждом х Е М последовательность (~„[х))„> является монотонной. Отсюда следует, что ]Ях) — гь+г(х)! = о[Ях) — ~ь+г(х)], где множитель о равен 1, если последовательность (~„(х))„> убывающая, и о = — 1, если эта последовательность возрастающая.
Отсюда получаем ~~~, ]Ь+ +г(х) Б+и+г(х)! = и ЯИь+и+г(х) Уь+а+г(х)]. а=о а=о Так как гь+„+г(х) -+ О при Й -+ оо, то имеем [Уь+а+г(х) Уь+и+г(х)] а=о = аппп ~у Ц;+„+г(х) — Д+„+г(х)] = г'=о = Бт [1„+г(х) — 1ь+„+г(х)] = г"„+г(х). Из сказанного в силу неравенства (2.4) вытекает, что для всякого п>п ]Л„(х)! < 2Ц~„+г(х)! < 2Ье (2.5) Точка х Е М была выбрана произвольно, и, значит, неравенство (2.5) выполняется для всех х Е М. Отсюда заключаем, что 2Ье ]]~ ]]ь (м) ( 2г, 1 21+1 Так как е > О произвольно и для выполнения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы п удовлетворяло условию и > й, то из доказанного вытекает, что ]]Л„]]ь <м1 -~ О при п — оо.
Тем самым нами установлено, что Я„(х) =Ф О и, значит, функциональный ряц [я„г„]„> равномерно сходится на множестве М. Теорема доказана. ° 344 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы пь=п+з ай=а+1 ПРивсЯкомп > химеем][Е„[[ь ~м1 < ]]Дь <м1]]Ь'„][с ~ Р Прип- со в силу равномерной сходимости ряда [«„]„язв имеем ][Я„][ь ~~ ~ — ~ О. Величина [[Дь рк1 конечна, так как функция Г ограничена как предел равномерно сходящейся последовательности ограниченных вещественных функций.
Отсюда следует, что []Е„]]ь ~м1 -~ О на множестве М при и -+ оо. Это означает, что ряд [У«„]„ер~ равномерно сходится. Таким образом, мы получаем, что ряд [«„У„]„еп„является равномерно сходящимся на множестве М. Следствие доказано. %' 2.3. 1 ЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНК ИОНАЛЬНЫХ РЯ ОВ И ПОСЛЕ ОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Зададим произвольно замкнутый промежуток Е = [а, Ь] С й.. Символом Л(Е) обозначим совокупность всех ограниченных функций, определенных на промежутке Е и интегрируемых на этом промежутке. Сделаем одно замечание, которое будет нам полезно в дальнейшем. Предположим, что функция г": [а,Ь] ~ К ограничена и является интегрируемой по промежутку [а, Ь].
Тогда для любых двух точек хмхз Е [а, Ь] имеет место неравенство Д~) й (2.6) < [хз — х1[][Дь ~ер Следствие (признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда). Пусть М есть произвольное множество, (~„)„> и («„)„> — последовательности ограниченных вещественных функций, определенных ла множестве М. Для произвольного и > т положим Я„= 2 «ь. Предположим, что функциональный ряд [«„]„> рань=ха номерно сходится на множестве М, последовательность (~„)„> равномерно сходится на М к некоторой функция г', причем для всякого х Е М числовая последовательность (~„(х))„ЕН является монотонной.
Тогда функциональный ряд [«„~„]„ен равномерно сходится на множестве М Доказательство. При каждом п имеем «„У„= «„΄— ~) + «„У. Ряд [«„(~„— У)]„еп, удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2, если в формулировке последней заменить г'„разностью ~„— ~. По условию, ряд [«] еп, сходится равномерно. Пусть з 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 345 Действительно, предположим, что х1 < хг. Положим ]Щ]ь <п1 = К. Для всех 1 Е (хм хг) имеет место неравенство — К < Д1) < К. Отсюда согласно правилу интегрирования неравенств (теоре'ма 2.2 главь| 5) вытекает, что ~2 — К(хг — хг) < У(г) й < К(хг — хг), Й1 т. е.
хг П~) й < К]хг — хг] Ж1 Для случая х1 < хг неравенство (2.6) доказано. Случай х1 > хг сводится к этому в силу равенства ~2 Й1 Д~) й = — Д~)й. Х1 ~2 Пусть г" Е Х(Е) и Г есть первообразная функции г" такая, что Г(а) = О. Функция Г непрерывна на отрезке [а,Ь] и, значит, в силу гпеоремы Вейерштпрасса о непрерывных функциях (теорема 5.2 главы 2) является ограниченной. Для всякого х Е [а, Ь] имеем Г(х) = Д~) й. а В силу неравенства (2.6) отсюда следует, что для всякого х Е [а, Ь] верно неравенство ]Г(х)] < (х — а)ЦЯ]ь ~п> < (Ь вЂ” а)ЦДь <и>, откуда получаем неравенство ]]Г]]ь ~п> < (Ь вЂ” а)]Яь (2.7) Напомним, что здесь Г" есть ограниченная функция, интегрируемая по промежутку [а, Ь], а Г есть ее первообразная, определенная так, чтобы выполнялось равенство Г(а) = О.
346 Гл. 12. Функциональные ряды и интегралы ° Теорема 3.3. Пусть даны промежуток Е = [а, 6) С К и последовательность (~„)„ен функций класса Ф(Е), равномерно сходящаяся на лромелсутке [а, 6] к некоторой функции |о . [а, Ь~ -+ К. Тогда предельная функция ~о также принадлежит классу Ф(Е). При этом имеет место равенство (2.8) Локазательство. Пусть (~„)„ен есть последовательность функций класса Х(Е), сходящаяся в пространстве Х (Е) к некоторой функции го. Требуется доказать, что функция |о является элементом множества Х(Е), т.
е. функция |о ограниченна и интегрируема по промежутку [а,Ь). Ограниченность функции (о следует из того, что Уо Е Ь,(Е). Таким образом, задача сводится к тому, чтобы доказать интегрируемость функции ~о. Пусть Г„есть первообразная функции |„, удовлетворяющая условию Г(а) = О. Докажем, что последовательность (Г„)„ен элементов пространства Ь (Е) является фундаментальной в этом пространстве.
Так как (г„)„ен есть сходящаяся последовательность элементов пространства Ь (Е), то она является фундаментальной в этом пров странстве. Зададим произвольно с > О. Положим с1 — — . ПоЬ вЂ” а скольку последовательность (~„)„ен фундаментальная, то найдется номер б такой, что для любых п1 > В и пз > и выполняется неравенство [[Л 1 Уа~[[ь (п) < с1. Для любых п1 > й и пз > й имеем [[Г„, — Г„,[[ь <н> < (Ь вЂ” а)Ц„, — |'„,[[ь <в> < (Ь вЂ” а)с1 — — е.
Так как с > 0 произвольно, то тем самым установлено, что последовательность (Г„)„ен является фундаментальной в пространстве Г, (Е) и, значит, она сходится в Ь (Е) к некоторой функции Го. Функция Го непрерывна в силу того, что все функции Г„непрерывны на промежутке[а,Ь[. Докажем, что построенная функция Го является первообразной функции го на промежутке [а,Ь[. При каждом и > т найдется не более чем счетное множество Е„С [а,Ь] такое, что при всяком х ф Е функция Г„дифференцируема, причем выполняется равенство Г„'(х) = |„(т).
347 З 2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Пусть Г„(х) — г'„(хо) 0„(х) = х — хо У-[ при х = хо. (2.9) Зададим произвольно номер и б Ь( . При всяком и Е М для любого х ~ хо имеем В силу неравенства (2.6) имеем ]0„[х) — 0„[х)! < о ]]ӄ— У„]]ь (и) = ]]У вЂ” У„]]ь (и). [2.10) При и -+ оо, как следует из предложения П1 п.
1.3, ]]У У Ь (и) + ]]Уа УоЬ (и) Фиксируя и и устремляя в неравенстве (2.10) г к оо, получим неравенство ]6„(х) — Оо(х)! < ]]ӄ— Уо]]ь (г). (2.11) Имеем ]6~[хо) — 6о[хо)! = ]Уз[хо) — Уо[хо)! < ]]Уи — УоЬ (и). Таким образом, мы получаем, что для всех х Е [а, Ь] выполняется неравенство (2.11). Отсюда следует неравенство ]!Оа — Оо]]ь (н) < ]]У вЂ” УоЬ (и).
Множество Е не более чем счетно. Возьмем произвольно точку хо Е [а, Ь], не принадлежащую множеству Е. Точка хо не принадлежит ни одному из множеств Е„, и, значит, при каждом п функция Г„дифференцируема в точке хо, причем имеет место равенство г'„'(хо) = У„(хо). Далее, построим вспомогательную последовательность функций 0„: [а, Ь] — К, полагая при каждом и > 0 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы 348 Номер п е М был выбран произвольно, и, значит, последнее неравенство верно для всех и Е Х. Правая часть этого неравенства стремится к нулю при и — оо, и, значит, ]~0„— бо]]ь ~п1 -о О при п — оо. Таким образом, последовательность функций (0„)„ен сходится равномерно к функции бо при п — со.
При каждом и имеем 6 (хо) = Уо(хо) = Г'(хо) = Нш = Ппт 6(х), Гх(х) Гх(хо) х-'хо х — хо х хо и, следовательно, функция б„при каждом п непрерывна в точке хо. В силу теоремы 1.4 из доказанного следует, что функция бо также непрерывна в точке хо, т. е. Уо(хо) = бо(хо) = Бгп бо(х) = Нгп Г(х) — Г(хо) = Г (хо) х ~хо хо х — хо Точка хо Е [а, 6] ~ Е была выбранная произвольно. Следовательно, мы получаем, что если х е [а,Ь] не принадлежит множеству Е, то Д(х) = Г'(х). Множество Е не более чем счетно. Таким образом, мы получили, что функция Г непрерывна и Г'(х) = Д(х) в промежутке [а, Ь] в основном. Следовательно, функция Г является первообразной функции Уо в промежутке [а, Ь]. При п — оо имеем Г„(х) — Го(х) для всех х б [а, Ь]. Имеем Г„(а) = О для всех п Е Х и, значит, также Го(а) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
