1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В т о р о е есть частный случай теоремы 1.5, з 1. Понятие равномерной сходнмостн для семейства функций 333 получаемый, если взять Т = 1з1 и Л(п) = и для всех п б г1 и р = оо. Теорема доказана. ° . Пусть дано произвольное метрическое пространство (М,р). Совокупность всех ограниченных непрерывных вещественных функций, областью определения которых является множество М, обозначается символом в'(М).
Множество в'(М) является подмножеством пространства Ь (М). Для любых двух ограниченных непрерывных функций ~: М вЂ” К и д: М + К и любых чисел Л, р Е К функция Л(+ рд является ограниченной и непрерывной. Отсюда следует, что множество функций в (М) является векторным пространством — подпространством Х, (М). Для произвольной функции 1 Е 'в (М) полагаем !!Л!ж1м1 = !!Ль 1и>. Так как равномерная норма является нормой в пространстве Ь (М), то функция У: ~ Е 'и (М) !!Д к<м1 есть норма в пространстве и"(М).
Пространство и'(М) является полным нормированным векторным пространством. Действительно, пусть (1„)„ен есть произвольная фундаментальная последовательность элементов пространства е'(М). Она, очевидно, является фундаментальной также и в пространстве Ь (М), и так как пространство Ь (М) полно, то найдется функция ~ Е Ь, (М) такая, что !!~„— Яь <м1 -+ О при и -+ со, т. е.
последовательность фУнкций (1'„)„ен РавномеРно сходитсЯ к фУнкции 1 пРи п- оо. В силу теоремы 1.5 функция ~ непрерывна. Согласно предложению П п. 1.2 ~ есть ограниченная функция, и, значит, ~ Е и (М). При каждом о Е Х имеем !!1„— Д к1м> = !! 1„— Дь <м1 — О при и -~ оо. Таким образом, мы получаем, что всякая фундаментальная последовательность элементов пространства и (М) является сходящейся в этом пространстве. 1.6.
ТЕОРЕМА ИНИ ° Теорема 1.7. Пусть М есть компактное метрическое пространство, (1„)„ен — последовательность непрерывных вещественных функций, определенных на пространстве М. Предположим, что для всякого х Е М числовая последовательность ((„(х))„ен является убывающей, причем 1пп 1„(х) = О. Тогда последовательность (~„)„ен сходится к нулю на множестве М равномерно при п -+ оо. 334 Гл. 12.
Функциональные ряды и интегралы .Доказательство, Пусть выполнены все условия теоремы. Если последовательность Ц„(х))„ен для некоторого х Е М является убывающей и имеет предел, равный нулю, то г"„(х) > О для этого х при любом п. Зададим произвольно е > О. Пусть х б М. Тогда найдется номер п(х) Е М такой, что для всякого п > п(х) имеет место неравене ство У„(х) < —. 2 Пусть О, есть множество всех 1 б М, для которых У„(1) < е. Множество С, открытое. Очевидно, х б О,. Для всякой точки х б М, таким образом, определено некоторое открытое множество О,. Мы получаем семейство (0,),ем открытых множеств пространства М. Каждая точка х б М принадлежит по крайней мере одному из множеств этого семейства. А именно, 6, и есть то множество семейства, которое содержит точку х. Семейство множеств (С,),ем образует, таким образом, открытое покрытие множества М.
В силу теоремы Бореля о покрытпии (глава 9, теорема 2.4) отсюда следует, что найдется конечное множество значений х;, з = 1,2,...,Х, такое, что каждая точка г б М принадлежит по крайней мере одному из множеств 0 „т. е. множества О, также образуют открытое покрытие пространства М. При каждом г' = 1, 2,..., Х определен некоторый номер и; = п(х;). Пусть й есть наибольший из этих номеров. Рассмотрим функцию 1„, где п > и. Так как функция ~„непрерывна, а пространство М компактно, то найдется точка 1„б М, в которой функция ~„принимает свое наибольшее значение.
Для всех 1 Е М имеем 0 < ~„(1) < Д$„), откуда следует, что У(г ) = 1!Л Ь (м) Всякая точками б М принадлежит хотя бы одному из множеств С,. Пусть |„б С,, Так как и > й > п,, то ~~У Ь 1м>=У(~ )<Уз(1 )<е. Следовательно, мы получаем, что для всякого и, удовлетворяющего условию и > й, выполняется неравенство 9 г„Ь <м1 < е.
Так как е > О было взято произвольно и для достижения последнего неравенства потребовалось лишь, чтобы выполнялось условие и > й, то тем самым установлено, что ОЯЬ <м1 — О при п — оо, т. е. ~„=з О при и оо. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть М есть компактное метрическое пространство, (1„)„ен — последовательность непрерывных вещественных функций, ноточечно сходящаяся лри п -+ оо к функции ~: М вЂ” Я.
Тогда если функция ( непрерывна и для всякого х б М последовательность (У„(х))„ен является монотонной, то ~„.:~ ~ в пространстве М. з 1. Понятие равномерной схоцнмости для семейства функций 335 Доказательство. Зля х б М положим и„(х) = ]1'„(х) — 1(х)[. Если для некоторого х последовательность 1„(х) является возрастаю- щей, то согласно теореме о пределе монотонной последоватпельносгпи, доказанной в главе 2, Г" (х) = 1пп 1„(х) = зпр 1„(х), а-~~~ иех так что в этом случае 1„(х) < Дх) для всех и и, значит, и„(х) = -[г"„(х) — Дх)].
и последовательность (и„(х))„ен является убывающей и в этом случае. Функции и„непрерывны и и„(х) -+ 0 при п — ~ оо для всякого х б М. Последовательность функций (и„)„ен является убывающей. На основании теоремы из доказанного вытекает, что и„=з 0 при п -~ оо. Тем самым следствие доказано. Т 1.7. ТеОРемА О пРОизВе ении РЯ ОВ В качестве приложения гиеоремы о повторных пределах (теорема 1.3) докажем следующее предложение. ° Теорема 1.8 (о произведении рядов). Пусть даны сходящиеся числовые ряды [а„] и [Ь„]„ез~,. Для произвольного и б Хо положим с„= 2 аьЬ„ь.
Тогда если один из рядов [а„]„ен, и [Ь„]„ещ, сходится я=о абсолютно, то ряд [с„]„ен, является сходящимся, причем имеет место равенство ~~) с„= ,'~ а„с Ь„ Доказательство. Для определенности будем считать, что абсолютно сходится ряд [а„]„ен,. Для и > 0 положим п В„=~ Ь. 1=о А„= ~аь, я=о Отсюда ясно, что последовательность (и„(х))„ен для данного х является убывающей. В случае, когда последовательность (~„(х))„ен убывающая, имеем и„(х) = 1„(х) — Дх) 336 Гл.
12. Функциональные рядьг и интегралы Пусть Си есть п-я частная сумма ряда [с ]ион. Имеем. и и т Сиио ,'~ с =~, ~~~ аьЬ =о =о я=о Для всякого Ь = 0,1,2,..., и в сумме справа соберем все те слагаемые, которые содержат множитель аь, Очевидно, это есть слагаемые и-и аьЬо,аьЬ1,аьЬ1,...,аьЬи ь. Их сумма равна аь 2 Ь = аьВи ь. Отти=о и сюда вытекает, что Си = ~, аьВи ь при каждом п > О.
я=о Положими и=а В„прит<пии и=О,еслит,ипесть неотрицательные целые числа. При каждом и Е г1о, таким образом, определен ряд [и и] е~,. Этот ряд сходится, так как его члены, номера которых больше п, обращаются в нуль. Его сумма равна и„, „= ~ а,„Ви,„= Си. гоп=о и1= 0 При каждом т > О имеем 1пп и,и = 1пп а Ви, = а В. и-~оо и-~оо Ряд [а В] ен, сходится, и его сумма равна АВ. При каждом т величина и „имеет пределом при и оо т-й член ряда (а В] Наша цель — доказать, что Си = 2 и,и пРи и — + оо стРемитсЯ к АВ, тих=о т. е.
к сумме ряда [а В] ен,. Положим У,„= Я иь „. При каждом т > О существует предел ь=о Бгп У „= ~; аьВ = А В. Прикаждомп > Осуществуеттакжепреь=о дел 1пп У „ = Си. Докажем существование и равенство повторных пределов 1пп 1 Бш У,„), Бш ( 1пп У,„). Заметим, что первый из этих пределов, очевидно, существует и равен Бш А В = АВ. Чтобы доказать, что также и второй предел суи оо ществует и равен первому, мы должны установить, что У „- С„ равномерно при и -+ оо и т — оо. 31. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 337 Последовательность (В ) ен, имеет конечный предел и, следовательно, является ограниченной.
Пусть 1 < оо таково, что ~В ~ < Ь для всех т > О. Зададим произвольно е > О. По нему найдется номер т такой, что при каждом Й > т имеет место неравенство )аь! < Имеем ф— У „= О при п < т, а если и > тп, то ~ф— У „(= ,'1 иа„< ~) ~иь„)< я=за+! аале+! а а < ~ )аь((В„ь) < 1 ~~! )аь!. й=т+! а=та+1 Отсюда следует, что для всякого пз > т имеет место неравенство ~Са — Уа,,а! < Ь ~! ~ая) < — < е.
Ье 1+1 Ь вЂ” +! Так как для достижения этого неравенства потребовалось лишь, чтобы ш удовлетворяло условию пз > т, то тем самым и доказано, что У,„-а С„равномерно при т -+ оо и п — оо. Применяя теорему 1.3, получаем, что 1пп (Бт У,„1= аппп А В =АВ= йп( Бт У,„1= Бт С„. Таким образом, установлено,что АВ= Бт С„=~ с„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
