1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Вычислить сумму Я = 2 1 ~, ~~~) р=г'1 "д=г ~ ) е 11.4Т. Пусть Яе = 2 1. Доказать, что — =2~ р— - 2~ 11.48. Доказать суммируемость функции (т, и) ~ (т+ п)х™у", где ~е~ < 1, (у(<1,по1ЧхМ. 11.49. Пусть Я вЂ” произвольное счетное множество, 2: Я вЂ” К вЂ” неотрица- тельная функция. Обозначим через Ям где 2 > О, множество всех е Е Я, для которых у'(е) > 1. Доказать, что ~ у(*) = 11ш 2 у'(е). ,Ея 1 О,ея, 11.59. Пусть Я вЂ” произвольное счетное множество, Г: Я -~ К вЂ” неотрица- тельная функция. Для 1 > 0 пусть о1 = (е Е Я ~ 1(е) > 1), иДΠ— число элементов множества оо Доказать, что если 1 уП) = оо хотя бы для одного 2 > О, то ~, 2(х) = со, а если иуП) < оо для всех 2, то справедливо равенство *ЕЯ ~, 2(е) = ( и(1) й. еббр о 11.51.
Функция 1': (-1, 1) — К имеет в промежутке ( — 1, 1) все производные гюрядка не выше г, где т Е М. Доказать, что если 1(0) = 0 и 1 )(0) = 0 (й) для любого й < г, а у'(")(0) ~ О, то ряд (у (-Ц) сходится, если а > 1/г, и расходится, если о < 1/г. 11 52. Функция 2: ( — 1,1) - К дифференцируема в точке 0 и такова, что ряд [1 ( — „)) сходится. Доказать, что 1'(О) = О, у (0) = О. 11.33. Функция у: ( — 1,1) — К имеет в интервале ( — 1,1) первую и вто- рую производные.
Доказать, что если ряд [~ ~-~-~~ сходится, то 1(0) = /1 11 ееи = у'(О) = ул(0) = О. Задачи 11.54, Функция 1: [-1,1) — К имеет в интервале [-1,1)производную 11 1 для любого х такого, что я < г. Доказать, что если ряд [1'~-17;~ сходится, то 1[0) = 0 и 11 1[0) = О для любого х = 1, 2,..., г. Определим некоторое понятие, используемое в следующих задачах 11.55 — 11.58: Последовательность [ха)ал1ч спочех банахова пространства Х наэываетсв последовательностью с оераниченным изменением, если сходитея ряд []]Ха — Ха+1]]]ай1Ч.
11.55. Доказать, что всякая последовательность с ограниченным изменением точек банахова пространства Х имеет предел. 11.56. Доказать,что всякая монотонная числовая последовательность, имеющая конечный предел, является последовательностью с ограниченным изменением. 11.57. Доказать следующий аналог признака Дирихле для банаховых пространств.
Пусть [ха)айи есть числовая последовательность, [уп)ай1С вЂ” последовательность векторов банахова пространства Х. Предположим, что выполнены следующие условия: а) последовательность частных сумм ряда [Ха]ай1Ч яВЛяЕтСя ОтраНИЧЕННОй; Ь) (уа)ай1Ч ЕСТЬ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ С ОГраНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ, И ПрЕдЕЛ 1ПП у„раВЕН НУЛЮ. ТОГда ряд [Х„уа]ай1Ч а со является сходящимся. 11 58. Последовательность (уа Е К)алгс такова, что для всякого ряда [ха б К]ай1Ч такого, что последовательность его частных сумм является ограНИЧЕННОй, ряд [Х„у„]„йи яВЛяЕтСя СХОдящИМСя. ДОКаЗатЬ, Чта [уа)ай1Ч ЕСТЬ последовательность с ограниченным изменением, причем 1пп уа пс О.
а-поп 11.59. Доказать, что существует конечный предел 1 1 1 1пп 1+ — + — + + — — 1пп) = С. со~ 2 3 и (Величина С, определенная данным равенством, называется постоянной Эйлера.) 11.60. Пусть г" с [1, оо) — и К есть неотрицательная невозрастающая функция такая, что 1пп 1[х) = О, а интеграл ] 1[х)дх равен бесконечности. Для и — ~ ОО 1 и 6 111 положим ДОКаэатЬ, Чта 15а > 0 дЛя ВСЕХ П Е 11 И ПОСЛЕданатЕЛЬНОСтЬ [Ьа)айсе НЕВОЗ- растающая. 11.61. Пусть Х есть произвольное нормированное векторное пространство. Доказать, что если всякий ряд [ха] й1Ч в пространстве Х, для которого сходится числовой ряд []]ха]]]ай1ч, является сходящимся, то пространство Х полно.
[Иначе еоворя, в этом случае Х есть банахово пространство.) Гл. П. Теория рядов 314 11.62. Дана числовая последовательность (яа)аен. Предположим, что существуют числа а > 1 и б > 0 такие, что при всяком п выполняется неравенство за+1 — яа > — аи. ДОКаэатЬ, ЧтО тОГда Сущветнувт ПрЕдЕЛ 1ПП яа, ПРИЧЕМ б а +во -оо < 1пп яа < +со. а-~сю 11.63. Пусть числа р > 1 и о > 1 таковы, что 1 + 1 = 1. Предположим, что числовые последовательности [аа)„ен и (уа)„еи таковы, что ~, [за[" < оо а=1 и д [уа[~ < со. Доказать, что тогда ряд [яауа)аег~ является сходящимся, а=1 причем имеет место неравенство К *-у.
< ~;[.-[' ~ : [у-[' [неравенство Гельдсра для последовательностей). ОО За 11.64. Доказать что бесконечное произведение П (1+1 ), где [1[ < 1, являа=о ется сходящимся. Чему равно значение этого произведения? 11.6б. Доказать, что бесконечное произведение я П [1 + — „*) е *?" сходится а=1 при любом я Е К. 11.66. При каких вещественных х и у цепная дробь является сходящейся? Глава 12 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ° Равномерная норма функции и ее свойства ° Определение и простейшие свойства равномерной сходимоссти ряда ° Пространство з. (М) ° Теорема о повторных пределах и ее следствия ° Теорема о произведении рядов ° Первая теорема Абеля для степенных рядов (теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда) ° Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций ° Вторая теорема Абеля для суепенных рядов ° Функции, представимые интегралами ° Теоремы о непрерывности интегралов, зависяших от параметра ° Теорема о монотонной последовательности интегрируемых функций а Лифференцирование и интегрирование функций, представимых интегралами ° Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов а Эйлеровы интегралы ° Метал Лапласа построения асимптотических представлений ° Теорема об асимптотической оценке интеграла ° Асимптотическое поведение Г-функции при большихзначениях аргумента (формула Стирлинга) ° Теорема Стоуна — Вейерш трасса о приближении функций ° Приложения теоремы Стоуна — Вейерш трасса ° 316 Гл.
12. Функциональные ряды и интегралы 1 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций В этом параграфе рассматриваются вопросы сходимости и расходимостн последовательностей функций. Сначала рассматривается понятие равномерной нормы вещественной функции, заданной на некотором множестве М. равномерная норма есть величина, характеризующая в некотором смысле размеры данной функции. Множество ограниченных вещественных функций с введением равномерной нормы превращается в нормированное векторное пространство. Как будет показано здесь, это пространство является банаховым.
Понятие равномерной нормы позволяет определить, чтб есть равномер, ная сходимость для семейства (в частном случае для последовательности) вещественных функций. Устанавливаются основные свойства понятий равномерной нормы и равномерной сходимости. Олин из главных результатов этого параграфа — теорема о повторных пределах, которая устанавливает условия, когда для функции ((х, у) двух переменных х и у пределы Бт ~ 1пп Ди,у)1 и йп ~ Бт Дт,у) г(я) О Ьз(з)~0 д з(з)-~0 'Ьт(х)~о совпадают. Эта теорема дает средство, в частности, для установления того, что предел равномерно сходящейся послсдовательности непрерывных функций есть непрерывная функция.
В качестве другого ее применения мы докажем в конпе этого параграфа общую теорему о произведении рядов. Понятие равномерной сходимости важно, в частности, потому, что оно позволяет ус т анавлив а та некоторые легко проверяемые достаточные условия для выполнения различных теорем о свойствах сумм рядов, члены которых есть функции, определенные на некотором промежутке множества К. В этом параграфе устанавливаются также некоторые теоремы о свойствах функций, заданных интегралами, зависящими от параметра. 1.1. РАВнОмеРнАЯ нОРм Ф нк ии.
НРОстРАнство В М Для произвольной вещественной функции, заданной на некотором множестве М, здесь будет определена величина, характеризующая, в определенном смысле, «размер» этой функции. Эту величину мы назовем равномерной нормой функции. На основе этого понятия далее будет введено понятие равномерной сходимости для последовательности З 1. Понятие равномерной сходимости для семейства функций 317 функций или, в более общем смысле, — семейства функций.
Понятие равномерной нормы важно также с точки зрения теории приближенных методов. Один из способов изучения разного рода функций методами теории приближений основан на приближении произвольной функции функциями более простыми с точки зрения вычислений. Равномерная норма может служить для определения степени близости к функции какого- либо ее приближенного представления. Ранее неоднократно употреблялся термин «банахово пространство». Пока в нашем распоряжении имеются только конечномерные банаховы пространства — это пространство К", наделенное той или иной нормой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
