1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При этом в случае х ~ 0 мы будем иметь два решения: у = и(х) и у = — и(х), где и(х) > О. При этом и( — х) = и(х), так что множество У~(~) для 1 = а оказывается симметаричным относительно каждой из координатных осей. Рассуждением, аналогичным проделанному выше для случая 0 < ~ < а4, можно доказать, что функция и(х) и в данном случае будет непрерывна в концах промежутка [ — ~/2а, ~/2а].
Доказательство непрерывности в точке 0 требует несколько иных рассуждений. Точка (О, 0) является критической точкой для функции ~ и ее второй дифференциал в этой точке есть квадратичная форма — 4азИхз + 4аздуз. Теорема Морса (теорема б.1 этой главы) позволяет доказать, что существует диффеоморфизм у: В(0, т) — Ез такой, что у(0) = 0 (символ 0 здесь означает начало координат) и Я~о(~,у)] = а — с + у . Пусть С = у[В(0, т)]. Множество 6 открытое.
Пусть Ь = у 1.[6 О У~(~)). Очевидно, множество Ь определяется уравнением а — с~ + п~ = а~, т. е. -с~ + п~ = О. Отсюда ясно, что множество Ь состоит из двух отрезков, являющихся диаметрами круга В(0, т) и определяемых уравнениями С + и = 0 и -С + 0 = О. Диффеоморфизм у преобразует эти отрезки в кривые, пересекающиеся в начале координат. При 1 > а4 множество У1(~) представляет собой замкнутую кривую. На рис. 10 показано, как выглядит множество У~(~) для разных значений й Заметим, что лемнисната Бернулли, т.
е. множество У~(У), соответствующее значению 8 = а~, имеет форму восьмерки. з 7. Вычисление частных производных. функций 205 Рис. 10 Р(х) = х4+ихг+их+го (7.19) имеет кратные корни. Множество У4 будем называть дисиримииаитным множеством для полиномов четвертой степени. Иссле ем ст оение множества У . Сделаем некоторые предварительные замечания.
1) Произвольный полипом четвертой степени имеет вид Р(~' 14+ 13+ гг+ 1+ аг где ао ~ О. Делением на ао и заменой переменной по формуле 1 = х-— 4ао этот полипом приводится к виду (7.19). Поэтому задача выяснения вопроса, имеет ли данный полипом четвертой степени кратные норки, сводится к случаю, когда коэффициент ао = 1, а аг = О,т. е. полипом задается равенством (7.19). 2) Условие, что полипом Р имеет кратные корни, как известно из алгебры, может быть представлено в виде равенства Р(ао,аыаг~аз~а4) = О, 7.2.2.
В т о о й п и м е . Исследуем строение некоторого специального множества в пространстве Кз, называемого дискриминантным множеством для полиномов четвертой степени. Знание строения этого множества оказывается полезным при изучении таких полиномов.
Символом У4 обозначим совокупность всех точек х = (и,о,го) пространства К~ таких, что полипом четвертой степени 200 Гл. 10. Основы гладкого анализа где Р— некоторый полипом пяти переменных. В частности, множество У4, которое нас интересует, есть совокупность всех точек и = = (и, о,ю) Е 1ьз, для которых выполняется равенство Р(1,0, и,о,ю) =О. Полипом Р(1, О, и, о, ю) может быть представлен в виде некоторого определителя седьмого порядка. (Каноническое представление этого полинома является достаточно сложным, и мы не будем его использовать.) Пусть х б У4.
Согласно определению это означает, что полипом Р,(х) = х + их~ + ох + ю имеет кратный корень с. Рассмот им после овательно все возникаю е сл чаи 1. Предположим, что полипом Р, имеет кратный корень, не являющийся вещественным числом, т. е. с есть кратный корень полинома Р„ причем 1пзс ф О. Множество всех х, для которых полипом Р, удовлетворяет этому условию, обозначим символом Р~. Если комплексное число с является корнем полинома Р„1гпс ~ О, то, так как коэффициенты полинома Ря есть вещественные числа, сопряженное число с также является корнем полинома Р, и, следовательно, Р, делится на квадратный трехчлен хз+ рх+ д = (х — С)(х — С). Это означает, что Р,(х) = (х~ + рх + д)(х~ + тх + и).
Числа р и д вещественные. Трехчлен хз + тх+ п получается делением полинома Р, на трехчлен хз+ рх+ д. Определение коэффициентов т и и требует только выполнения операций деления, умножения, сложения и вычитания над числами и, о, ю, р и д. Отсюда ясно, что т и п есть вещественные числа. Так как, по условию, с есть кратный корень полинома Р, и с ,-Е с, то с является корнем также и трехчлена х + тх + и.
Так как числа т и и вещественные, то, значит, также и с есть корень этого трехчлена и, следовательно, трехчлены х + тх + и 3 ихз+рх+д совпадают. Таким образом, мы получаем, что в рассматриваемом случае имеет место равенство Р (х) = х4+ их~ + ох+ ю = (х +рх+д) х4+ 2рхз+ (рг+ 2д)хз+2рдх+ дз. (7.20) Отсюда получаем: р = О, и = 2д, о = О, ю = дз. Квадратный трехчлен х~ + рх + д = хз + д не имеет вещественных корней, и, значит, д > О. Мы видим, таким образом, что множество Р~ состоит из точек х = (2д,О,дз), где д > О. Это множество лежит в плоскости и = О. Оно, очевидно, представляет часть параболы, определенной условиями и2 и = О, ю = —, и > О.
4' з 7. Вычисление частных производных функций 207 Отсюда видно, что в этом случае полипом Р, имеет два кратных корня: вещественные — в случае тт < 0 и комплексные — в случае д > О. 2. Пусть юг есть совокупность всех точек и е У4, для которых полипом Ра имеет вещественный корень с, причем кратность его не меньше двух. Тогда полипом Р, делится на полипом второй степени (х — с)г = хг — 2сх + сг.
Следовательно, Р допускает представление вида Р,(х) = х4+ ихг + ох+ ю = (хг — 2~х+ ~г)(хг + ттх + ~). Раскрывая скобки в произведении, стоящем здесь справа, получим ра- венство х +их +ох+ю=х +(т1 — 2с)х+ + (Яг 2т1~+ т )хг + (т1~г — 2Д)х + ~гт'. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х у полиномов, стоящих в последнем равенстве, получим следующие соотношения: 0 = тт — 2~, и = с~ — 2тф+ ~, туг 2д дг (7.21) Исключая из полученной системы тт, получим равенства и = -Зс~ + ~, 2~з 2~~ д.г (7.22) Если для и = (и, и, ю) существуют вещественные числа С и ~ такие, что выполняются равенства (7.22), то для данных и, о и ю выполняются также и равенства (7.21) с тт = 2с.
Заметим, что множество У4 в действительности содержит в себе г всю параболу о = О, ю = —. Действительно, если и = 2т7, тт = О, а ю = д~, то 208 Гл. 10. Основы гладкого анализа с(~) = — 2и~ — 4~з, в(~) = З~~+ и~з. (7.23) Проекцию сечения плоскостью и = сопз$ на координатную плос кость, проходящую через оси Ои и Ою, обозначим символом Г„.
Ра венства (7.23) дают параметризацию кривой Г„. Дифференцируя равенства (7.23), получим с'(с) = -2и — 12с~, оо(с) = — 24с, в'(~) = 2ис + 12с~, во® = 2и+ Збс~. (7.24) Ст оение к ивой Г зависит от знака числа и. Рассмот им пос- л овательно т и сл чая: а и > 0 Ь и = 0 с и О. а) Предположим, что и > О. В этом случае, применяя первое из равенств (7.24), мы получим, что с'(~) = — (2и + 12~~) ( 0 для всех с Е К. Отсюда вытекает, что функция о(с) является строго убывающей.
При этом с(с) ~ оо при с — ~ — оо и с® — — оо при с -+ оо. Отсюда следует, что функция с взаимно однозначно отображает множество К на себя. Пусть т(с) есть функция, обратная к функции с(4). Производя в параметризации кривой Г„замену переменной по формуле с = т(и), получим параметризацию с Е К (с, Дс)), где т(с) = в[т(с)]. Таким образом, в случае, когда и > О, кривая Г„однозначно проектируется на ось Оо и представляется как график некоторой функции 1.
Исследуем эту функцию более детально. При этом воспользуемся формулами (7.5) и (7.9), установленными в п. 7.1.1. В результате получим в'(с) 12сз + 2ис оЯ) — 12~я — 2и уо( ) = [„,®],[ 'Ы)внЫ) — оЫ)в'Ы)]. (7.25) Таким образом, та часть множества У4, которая отвечает полиномам, имеющим вещественный кратный корень, состоит из тех точек и = (и, с, в) Е Кз, координаты которых могут быть представлены равенствами (7.22). Чтобы разобраться в том, как устроено множество .0з, рассмотрим его с е ч е н и я плоскостями 1(и,с,г) е Кз ] и = сопз$). Из равенства — Зс~ + ~ = и мы получаем ~ = и + Зсз. Заменяя величину (' в выра-' жениях (7.22) для компонент вектор-функции р(~, ~), мы получим, что две другие ее компоненты выражаются через и и с следующим образом: 'з 7.
Вычисление частных производных функций 209 В правую часть последнего равенства подставим выражения для производных функций о и го из равенств (7.25). Возникающее при этом громоздкое выражение для 1н(о) «чудесным образомэ упрощается, и в результате мы находим следующее выражение для этой производной: 2 + 12сг ' (7.26) где С = т(и). Из равенства (7.26) видно, что 1н(о) > 0 для всех о и, следовательно, функция 1 выпукла.
Имеем Ыгп го(с) = 1пп ю(с) = оо. ~-~со ~-+-со Отсюда вытекает, что 1(о) -~ оо при о — — оо и при о — оо. Ь) Пусть и = О. Тогда из равенств (7.23) получаем ,(Д 4сз „,(с) 3~4 3 откуда 1(о) = Со~1~, где С = —,. Отсюда видно, что сечение множе- 4~4 ства Вг в рассматриваемом случае есть выпуклая кривая, симметричная относительно оси Оо, ветви которой уходят в бесконечность. с) Рассмотрим случай нс', О, Полагаем и = — 6Лг, где Л > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
