1610912307-a647182cb345a3bad39925b9d1569dc8 (824695), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Аналогичным образом, произведение Н.0 есть матрица, полученная из Н умножением элементов з'-го столбца при каждом 1 = 1, 2,..., и на 4;. В частности, если Н есть либо верхняя, либо нижняя треугольная матрица, то матрицы ВН и НВ будут соответственно верхней или нижней треугольными матрицами. Возвращаясь к интересующему нас случаю, получаем, что матрица Б"Р является нижней треугольной матрицей и, значит, все ее элементы, лежа1цие в ы ш е диагонали, равны нулю. Из равенства У" Р+ РЮ = О поэтому следует, что все элементы матрицы ВУ, лежащие в ы ш е диагонали, равны нулю. Это позволяет заключить, что все элементы матрицы РБ, а значит, и матрицы У, лежащие в ы ш е диагонали, равны нулю.
Матрица У, таким образом, должна быть диагональной. Каждое из произведений У*Р и УР есть диагональная матрица, на диагонали которой стоят произведения иы ды, иззазз, ., и а По условию, дп ~ О для всех 1 = 1, 2,..., п. Из равенства У*В+ РП = О поэтому следует, что также и диагональные элементы матрицы У равны нулю.
Таким образом, мы показали, что если матрица У Е Т"„такова, что Ю*Р + ЖУ = О, то У = О. Следовательно, отображение ИЯл. 'У Е Т"„» 0'Р+ ВУ Е Куш„ взаимно однозначно. Так как р а з м е р н о с т и пространств Т"„и Буш„с о в и а д а ю т, то отсюда следует, что отображение й~к есть отображение Т"„на Буш„. На основании леммы о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 этой главы) множество фВ,) содержит некоторую окрестность матрицы Р и, значит, найдутся о > О 188 Гл. 10. Основы гладкого анализа и открытое множество 0 пространства Т"„, содержащееся в В„такое, что Е Е С, ч отображает С взаимно однозначно на шар В(Р,б) в пространстве Яуш„, причем о б р а т н о е отображение Я 1 есть диффеоморфизм класса С Пусть У е 0 и У = Щг ) = Е"РЕ. Тогда имеем о = Я 1(У).
Матрица о принадлежит множеству В„и, значит, о п р е д е л ит е л ь матрицы ь отличен от нуля. Отсюда заключаем, что Р = = (г*)-1(7г-1. Осталось заметить, что так как отображение Д принадлежит классу С, то г'(У) = Ч' 1(0) есть функция класса С . Значит, и мап1ричная функция Х(У) = (о(с1)) 1 принадлежит классу С . Из определения функции Х(У) ясно, что Х(Р) = Е. Лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е 1.
Можно показать, что если матрица Х есть верхняя треугольная матрица, причем йе1 Х ~ О, то и обратная матрица Х 1 также является верхней треугольной и, значит, матрица Х(У) является верхней треугольной матрицей. 3 а м е ч а н и е 2. Явные выражения элементов матрицы Х(У) через элементы матрицы 17 известны, и их построение не требует преодоления каких-либо существенных трудностей. 6.2. ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МОРСА дгг и; (а) = — — (а), 2 дх;дх, (6.7) и для всякого х б В(а, б) имеет место равенство н а ((х) = Да) + ~~1 ~1 и; (х)(х; — а;)(х — а ). 1=1 1=1 ° Лемма 6.2. Пусть У есть открытое множество в пространстве К" и 1: У вЂ” гь — функция класса С'+г, где т > О. Предположим, что точка а б У является стационарной точкой функции 1', т.
е. 4(а) = О. Пусть б > О таково, что шар В(а, б) содержится в У. Тогда найдутся вещественные функции и; (х), 1, г' = 1, 2,..., п, класса С, определенные в шаре В(а, б) и такие, что и; (х) = и;(х) для любых 1', г' = 1,2,..., тц з б. Теорема Морса 189 Доказательство.
Пусть функция т удовлетворяет всем условиям леммы. Возьмем произвольно точку х Е В(а, б) и для 1 Е [О, 1] положим ут(~) = т"[а + ~(х — а)]. Функция ~р принадлежит классу С"+з. Применяя формулу Тейлора с осптаточным членом в интпегральной форме, получим 1(х) = р(1) = 1е(0) + ьт'(0) + р" (1)(1 — 1) т11. о Имеем ~р'(0) = т(г"(а; х — а) = О, так как, по условию, т(7'(а) = О. Далее, ~р" (т) = а' Г'[а+ т(х — а); х — а] = дг т' [а + 1(х — а)](х; — а;)(хт — а,).
Отсюда получаем равенство Дх) = Яа) + ~~т ~ и; (х)(х; — а;)(х — а ), где 1 Г дзу и; (х) = / [а+ т(х — а)](1 — т)Ж. „т' дх;дх; о (6.8) д2 т и; (а) = — (а), 2 дх;дхд и справедливость равенства (6.7) установлена. Лемма доказана. ° дз т Функция принадлежит классу С'. На основании теоремы хт х,. об интпегралах, зависятаих от параметра, доказанной в главе 5 (КМА, часть 1, книга 2), отсюда вытекает, что и; Е С'. В силу свойсптва симметпричности вторььх производнььх (глава 7) из интегрального представления функции и;, следует, что и; (х) = ит;(х) для любых т',у = = 1,2,..., и.
Наконец, заметим, что в случае х = а подынтегральное д9 выражение в равенстве (6.8) равно (а)(1 — 1). Интеграл от этого дх;дх,. 1 выражения относительно 1 по промежутку [О, Ц равен —. Отсюда вы- 2 текает, что 190 Гл. 10. Основы гладкого анализа Пусть У есть произвольное открытое множество пространства К", 1: У ~ К вЂ” вещественная функция класса С"+, где г > О. Точка а Е У называется критической или сгаационарной точкой функции 1, если дифференциал функции 1 в точке а тождественно равен нулю или, что р а в н о с и л ь н о, если выполняются равенства д1 дх; — (а) = 0 для всех г = 1,2,...,п.
Матрица дг г дгг д~У дхгдх„ " (х) дхгдх (х) — (х) дхгдх1 дхгдхг Н(х) = (6.9) У (.) 'У (.) ... "У (.) дх„дхг дх„дхг ''' дх„дх„ называется матрицей Гессе функции 1' в точке х Е У. О п р е д ел и т е л ь йе$Н(х) этой матрицы называется гессианом функции 1 в точке х. Пусть а Е У есть критическая точка функции 1'.
Будем говорить, что а есть невырожденная критическая точка функции 1, если гессиан функции 1 в этой точке отличен от нуля. ° Теорема 6.1 (теорема Морса). Пусть У есть открытое множество в пространстве К" и ~: У вЂ” К вЂ” функция класса С"+г, где г > 1. Предположим, что а Е У есть невырожденная критическая точка функции У. Тогда найдется диффеоморфизм у: В(0, б) -+ К" класса С" такой, что у(0) = а, р(В(0,б)) С У, и для всех 1 Е В(0,б) имеет место равенство 1(г) = Д~ф)~ = Да) + ~ еА, где е; = ~1. 3 а м е ч а н и е. Теорема означает, что если критическая точка функции г является невырожденной, то в окрестности точки а функция может быть приведена к виду 1(а)+ ЯЯ, где Я вЂ” невырожденная квадратичная форма, заменой переменных, осуществляемой по формуле х = ~р(г), где ~р есть диффеоморфизм класса С". з б.
Теорема Морса 191 Доказа тельство теоремы. Пусть функция ~ удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим квадратичную форму В силу условия теоремы эта квадратичная форма является невырожиенной и, значит, найдется невырожденная матрица А такая, что для всякого вектора С Е К" и дгДа.
Ас) = ~~~ е с~ г=1 где е, = ~1. Положим Л(С) = а + Ас. Пусть д(с) = ~[Л(с)]. Функция д определена на открытом множестве Ъ' = Л ~(У). Имеем Л ~(а) = 0 и, значит, 0 Е Ъ'. Очевидно, д принадлежит тому же классу С'+, что и функция ~. Напишем формулу Тейлора порядка д с остаточным членом в форме Пеано для функции ~ в точке а.
Получим Ях) = ~(а) + — дй1(а; х — а) + а(х)]х — а]г, 2 где о(х) — ~ 0 при х -+ а. Полагая в этой формуле х = а + Ас, найдем, что д(~) = У(а) + аг~(а. А~)+ о[Л(с)][Ас[г Имеем Л(с) — а при с -~ 0 и [АЯ < М]с], где М = сопв$ < оо. Заметим еще, что Да) = г[Л(0)] = д(0).
Из сказанного вытекает равенство д(с) = д(0) + -д~Да; Ас) +,9(~)[с[~, где Щ) — 0 при с -+ О. Это позволяет заключить, что полипом второй степени д(0) + — <К~Да; Ас) есть полипом Тейлора порядка д функцин д в пгочке О. Отсюда вытекает, что дд(0) = 0 и агд(0, с) = дг 1'(а; Ас). В силу выбора матрицы А получаем, что агд(О,с) = ~ е;сг. (6.9) Гл. 10. Основы гладкого анализа 192 Согласно лемме 6.2 найдется р > 0 такое, что шар В(О,р) С Ъ' и для всякого с е В(0, р) имеет место равенство где функции кч принадлежат классу С". При этом и;Я) = ибс(б) для любых г,у = 1,2,...,и и и;.(0) = — (0) = -е;бс, 1 дзд 1 где е, есть величины, стоящие в правой части равенства (6.9), а б;. = 1 прнг=у,бс =О,еслиз~у. Матрица У(~) = (и;Я));,, 1 з,„,,„симметрическая, и ее элементы есть функции класса С" переменной с.
При этом Р = У(0) есть диагональная матрица. Элементы, стоящие на ее диагонали, есть числа 1 -е;, г = 1,2,...,п. Теперь воспользуемся результатом леммы 6.1. Согласно этой лемме найдется число е > 0 такое, что для всякой симметрической матрицы У, удовлетворяющей условию существует матрица Я(У) такая, что ]о(сс)]" УЯ(У) = Р. При этом Я(Р) = Е и элементы матрицы 2(0) есть'функции класса С элементов матрицы У. Пусть р1 > 0 таково, что 0 < р, < р, и для всякого с е В(О,рз) выполняется неравенство ГЮ вЂ” Р]! <е.
Положим Х(с) = Я]Цс)]. Так как элементыматрицыУ естьфункции класса С', то функция Х(с) принадлежит классу С'. При каждом с Е В(0, р1) имеет место равенство ]Х(с)]'У(~)Х(~) = Р, откуда вытекает, что с1еС Р = с1еС ]Х(С)]'с1еС ЦС) с1е1Х(с) = с1еС У(с)[с1еСХ(с)] . 6. Тео ема Мо са 193 Отсюда следует, что деСХ(с) ~ 0 и, значит, матрица Х(~) обратима для всех б таких, что ф ( б1. Положим 4~(б) = (Х(с)) з~. Элементы матрицы (Х(б)) з получаются из элементов матрицы Х(с) посредством конечного числа арифметических действий. Отсюда вытекает, что матричная функция (Х(~)) ' принадлежит классу С' и, значит, 4 есть отображение класса С".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
